扬州市扬州中学2025-2026学年高二数学第一学期期末预测试题含解析.doc

扬州市扬州中学2025-2026学年高二数学第一学期期末预测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在试验“甲射击三次，观察中靶的情况”中，事件A表示随机事件“至少中靶1次”，事件B表示随机事件“正好中靶2次”，事件C表示随机事件“至多中靶2次”，事件D表示随机事件“全部脱靶”，则（　　）
A.A与C是互斥事件 B.B与C是互斥事件
C.A与D是对立事件 D.B与D是对立事件
2．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（）
A. B.
C. D.
3．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点在棱上，且，则与平面所成角的正弦值为（ ）

A. B.
C. D.
4．的展开式中的系数是（ ）
A. B.
C. D.
5．数学家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线方程是（）
A. B.
C. D.
6．如图，在正方体ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直线l在正方形EFGH内，点E到直线l的距离记为d，记二面角为A-l-P为θ，已知初始状态下x=0，d=0，则（）

A.当x增大时，θ先增大后减小 B.当x增大时，θ先减小后增大
C.当d增大时，θ先增大后减小 D.当d增大时，θ先减小后增大
7．若数列是等比数列，且，则（）
A.1 B.2
C.4 D.8
8．在空间直角坐标系中，，，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的正弦值为（）
A. B.
C. D.
9．与空间向量共线的一个向量的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
10．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为

A. B.
C. D.
11．过抛物线C：y2=4x的焦点F分别作斜率为k1、k2的直线l1、l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，若|k1·k2|=2，则|AB|+|DE|的最小值为（）
A.10 B.12
C.14 D.16
12．已知，为正实数，且，则的最小值为（）
A. B.
C. D.1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为___
14．已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若，则有成立，现已知椭圆上存在一点P，，为其焦点，在中，，，则椭圆的离心率为______
15．数列满足前项和，则数列的通项公式为_____________
16．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则的面积为_________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等比数列的前项和为，，．数列的前项和为，且，
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）若，为数列的前项和，是否存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的，，的值；若不存在，说明理由
18．（12分）已知数列为等差数列，满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和，并求的最大值.
19．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，若焦距为4，点P是椭圆上与左、右顶点不重合的点，且的面积最大值.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于点、，且满足（为坐标原点），求直线的方程.
20．（12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：，，…，所得到如图所示的频率分布直图

（1）求图中实数的值；
（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
21．（12分）已知圆，直线过定点.
（1）若与圆相切，求的方程；
（2）若与圆相交于两点，且，求此时直线的方程.
22．（10分）如图，OP为圆锥的高，AB为底面圆O的直径，C为圆O上一点，并且，E为劣弧上的一点，且，.

（1）若E为劣弧的中点，求证：平面POE；
（2）若E为劣弧的三等分点（靠近点），求平面PEO与平面PEB的夹角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据互斥事件、对立事件的定义即可求解.
【详解】解：因为A与C，B与C可能同时发生，故选项A、B不正确；B与D不可能同时发生，但B与D不是事件的所有结果，故选项D不正确；A与D不可能同时发生，且A与D为事件的所有结果，故选项C正确
故选：C.
2、D
【解析】根据给定的方程求出离心率，的表达式，再计算判断作答.
【详解】因椭圆的离心率为，则有，
因双曲线的离心率为，则有，所以.
故选：D
3、C
【解析】取AC的中点M，过点M作，且使得，进而证明平面，然后判断出是与平面所成的角，最后求出答案.
【详解】如图，取AC的中点M，因为，则，过点M作，且使得，则四边形BDNM是平行四边形，所以.

由题意，平面ABC，则平面ABC，而平面ABC，所以，又，所以平面，而所以平面，连接DA,NA，则是与平面所成的角.而，于是，.
故选：.
4、B
【解析】根据二项式定理求出答案即可.
【详解】的展开式中的系数是
故选：B
5、B
【解析】根据的三个顶点坐标，先求解出重心的坐标，然后再根据三个点坐标求解任意两条垂直平分线的方程，联立方程，即可算出外心的坐标，最后根据重心和外心的坐标使用点斜式写出直线方程.
【详解】由题意可得的重心为．因为，，所以线段的垂直平分线的方程为．因为，，所以直线的斜率，线段的中点坐标为，则线段的垂直平分线的方程为．联立，解得，则的外心坐标为，故的欧拉线方程是，即
故选：B.
6、C
【解析】以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(2, x, 0)，A (2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，，求得平面AMN的法向量为，平面PMN的法向量，由空间向量的夹角公式表示出，对于A，B选项，令d =0，则
，由函数的单调性可判断；对于C，D，当x=0时，则，令，利用导函数研究函数的单调性可判断.
【详解】解：由题意，以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示,

设正方体的棱长为2，则P(2, x, 0)，A (2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，
则，
所以，
，
设平面AMN的法向量为，
则，即，
令，则，
设平面PMN的法向量为，
则，即，
令，则，
，
对于A，B选项，令d =0，则
，
显示函数在是为减函数，即减小，则增大，故选项A，B错误；
对于C，D，

对于给定的，如图，过作，垂足为，过作，垂足为，
过作，垂足为，
当在下方时，，
设，则对于给定的，为定值，
此时设二面角为，二面角为，
则二面角为，且，
故，
而，故即，
当时，为减函数，故为增函数，
当时，为增函数，故为减函数，
故先增后减，故D错误.
当在上方时，，
则对于给定的，为定值，则有二面角为，
且，
因，故为增函数，故为减函数，
综上，对于给定的，随的增大而减少，

故选：C.
7、C
【解析】根据等比数列的性质，由题中条件，求出，即可得出结果.
【详解】因为数列是等比数列，由，得，
所以，因此.
故选：C.
8、A
【解析】根据给定条件求出平面的法向量，再借助空间向量夹角公式即可计算作答.
【详解】设平面的法向量为，则，令，得，
令平面与平面夹角为，则，，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
故选：A
9、C
【解析】根据空间向量共线的坐标表示即可得出结果.
【详解】.
故选：C.
10、A
【解析】根据题意可求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，从而得到球的体积
【详解】设球的半径为cm，根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为cm，所以由，得，所以球的体积为
故选：A

【点睛】本题主要考查球的体积公式的应用，以及球的结构特征的应用，属于基础题
11、B
【解析】设出l1的方程为，与抛物线联立后得到两根之和，两根之积，用弦长公式表达出，同理表达出，利用基本不等式求出的最小值.
【详解】抛物线C：y2=4x的焦点F为，直线l1的方程为，
则联立后得到，设，
，，则，
同理设可得：，
因为|k1·k2|=2，所以，
当且仅当，即或时，等号成立，
故选：B
12、D
【解析】利用基本不等式可求的最小值.
【详解】可化为，
由基本不等式可得，
故，当且仅当时等号成立，
故的最小值为1，
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2π
【解析】由圆锥的侧面积公式即可求解
【详解】由题意，圆锥底面周长为2π×1=2π，又母线长为2，所以圆锥的侧面积
故答案为：2π.
14、
【解析】根据正弦定理，结合题意，列出方程，代入数据，化简即可得答案.
详解】由题意得：，
所以，所以，
解得.
故答案为：
15、
【解析】由已知中前项和，结合 ，分别讨论时与时的通项公式，并由时，的值不满足时的通项公式，故要将数列的通项公式写成分段函数的形式
【详解】∵数列前项和，
∴当时，，
又∵当时， ，
故，
故答案为.
【点睛】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，其中正确理解由数列的前n项和Sn，求通项公式的方法和步骤是解答本题的关键
16、
【解析】根据求出，由向量数量积得到，使用余弦定理得到方程组，求出，利用面积公式求出结果.
【详解】因为，所以，即，而因为是锐角三角形，所以，所以，所以，因为，所以，即，因为，所以，整理得：①，其中，即，因为，所以，即，解得：②，把②代入①得：，解得：，则的面积为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）不存在，理由见解析.
【解析】（1）利用数列为等比数列，将已知的等式利用首项和公比表示，得到一个方程组，求解即可得到首项和公比，结合等比数列的通项公式即可求出；将已知的等式变形，得到数列为等差数列，利用等差数列通项公式求出，再结合数列的第项与前项和之间的关系进行求解，即可得到；
（2）先利用等比数列求和公式求出，从而得到的表达式，然后利用裂项相消求和法求出，假设存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列，利用等比中项、等差中项以及进行化简变形，得到假设不成立，故可得到答案
【详解】（1）因为数列为等比数列，设首项为，公比为，
由题意可知，所以，
所以，
由②可得，即，所以或2，
因为，所以，所以，
所以，
由，可得，
所以数列为等差数列，首项为，公差为1，
故，则，
当时，，
当时，也适合上式，
故
（2）由，可得，
所以，
所以，
假设存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列，
则有，
所以，
则，即，
因为，所以，即，
所以，所以，
则，所以，则，
所以，即，
所以，这与已知的，，互不相等矛盾，
故不存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列
【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
18、（1）
（2），45
【解析】（1）由等差数列的通项列出方程组，得出通项公式；
（2）先得出，再由二次函数的性质得出最大值.
【小问1详解】
由，解得，即
【小问2详解】
，二次型函数开口向下，对称轴为，
则当或时，有最大值45.
19、（1）
（2）或
【解析】（1）根据焦距求出，利用面积最大值，得到求出，从而得到，求出椭圆方程；（2）分直线斜率存在和斜率不存在，结合题干条件得到，进而求出直线方程.
【小问1详解】
∵
∴，
又的面积最大值，则，所以，
从而，，故椭圆的方程为：；
【小问2详解】
①当直线的斜率存在时，设，
代入③整理得，
设、，则，
所以，
点到直线的距离
因为，即，
又由，得，所以，.
而，，即，
解得：，此时；
②当直线的斜率不存在时，，直线交椭圆于点、.
也有，经检验，上述直线均满足，
综上：直线的方程为或.
【点睛】圆锥曲线中，有关向量的题目，要结合条件选择不同的方法，一般思路有转化为三角形面积，或者线段的比，或者由向量得到共线等.
20、（1）a=0.03；（2）544人；（3）.
【解析】（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1求解.
 （2）根据频率分布直方图，得到成绩不低于60分的频率，再根据该校高一年级共有学生640人求解.
 （3）由频率分布直方图得到成绩在[40，50)和[90，100]分数段内的人数，先列举出从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生的基本事件总数，再得到两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”的基本事件数，代入古典概型概率求解.
【详解】（1）∵图中所有小矩形的面积之和等于1，
∴10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，
解得a=0.03.
 （2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85，
 ∵该校高一年级共有学生640人，
 ∴由样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人.
 （3）成绩在[40，50)分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B，
 成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F.
 若从数学成绩在[40，50)与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，
 则所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，
 (C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种.
 如果两名学生的数学成绩都在[40，50)分数段内或都在[90，100]分数段内，
 那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.
 如果一个成绩在[40，50)分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，
 那么这两名学生数学成绩之差的绝对值一定大于10.
 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，
 则事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共7种.
 ∴所求概率为P(M)=.
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及古典概型概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21、（1）或；
（2）或.
【解析】（1）由圆的方程可得圆心和半径，当直线斜率不存在时，知与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，由此可得方程；
（2）当直线斜率不存在时，知与圆相切，不合题意；当直线斜率存在时，利用垂径定理可构造方程求得，由此可得方程.
【小问1详解】
由圆的方程知：圆心，半径；
当直线斜率不存在，即时，与圆相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设，即，
圆心到直线距离，解得：，
，即；
综上所述：直线方程为或；
【小问2详解】
当直线斜率不存在，即时，与圆相切，不合题意；
当直线斜率存在时，设，即，
圆心到直线距离，
，解得：或，
直线的方程为或.
22、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）推导出平面，，，由此能证明平面
（2）推导出，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值
【小问1详解】
证明：为圆锥的高，
平面，又平面，，
为劣弧的中点，，
，平面，平面
【小问2详解】
解：解：为劣弧的三等分点（靠近点，
为底面圆的直径，为圆上一点，并且，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，0，，，，，，0，，，3，
，0，，，，，，，，，3，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
设二面角的平面角为，
则，
二面角的余弦值为