2025-2026学年广东省广州市广东二师番禺附中高一数学第一学期期末达标检测试题含解析.doc

2025-2026学年广东省广州市广东二师番禺附中高一数学第一学期期末达标检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若，则的可能值为（ ）
A.0 B.0，1
C.0，2 D.0，1，2
2．已知幂函数的图象过点，则
A. B.
C.1 D.2
3．圆与圆的位置关系是（ ）
A.内含 B.内切
C.相交 D.外切
4．函数的零点个数为（）
A.0 B.1
C.2 D.3
5．若函数在闭区间上有最大值5，最小值1，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6．的值为（　　）
A. B.
C. D.
7．设全集，则图中阴影部分所表示的集合是

A. B.
C. D.
8．集合，，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（）
A. B.
C. D.
9．已知点在函数的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是（）
A. B.
C. D.
10．设全集为，集合，，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________.

12．已知，，，则的最小值___________.
13．已知指数函数的解析式为，则函数的零点为_________
14．在空间直角坐标系中，设，，且中点为，是坐标原点，则__________
15．两平行直线与之间的距离______.
16．已知幂函数图像过点，则该幂函数的解析式是______________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）从区间内任意选取一个实数，求事件“”发生的概率；
（2）从区间内任意选取一个整数，求事件“”发生的概率.
18．设，，已知，求a的值.
19．已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
20．如图1，直角梯形ABCD中，，，．如图2，将图1中沿AC折起，使得点D在平面ABC上的正投影G在内部．点E为AB的中点．连接DB，DE，三棱锥D－ABC的体积为．对于图2的几何体

（1）求证：；
21．已知函数.

（1）在给定的坐标系中，作出函数的图象；
（2）写出函数的单调区间（不需要证明）；
（3）若函数的图象与直线有4个交点，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据，分，，讨论求解.
【详解】因为，
当时，集合为，不成立；
当时，集合为，成立；
当时，则（舍去）或，
当时，集合为
故选：C
2、B
【解析】先利用待定系数法求出幂函数的表达式，然后将代入求得的值.
【详解】设，将点代入得，解得，则，
所以，答案B.
【点睛】主要考查幂函数解析式的求解以及函数值求解，属于基础题.
3、D
【解析】根据两圆的圆心距和两半径的和与差的关系判断.
【详解】因为圆与圆的圆心距为：
两圆的半径之和为：，
所以两圆相外切，
故选：D
4、B
【解析】作出函数图像，数形结合求解即可.
【详解】解：根据题意，，故，
故函数与的图像如图，

由于函数与的图像只有一个交点，
所以方程有且只有一个实数根，
所以函数的零点个数为1个.
故选：B
5、D
【解析】数形结合：根据所给函数作出其草图，借助图象即可求得答案
【详解】，
令，即，解得或，，
作出函数图象如下图所示：

因为函数在闭区间上有最大值5，最小值1，
所以由图象可知，
故选：D
【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查数形结合思想，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类问题的关键
6、B
【解析】由诱导公式可得，故选B.
7、D
【解析】
阴影部分表示的集合为在集合N中去掉集合M，N的交集，即得解.
【详解】由维恩图可知，阴影部分表示的集合为在集合N中去掉集合M，N的交集，

由题得,
所以阴影部分表示的集合为.
故选：D
【点睛】本题主要考查维恩图，考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
8、B
【解析】首先求出集合，再结合韦恩图及交集、并集、补集的定义计算可得；
【详解】解：∵，，
∴，则，，
选项A中阴影部分表示的集合为，即，故A错误；
选项B中阴影部分表示的集合由属于A但不属于B的元素构成，即，故B正确；
选项C中阴影部分表示的集合由属于B但不属于A的元素构成，即，有1个元素，故C错误；
选项D中阴影部分表示的集合由属于但不属于的元素构成，即，故D错误
故选：B
9、D
【解析】由题意可得，再依次验证四个选项的正误即可求解.
【详解】因为点在函数的图象上，
所以，
，故选项A不正确；
，故选项B不正确；
，故选项C不正确；
，故选项D正确.
故选：D
10、B
【解析】先求出集合B的补集，再根据集合的交集运算求得答案.
【详解】因为，所以，
故，
故选:B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、30°
【解析】∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角).
∵OC⊂平面BB′C′C，AB⊥平面BB′C′C，
∴OC⊥AB.又OC⊥OB，AB∩BO＝B，
∴OC⊥平面ABO.又AO⊂平面ABO，
∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，，∴∠OAC＝30°.
即AO与A′C′所成角度数为30°.
点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角
12、
【解析】利用“1”的变形，结合基本不等式，求的最小值.
【详解】，
当且仅当时，即等号成立，
，解得：，，
所以的最小值是.
故答案为：
13、1
【解析】解方程可得
【详解】由得，
故答案为：1
14、
【解析】，故
15、2
【解析】根据平行线间距离公式可直接求解.
【详解】直线与平行
由平行线间距离公式可得
故答案为:2
【点睛】本题考查了平行线间距离公式的简单应用,属于基础题.
16、
【解析】设出幂函数的函数表达，然后代点计算即可.
【详解】设，因为，所以，所以函数的解析式是
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）由，得，即，故由几何概型概率公式，可得从区间内任意选取一个实数，求事件“”发生的概率；（2）由，得，整数有个，在区间的整数有个，由古典概型概率公式可知得，从区间内任意选取一个整数事件“”发生的概率.
试题解析：（1）因为，所以，即，
故由几何概型可知，所求概率为.
（2）因为，所以，
则在区间内满足的整数为1，2，3，共3个，
故由古典概型可知，所求概率为.
18、-3
【解析】根据，分和，讨论求解.
【详解】解：因为，，且，
所以当时，解得，此时，不符合题意；
当时，解得或，
若，则，不成立；
若，则，成立；
所以a的值为-3.
19、（1）
（2），
【解析】【小问1详解】
由题意，
解得，即
故
【小问2详解】
由题意
即，又，故

故

20、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】(1)取AC的中点F，连接DF，CE，EF，证明AC⊥平面DEF即可.
(2)以G为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解线面角.
【小问1详解】
取AC的中点F，连接DF，CE，EF，则△DAC，△EAC均为等腰直角三角形
∴AC⊥DF，AC⊥EF，∵DF∩EF＝F，∴AC⊥平面DEF，又DE⊂平面DEF，∴DE⊥AC
【小问2详解】
连接GA，GC，
∵DG⊥平面ABC，而GA⊂平面ABC，GC⊂平面ABC，∴DG⊥GA，DG⊥GC，
又DA＝DC，∴GA＝GC，∴G在AC的垂直平分线上，又EA＝EC，∴E在AC的垂直平分线上，∴EG垂直平分AC，又F为AC的中点，∴E，F，G共线
∴S△ABC＝×|AC|×|BC|＝×6×6＝18，
∴VDABC＝×S△ABC×|DG|＝×18×|DG|＝12，∴DG＝2
在Rt△DGF中，|GF|＝
以G为坐标原点，GM为x轴，GE为y轴，GD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，－1，0)，E(0，2，0)，C(－3，－1，0)，D(0，0，2)，
∴＝(0，2，－2)，＝(3，－1，－2)，＝(－3，－1，－2)，
设平面DAC的法向量为＝(x，y，z)，
则，得，令z＝1，得：，
于是，.
21、（1）图象见解析；（2）单调增区间为；单调减区间是为；（3）.
【解析】（1）分段依次作出图象即可；
（2）看图写出单调区间即可；
（3）作出直线图象，数形结合得到实数的取值范围即可.
【详解】解：（1）作图如下：

（2）看图可知函数的单调增区间为，函数的单调减区间为；
（3）如图，若函数的图象与直线有4个交点，则需.
所以实数的取值范围为.