2026届吉林省榆树市榆树一中高二数学第一学期期末统考试题含解析.doc

2026届吉林省榆树市榆树一中高二数学第一学期期末统考试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列判断正确的是（ ）
A.甲与丙是互斥事件 B.乙与丙是对立事件
C.甲与丁是对立事件 D.丙与丁是互斥事件
2．已知命题：，；命题：，.则下列命题中为真命题的是（）
A. B.
C. D.
3．已知抛物线内一点，过点的直线交抛物线于，两点，且点为弦的中点，则直线的方程为（）
A. B.
C D.
4．若且，则下列选项中正确的是（）
A B.
C. D.
5．已知直线与直线垂直，则a＝（）
A.3 B.1或﹣3
C.﹣1 D.3或﹣1
6．设等差数列，前n项和分别是，若，则（）
A.1 B.
C. D.
7．下列说法错误的是（ ）
A.“若，则”的逆否命题是“若，则”
B.“”的否定是”
C.“是"”的必要不充分条件
D.“或是"”的充要条件
8．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2022项中有（ ）个奇数
A.1012 B.1346
C.1348 D.1350
9．年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收量可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和两个氧原子构成的，其结构式为.已知氧有、、三种天然同位素，碳有、、三种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有（ ）
A.种 B.种
C.种 D.种
10．某班对期中成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学的成绩按01，02，03，……，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数1开始向右读，则选出的第6个个体是（ ）
（注：如下为随机数表的第8行和第9行）
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 45 07 44 38 15 51 00 13
A.07 B.25
C.42 D.52
11．已知椭圆：的左、右焦点为，，上顶点为P，则（）
A.为锐角三角形 B.为钝角三角形
C.为直角三角形 D.，，三点构不成三角形
12．已知数列满足：且，则此数列的前20项的和为（ ）
A.621 B.622
C.1133 D.1134
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设a为实数，若直线与直线平行，则a值为______.
14．射击队某选手命中环数的概率如下表所示：
命中环数
10
9
8
7

概率
0.32
0.28
0.18
0.12
0.1
该选手射击两次，两次命中环数相互独立，则他至少命中一次9环或10环的概率为_________________.(结果用小数表示)
15．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是__________

16．已知是椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直线，以点为圆心的圆C与直线l相切
（1）求圆C的标方程；
（2）过点的直线交圆C于A，B两点，且，求的方程
18．（12分）平面直角坐标系xOy中，点，，点M满足.记M的轨迹为C.
（1）说明C是什么曲线，并求C的方程；
（2）已知经过的直线l与C交于A，B两点，若，求.
19．（12分）已知椭圆：过点，其左、右顶点分别为，，上顶点为，直线与直线的斜率之积为.

（1）求椭圆的方程；
（2）如图，直线：分别与线段（不含端点）和线段的延长线交于，两点，直线与椭圆的另一交点为，求证：，，三点共线.
20．（12分）已知动圆过点且动圆内切于定圆：记动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线方程；
（2）若、是曲线上两点，点满足求直线的方程.
21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是的中点

（1）求证：；
（2）已知二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值
22．（10分）已知椭圆，四点中，恰有三点在椭圆上
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线不经过点，且与椭圆相交于不同的两点．若直线与直线的斜率之和为，证明：直线过一定点，并求此定点坐标
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据互斥事件和对立事件的定义判断
【详解】当第一次取出1，第二次取出4时，甲丙同时发生，不互斥不对立；
第二次取出的球的数字是6与两次取出的球的数字之和是5不可能同时发生，但可以同时不发生，不对立，
当第一次取出1，第二次取出3时，甲与丁同时发生，不互斥不对立，
两次取出的球的数字之和是5与两次取出的球的数字之和是偶数不可以同时发生，但可以同时不发生，因此是互斥不对立
故选：D
2、C
【解析】利用基本不等式判断命题的真假，由不等式性质判断命题的真假，进而确定它们所构成的复合命题的真假即可.
【详解】由，当且仅当时等号成立，故不存在使，
所以命题为假命题，而命题为真命题，则为真，为假，
故为假，为假，为真，为假.
故选：C
3、B
【解析】利用点差法求出直线斜率，即可得出直线方程.
【详解】设，
则，两式相减得，
即，
则直线方程为，即.
故选：B.
4、C
【解析】对于A，作商比较，对于B，利用基本不等式的推广式判断，对于C，利用在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积判断，对于D，利用放缩法判断
【详解】
，故错误；
，故错误；
在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积（必修三阅读材料割圆术），则
，故正确；
，故错误
故选：C
【点睛】关键点点睛：此题考查不等式的综合应用，考查基本不等式的推广式的应用，考查放缩法的应用，对于C项解题的关键是利用了在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积求解，考查数学转化思想，属于难题
5、D
【解析】根据，得出关于的方程，即可求解实数的值.
【详解】直线与直线垂直，
所以，解得或.
故选：D.
6、B
【解析】根据等差数列的性质和求和公式变形求解即可
【详解】因为等差数列，的前n项和分别是，
所以，
故选：B
7、C
【解析】利用逆否命题、命题的否定、充分必要性的概念逐一判断即可.
【详解】对于A，“若，则”的逆否命题是“若，则”，正确；
对于B，“”的否定是”，正确；
对于C，“”等价于“或，
∴ “是"”的充分不必要条件，错误；
对于D，“或是"”的充要条件，正确.
故选：C
8、C
【解析】由斐波那契数列的前几项分析该数列的项的奇偶规律，由此确定该数列的前2022项中的奇数的个数.
【详解】由已知可得为奇数，为奇数，为偶数，因为，
所以为奇数，为奇数，为偶数，
…………
所以为奇数，为奇数，为偶数，
又
故该数列的前2022项中共有1348个奇数，
故选：C.
9、C
【解析】分两种情况讨论：两个氧原子相同、两个氧原子不同，分别计算出两种情况下二氧化碳分子的个数，利用分类加法计数原理可得结果.
【详解】分以下两种情况讨论：
若两个氧原子相同，此时二氧化碳分子共有种；
若两个氧原子不同，此时二氧化碳分子共有种.
由分类加法计数原理可知，由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有种.
故选：C.
10、D
【解析】从指定位置起依次读两位数码，超出编号的数删除.
【详解】根据题意，从随机数表第9行第5列的数1开始向右读，
依次选出的号码数是：12，34，29，56，07，52；
所以第6个个体是52.
故选：D.
11、A
【解析】根据题意求得，要判断的形状，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判断，从而可得结论.
【详解】解：由椭圆：，得，
则，
则，
所以且为锐角，
因为，
所以锐角，
所以为锐角三角形.
故选：A.
12、C
【解析】这个数列的奇数项是公差为2的等差数列，偶数项是公比为2的等比数列，只要分开来计算即可.
【详解】由于，所以当n为奇数时，是等差数列，即：
共10项，
和为；
，共10项，
其和为；
∴该数列前20项的和；
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据两直线平行得到，解方程组即可求出结果.
【详解】由题意可知，解得，
故答案为：.
14、84
【解析】先求出该选手射击两次，两次命中的环数都低于9环的概率，由对立事件的概率可得答案.
【详解】该选手射击一次，命中的环数低于9环的概率为
该选手射击两次，两次命中的环数都低于9环的概率为
所以他至少命中一次9环或10环的概率为
故答案：0.84
15、405
【解析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，
16、##
【解析】根据题中几何关系，求得点坐标，代入椭圆方程求得齐次式，整理化简即可求得离心率.
【详解】根据题意，取点为第一象限的点，过点作的垂线，垂足为，如下所示：

因为△为等边三角形，又，
故可得
则点的坐标为，代入椭圆方程可得：，
又，整理得：，
即，解得（舍）或.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）或
【解析】（1）根据点到直线的距离公式求出半径，即可得到圆C的标方程；
（2）根据弦长公式可求出圆心C到直线的距离，再根据点到直线的距离公式结合分类讨论思想即可求出
【小问1详解】
设圆C的半径为r，∵C与l相切，∴，
∴圆C的标准方程为
【小问2详解】
由可得圆心C到直线的距离
∴当的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到的距离为3，符合条件；
当的斜率存在时，设，圆心C到直线的距离，解得，此时的方程为，即
综上，的方程为或
18、（1）C是以点，为左右焦点的椭圆，
（2）
【解析】（1）根据椭圆的定义即可得到答案.
（2）当垂直于轴时，，舍去.当不垂直于轴时，可设，再根据题意结合韦达定理求解即可.
【小问1详解】
因为，，
所以C是以点，为左右焦点的椭圆.
于是，，故，因此C的方程为.
【小问2详解】
当垂直于轴时，，，舍去.
当不垂直于轴时，可设，
代入可得.
因为，设，，
则，.
因为，
所以.
同理.因此.
由可得，，
于是.
根据椭圆定义可知，于是.
19、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由和，联立求解；
（2）由（1）易得直线：，直线：，，分别与x=t联立，求得M，N坐标，设，利用，得到，然后两边乘以，结合点P在椭圆上化简得到即可，
【详解】（1）在椭圆中，，，，
则，，
由题意得：，又，
解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）可知，，，，则直线：，
直线：，由题意，，
联立，同理联立，
设，则①，
且点满足：，即，
两边乘以，可得：，
代入①得：，
而，
则，所以，，三点共线.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）根据两圆内切，以及圆过定点列式求轨迹方程；（2）利用重心坐标公式可知，，再设直线的方程为与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解直线方程.
【详解】（1）由已知可得，两式相加可得则点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，则因此曲线的方程是
(2)因为，则点是的重心，易得直线的斜率存在，设直线的方程为，

联立消得：

且①
②
由①②解得则直线的方程为即
【点睛】本题考查直线与椭圆的问题关系，本题的关键是根据求得，.
21、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）由菱形及线面垂直的性质可得、，再根据线面垂直的判定、性质即可证结论.
（2）构建空间直角坐标系，设，结合已知确定相关点坐标，进而求面、面的法向量，结合已知二面角的余弦值求出参数t，再根据空间向量夹角的坐标表示求与平面所成角的正弦值
【小问1详解】
由平面，平面，则，
又是菱形，则，又，
所以平面，平面
所以E.
【小问2详解】
分别以，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，
设，则，
由（1）知：平面的法向量为，
令面的法向量为，则，令，可得，
因为二面角的余弦值为，则，
可得，则，
设与平面所成的角为，又，，
所以.

22、（1）
（2）证明见解析，定点
【解析】（1）先判断出在椭圆上，再代入求椭圆方程；
（2）假设斜率存在，设出直线，利用斜率之和为，求出之间的关系，即可求出定点，再说明斜率不存在时，直线仍过该点即可.
【小问1详解】
由对称性同时在椭圆上或同时不在椭圆上，从而在椭圆上，因此不在椭圆上，故在椭圆上，
将，代入椭圆的方程，解得，
所以椭圆的方程为
【小问2详解】
当直线斜率存在时，令方程为，
由得

所以得
方程为，过定点
当直线斜率不存在时，令方程为，
由，即解得
此时直线方程为，也过点
综上，直线过定点.
【点睛】本题关键点在于先假设斜率存在，设出直线，利用题目所给条件得到之间的关系，即可求出定点，再说明斜率不存在时，直线仍过该点即可，属于定点问题的常见解法，注意积累掌握.