2026届北京市第一七一中学高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2026届北京市第一七一中学高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2．已知抛物线内一点，过点的直线交抛物线于，两点，且点为弦的中点，则直线的方程为（）
A. B.
C D.
3．已知函数是区间上的可导函数，且导函数为，则“对任意的，”是“在上为增函数”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．若实数满足约束条件，则最小值为（）
A.-2 B.-1
C.1 D.2
5．已知条件，条件表示焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
6．命题 ，， 则是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
7．已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是，则点到另一个焦点的距离为（）
A.2 B.3
C.4 D.5
8．设等比数列的前项和为，且，则（）
A. B.
C. D.
9．已知直线，，点是抛物线上一点，则点到直线和的距离之和的最小值为（ ）
A.2 B.
C.3 D.
10．已知直线，，若，则实数等于（ ）
A.0 B.1
C. D.1或
11．在四面体OABC中，点M在线段OA上，且，N为BC中点，已知，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
12．若将双曲线绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，且该函数在区间上存在最小值，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B.
C.2 D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．椭圆的右焦点为，过原点的直线与椭圆交于两点、，则的面积的最大值为___________.
14．若实数x，y满足约束条件，则的最大值是_________.
15．如图所示的是一个正方体的平面展开图，，则在原来的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为___________.

16．已知为曲线：上一点，，，则的最小值为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
18．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，其外接圆半径为，已知
（1）求角；
（2）若边的长是该边上高的倍，求
19．（12分）已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“曲线表示双曲线”.
（1）若是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
20．（12分）已知抛物线C：，直线l经过点，且与抛物线C交于M，N两点，其中.
（1）若，且，求点M的坐标；
（2）是否存在正数m，使得以MN为直径的圆经过坐标原点O，若存在，请求出正数m，若不存在，请说明理由.
21．（12分）已知椭圆上的点到左、右焦点、的距离之和为4，且右顶点A到右焦点的距离为1.
（1）求椭圆的方程;
（2）直线与椭圆交于不同两点，，记的面积为，当时求的值.
22．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目
设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】首先根据题意设出抛物线的方程，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线的方程，代入求得参数的值，最后得到答案.
【详解】解：根据题意设出抛物线的方程，
因为点在抛物线上，所以有，解得，
所以抛物线的方程是：，
故选：B.
2、B
【解析】利用点差法求出直线斜率，即可得出直线方程.
【详解】设，
则，两式相减得，
即，
则直线方程为，即.
故选：B.
3、A
【解析】根据充分条件与必要条件的概念，由导函数的正负与函数单调性之间关系，即可得出结果.
【详解】因为函数是区间上的可导函数，且导函数为，
若“对任意的，”，则在上为增函数；
若在上为增函数，则对任意的恒成立，
即由“对任意的，”能推出“在上为增函数”；
由“在上为增函数”不能推出“对任意的，”，
因此“对任意的，”是“在上为增函数”的充分不必要条件.
故选：A
4、B
【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案
【详解】由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，
有最小值为
故选：B
5、A
【解析】根据条件，求得a的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.
【详解】因为条件表示焦点在x轴上的椭圆，
所以，解得或，
所以条件是条件q： 或的充分不必要条件.
故选：A
6、D
【解析】根据特称命题的否定为全称命题，即可得到答案.
【详解】因为命题 ，，
所以，.
故选：D
7、C
【解析】根据椭圆的定义，结合题意，即可求得结果.
【详解】设椭圆的两个焦点分别为，故可得，
又到椭圆一个焦点的距离是，故点到另一个焦点的距离为.
故选：.
8、C
【解析】根据给定条件求出等比数列公比q的关系，再利用前n项和公式计算得解.
【详解】设等比数列的的公比为q，由得：，解得，
所以.
故选：C
9、C
【解析】由抛物线的定义可知点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离.
【详解】解：由题意，抛物线的焦点为，准线为，
所以根据抛物线的定义可得点到直线的距离等于，
所以点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离，
故选：C.
10、C
【解析】由题意可得，则由得，从而可求出的值
【详解】由题意可得，
因为， ，，
所以，解得，
故选：C
11、B
【解析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解
【详解】因为N为BC中点，所以,
因为M在线段OA上，且，
所以，
所以，
故选：B

12、C
【解析】由题意，可知双曲线的一条渐近线的倾斜角为120°，再确定参数的正负即可求解.
【详解】双曲线，令，则，显然，
则一条渐近线方程为，
绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的图象，
则渐近线就需要旋转到与坐标轴重合，
故渐近线方程的倾斜角为120°，即，
该函数在区间上存在最小值，可知，
所以，
所以.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】分析可知点、关于原点对称，可知当、为椭圆短轴的端点时，的面积取得最大值.
【详解】椭圆中，，，则，则，
由题意可知，、关于原点对称，
当、为椭圆短轴的端点时，的面积取得最大值，且最大值为.
故答案为：.
14、##
【解析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最大值.
【详解】，
画出可行域如下图所示，
由图可知，平移基准直线到点时，
取得最大值为.
故答案为：

15、
【解析】将展开图还原成正方体，通过建系利用空间向量的知识求解.
【详解】将展开图还原成正方体，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，.
则.
设平面的法向量为，由令，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：

16、
【解析】曲线是抛物线的右半部分，是抛物线的焦点，作出抛物线的准线，把转化为到准线的距离，则到准线的距离为所求距离和的最小值
【详解】易知曲线是抛物线的右半部分，如图，因为抛物线的准线方程为，
是抛物线的焦点，所以等于到直线的距离．过作该直线的垂线，垂足为，则的最小值为
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）当时，上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）
【解析】（1） 先求函数的定义域，再求导，根据导数即可求出函数的单调区间；
（2）根据（1）的结论，分别求时的最小值，令，即可求出实数的取值范围.
【小问1详解】
易知函数的定义域为，
，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，，令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
当时，成立，所以符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
要使恒成立，则，
解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
要使恒成立，则，
解得.
综上所述，实数的取值范围是.
18、（1）；（2）
【解析】（1）利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理计算可得；
（2）记边上的高为，不妨设，即可求出，再利用余弦定理求出，在中，记，根据锐角三角函数求出，，最后根据，利用两角和的余弦公式计算可得；
【详解】解：（1）由已知条件，所以，所以
所以，，
由余弦定理可得，
而，于是
（2）记边上的高为，不妨设，则，，，所以，
由余弦定理得，
在中，记，则，，
所以
19、（1）；（2）.
【解析】（1）根据方程为焦点在轴上的椭圆的条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
（2）求得为真命题时的取值范围，结合是的必要不充分条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】（1）若是真命题，所以，解得，
所以的取值范围是.
（2）由（1）得，是真命题时，的取值范围是，
为真命题时，，
所以的取值范围是
因为是的必要不充分条件，
所以，所以，等号不同时取得，
所以
【点睛】本小题主要考查椭圆、双曲线，考查必要不充分条件求参数.
20、（1）或
（2）存在，
【解析】（1）确定点为抛物线的焦点，则根据抛物线的焦半径公式，结合抛物线方程，求得答案;
（2）假设存在正数m，使得以MN为直径的圆经过坐标原点O，可推得，由此可设直线方程，联立抛物线方程，利用根与系数的关系，代入到中，可得结论.
【小问1详解】
依题意得为的焦点,
故，解得,
故，则
∴点的坐标或;
【小问2详解】
假设存在正数，使得以为直径的圆经过坐标原点,
∴，
设直线：，，，
由,得
,
则，,
∵，,∴,
解得或（舍去）
所以存在正数，使得以为直径的圆经过坐标原点.
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意得到，，再根据求解即可.
（2）首先设，，再根据求解即可.
【小问1详解】
由题意，，
因为右顶点到右焦点的距离为，即，所以，
则，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设，，且
根据椭圆的对称性得，
联立方程组，整理得，解得，
因为的面积为3，可得，解得.
22、（1）
（2）
【解析】（1）若选①可得，从而得到，即可得到是常数列，即可求出数列的通项公式；
若选②，根据，作差即可得到，再利用累乘法计算可得；
若选③：可得，即可得到数列是等差数列，首项为2，公差为1，从而求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得；
【小问1详解】
解：选①：∵
即
∴
即
∴数列是常数列
∴
∴
选②：∵
∴时，
则
即
∴
∴
当时，也满足，
∴
选③：因为，所以，
所以数列是等差数列，首项为2，公差为1
则
∴
【小问2详解】
解：由（1）可得，
∴