广西贺州市桂梧高级中学2025-2026学年高一数学第一学期期末统考试题含解析.doc

广西贺州市桂梧高级中学2025-2026学年高一数学第一学期期末统考试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列函数中，与函数有相同图象的一个是
A. B.
C. D.
2．下列函数中，既是奇函数又在上有零点的是
A. B.
C D.
3．在如图所示的多面体ABCDB1C1D1中，四边形ABCD、四边形BCC1B1、四边形CDC1C1都是边长为6的正方形，则此多面体ABCDB1C1D1的体积（　　）

A.72 B.144
C.180 D.216
4．，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知函数，则函数（）
A.有最小值 B.有最大值
C.有最大值 D.没有最值
6．若点在角的终边上，则的值为　　
A. B.
C. D.
7．所有与角的终边相同的角可以表示为，其中角（ ）
A.一定是小于90°的角 B.一定是第一象限的角
C.一定是正角 D.可以是任意角
8．已知是关于x的一元二次不等式的解集，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
9．已知且点在的延长线上，，则的坐标为（）
A. B.
C. D.
10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：， ，已知函数，则函数的值域是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，则_____
12．函数f（x），若f（a）＝4，则a＝_____
13．某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为______
14．在四边形ABCD中，若，且，则的面积为_______.
15．函数，且）的图象恒过定点，则点的坐标为___________；若点在函数的图象上，其中，，则的最大值为___________.
16．已知，若，则_______；若，则实数的取值范围是__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图,天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景摩天轮，是天津的地标之一 .永乐桥分上下两层，上层桥面预留了一个长方形开口，供摩天轮轮盘穿过，摩天轮的直径为110米，外挂装48个透明座舱，在电力的驱动下逆时针匀速旋转，转一圈大约需要30分钟.现将某一个透明座舱视为摩天轮上的一个点，当点到达最高点时，距离下层桥面的高度为113米，点在最低点处开始计时.

（1）试确定在时刻 (单位:分钟)时点距离下层桥面的高度 (单位:米)；
（2）若转动一周内某一个摩天轮透明座舱在上下两层桥面之间的运行时间大约为5分钟，问上层桥面距离下层桥面的高度约为多少米？
18．已知全集，集合，集合.
（1）求；
（2）若集合，且集合与集合满足，求实数的取值范围.
19．在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是，乙答题错误的概率是，乙、丙两人都答题正确的概率是，假设每人答题正确与否是相互独立的
（1）求丙答题正确的概率；
（2）求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率
20．（1）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？
（2）解关于的方程：.
21．已知直线
（1）求与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为 4 直线方程：
（2）已知圆心为，且与直线相切求圆的方程；
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】逐一考查选项中的函数与所给的函数是否为同一个函数即可确定其图象是否相同.
【详解】逐一考查所给的选项：
A.，与题中所给函数的解析式不一致，图象不相同；
B.，与题中所给函数的解析式和定义域都一致，图象相同；
C.的定义域为，与题中所给函数的定义域不一致，图象不相同；
D.的定义域为，与题中所给函数的定义域不一致，图象不相同；
故选B.
【点睛】本题主要考查函数相等的概念，需要同时考查函数的定义域和函数的对应关系，属于中等题.
2、D
【解析】选项中的函数均为奇函数，其中函数与函数在上没有零点，所以选项不合题意，中函数 为偶函数，不合题意； 中函数的一个零点为，符合题意，故选D.
3、C
【解析】把该几何体补成正方体ABCD-A1B1C1D1，此多面体ABCDB1C1D1的体积V=-，求之即可
【详解】如图，把该几何体补成正方体ABCD-A1B1C1D1，
此多面体ABCDB1C1D1的体积V=-=63-=180

故选C
【点睛】本题主要考查四棱锥体积的求法，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题
4、D
【解析】作出弧度角的正弦线、余弦线和正切线，利用三角函数线来得出、、的大小关系.
【详解】作出弧度角的正弦线、余弦线和正切线如下图所示，则，，，其中虚线表示的是角的终边，
，则，即.
故选：D.

【点睛】本题考查同角三角函数值的大小比较，一般利用三角函数线来比较，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
5、B
【解析】换元法后用基本不等式进行求解.
【详解】令，则，
因为，，故，
当且仅当，即时等号成立，故函数有最大值，
由对勾函数的性质可得函数，即有最小值.
故选：B
6、A
【解析】根据题意，确定角的终边上点的坐标，再利用三角函数定义，即可求解，得到答案
【详解】由题意，点在角的终边上，即，则，
由三角函数的定义，可得
故选A
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中确定出角的终边上点的坐标，利用三角函数的定义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
7、D
【解析】由终边相同的角的表示的结论的适用范围可得正确选项.
【详解】因为结论与角的终边相同的角可以表示为适用于任意角，所以D正确，
故选：D.
8、C
【解析】由题知，，，则可得，则，利用基本不等式“1”的妙用来求出最小值.
【详解】由题知是关于x的一元二次方程的两个不同的实数根，
则有，，，所以，且是两个不同的正数，
则有
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是.
故选：C
9、D
【解析】设出点的坐标，根据列式，根据向量的坐标运算，求得点的坐标.
【详解】设，依题意得，即，故，解得，所以.
故选D.
【点睛】本小题主要考查平面向量共线的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.
10、D
【解析】化简函数，根据表示不超过的最大整数，可得结果.
【详解】函数，
当时，；
当时，；
当时，，
函数的值域是，故选D.
【点睛】本题考查指数的运算、函数的值域以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】首先求函数，再求的值.
【详解】设，则
所以，即，，
.
故答案为：
12、1或8
【解析】当时，，当时，，分别计算出的值，然后在检验.
【详解】当时，,解得，满足条件.
当时，,解得，满足条件
所以或8.
故对答案为：1或8
【点睛】本题考查分段函数根据函数值求自变量，属于基础题.
13、##0.25
【解析】结合相互独立事件的乘法公式直接计算即可.
【详解】记师傅加工两个零件都是精品的概率为，则，徒弟加工两个零件都是精品的概率为，则师徒二人各加工两个零件都是精品的概率为，求得，故徒弟加工两个零件都是精品的概率为.
故答案为：
14、
【解析】由向量的加减运算可得四边形为平行四边形，再由条件可得四边形为边长为4的菱形，由三角形的面积公式计算可得所求值
【详解】
在四边形中，，即为，即，
可得四边形为平行四边形，又，
可得四边形为边长为4的菱形，
则的面积为正的面积，即为，
故答案为：
15、 ① ②.##0.5
【解析】根据对数函数图象恒过定点求出点A坐标；代入一次函数式，借助均值不等式求解作答.
【详解】函数，且）中，由得：，则点；
依题意，，而，，则，当且仅当2m=n=1时取“=”，即，
所以点的坐标为，的最大值为.
故答案为：；
16、 ①. ②.
【解析】先判断函数的奇偶性，由求解；再根据函数的单调性，由求解.
【详解】因为的定义域为R，且，
，所以是奇函数，
又，则-2；
因为在上是增函数，
所以在上是增函数，又是R上的奇函数，
所以在R上递增，且，
所以由，得，
即，所以，
解得或，
所以实数的取值范围是，
故答案为：，

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）米.（2）米.
【解析】
（1）如图，建立平面直角坐标系，以为始边，为终边的角为，计算得到答案.
（2）根据对称性，上层桥面距离下层桥面的高度为点在分钟时距离下层桥面的高度，计算得到答案.
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系.由题可知在分钟内所转过的角为，
因为点在最低点处开始计时，所以以为始边，为终边的角为，
所以点的纵坐标为，
则（），
故在分钟时点距离下层桥面的高度为（米）.

（2）根据对称性，上层桥面距离下层桥面的高度为点在分钟时距离下层桥面的高度.
当时，
故上层桥面距离下层桥面的高度约为米.
【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.
18、（1）；（2）
【解析】（1）化简集合，按照补集，并集定义，即可求解；
（2），得，结合数轴，确定集合端点位置，即可求解.
【详解】（1）∵；∴；
∴；
（2）∵，∴；
∴，∴，
∴实数的取值范围为.
【点睛】本题考查集合间的运算，以及由集合关系求参数，属于基础题.
19、（1）
（2）
【解析】（1）设丙答对这道题的概率为，利用对立事件和相互独立事件概率公式，即可求解；
（2）由相互独立事件概率乘法公式，即可求解.
【小问1详解】
记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件，
设丙答对题的概率，乙答对题的概率，
由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此是相互独立事件.
根据相互独立事件同时发生的概率公式，得，解得，
所以丙对这道题的概率为
【小问2详解】
甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率为甲、乙、丙三人都回答错误的概率为

20、（1）；（2）.
【解析】（1）分，两种情况讨论，利用判别式控制，即得解；
（2）利用对数的定义，求解即可
【详解】（1）当时，，明显满足条件.
当时，由“不等式对一切实数都成立”
可知且
解得
综上可得
（2）由对数定义可得：
所以
所以
所以
21、（1）或；（2）
【解析】分析：（1）由题意，设所求的直线方程为，分离令和，求得在坐标轴上的截距，利用三角形的面积公式，求得的值，即可求解；
（2）设圆的半径为，因为圆与直线相切，列出方程，求得半径，即可得到圆的标准方程.
详解：（1）∵所求的直线与直线垂直，
∴设所求的直线方程为 ，
∵令，得；令，得.
∵所求的直线与两坐标轴围成的三角形面积为 4
∴，∴
∴所求的直线方程为或
（2）设圆的半径为，∵圆与直线相切
∴∴所求的圆的方程为
点睛：本题主要考查了直线方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.