2026届山东省潍坊寿光市高一数学第一学期期末经典试题含解析.doc

2026届山东省潍坊寿光市高一数学第一学期期末经典试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．给定函数①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数的序号是（ ）
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
2．已知全集，集合，，则（）
A.{2，3，4} B.{1，2，4，5}
C.{2，5} D.{2}
3．函数的零点的个数为
A. B.
C. D.
4．已知是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ）
A. B.
C. D.
5．在中，已知，则角（）
A. B.
C. D.或
6．一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为

A. B.
C. D.
7．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）

A. B.-
C.2 D.
8．函数y＝sin（2x）的单调增区间是（　　）
A.，]（k∈Z） B.，]（k∈Z）
C.，]（k∈Z） D.，]（k∈Z）
9．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为
A. B.
C. D.
10．已知、是方程两个根，且、，则的值是（）
A. B.
C.或 D.或
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，若，则的形状一定是___________三角形.
12．已知定义在上的偶函数，当时，，则________
13．对于定义在上的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调递增的；②当时，函数的值域也是，则称是函数的一个“递增黄金区间”.下列函数中存在“递增黄金区间”的是：___________.（填写正确函数的序号）
①；②；③；④.
14．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______
15．集合，则____________
16．在空间直角坐标系中，点和之间的距离为____________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；
（3）设，是否存在正实数，使得函数在内的最大值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．某药物研究所开发了一种新药，根据大数据监测显示，病人按规定的剂量服药后，每毫升血液中含药量y（微克）与时间x（小时）之间的关系满足：前1小时内成正比例递增，1小时后按指数型函数y=max−1（m,a为常数，且0<a<1）图象衰减.如图是病人按规定的剂量服用该药物后，每毫升血液中药物含量随时间变化的曲线.

（1）当a=时，求函数y=f(x)的解析式，并求使得y≥1的x的取值范围；
（2）研究人员按照M=的值来评估该药的疗效，并测得M≥时此药有疗效.若病人某次服药后测得x=3时每毫升血液中的含药量为y=8，求此次服药有疗效的时长.
19．已知向量，
（1）若与垂直，求实数的值；
（2）求向量在方向上的投影
20．已知函数（且）在定义域上单调递增，且在上的最小值为
（1）求的值；
（2）求满足的取值范围
21．在平面直角坐标系中，已知角α的始边为x轴的非负半轴，终边经过点P（-，）
（Ⅰ）求cos（α-π）的值；
（Ⅱ）若tanβ=2，求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据指对幂函数性质依次判断即可得答案.
【详解】解：对于①，在上单调递增；
对于②，在上单调递减；
对于③，时，在上单调递减；
对于④，在上单调递增；
故在区间上单调递减的函数的序号是②③
故选：B
2、B
【解析】根据补集的定义求出，再利用并集的定义求解即可.
【详解】因为全集，，
所以，
又因为集合，
所以，
故选：B.
3、B
【解析】略
【详解】因为函数单调递增，且x=3,y>0,x=1,y<0，所以零点个数为1
4、B
【解析】利用向量垂直求得，代入夹角公式即可.
【详解】设的夹角为；
因为，，
所以，
则，
则
故选：B
【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.
5、C
【解析】利用正弦定理求出角的正弦值，再求出角的度数.
【详解】因为，
所以，
解得：，，
因为，
所以.
故选：C.
6、D
【解析】由几何体的正视图和俯视图可知，三棱锥的顶点在底面内的射影在底面棱上，则原几何体如图所示，从而侧视图为D．故选D

7、A
【解析】如图所示，分别取，，，的中点，，，，则，，，或其补角 为异面直线与所成角
【详解】解：如图所示，

分别取，，，的中点，，，，则，，，
或其补角为异面直线与所成角
设，则，，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选：A
【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角
8、D
【解析】先将自变量的系数变为正数，再由三角函数的单调性得出自变量所满足的不等式，求解即可得出所要的单调递增区间
【详解】y＝sin（2x）＝﹣sin（2x）
令，k∈Z解得，k∈Z
函数的递增区间是，]（k∈Z）
故选D
【点睛】本题考查正弦函数的单调性，求解本题的关键有二，一是将自变量的系数为为正，二是根据正弦函数的单调性得出相位满足的取值范围，解题时不要忘记引入的参数的取值范围即k∈Z
9、C
【解析】由题意：，
且：，
据此：，
结合函数的单调性有：，
即.
本题选择C选项.
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
10、B
【解析】先用根与系数的关系可得＋＝，＝4，从而可得＜0，＜0，进而，所以，然后求的值，从而可求出的值.
【详解】由题意得＋＝，＝4，
所以，
又、，故，
所以，
又.
所以.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、等腰
【解析】根据可得，利用两角和的正弦公式展开，再逆用两角差的正弦公式化简，结合三角形内角的范围可得，即可得的形状.
【详解】因，，
所以，
即，
所以，可得：，
因为，，所以
所以，即，故是等腰三角形.
故答案为：等腰.
12、6
【解析】利用函数是偶函数，，代入求值.
【详解】是偶函数，
.
故答案6
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值，意在考查转化与变形，属于简单题型.
13、②③
【解析】由条件可得方程有两个实数解，然后逐一判断即可.
【详解】∵在上单调递增，由条件②可知，即方程有两个实数解；
∵x+1=x无实数解，∴①不存在“递增黄金区间”；
∵的两根为：1和2，不难验证区间[1，2]是函数的一个“递增黄金区间”；
在同一坐标系中画出与的图象如下：

由图可得方程有两个根，∴③也存在“递增黄金区间”；
在同一坐标系中画出与的图象如下：

所以没有实根，∴④不存在.
故答案为：②③.
14、
【解析】根据奇函数的性质求解
【详解】时，，是奇函数，
此时
故答案为：
15、
【解析】分别解出集合,，再根据并集的定义计算可得.
【详解】∵∴，
∵，∴，
则，
故答案为：
【点睛】本题考查指数不等式、对数不等式的解法，并集的运算，属于基础题.
16、
【解析】利用空间两点间的距离公式求解.
【详解】由空间直角坐标系中两点间距离公式可得.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）；（3）存在，.
【解析】（1）根据对数函数的定义域列不等式求解即可.
（2）由函数的单调性和零点存在定理，列不等式求解即可.
（3）由对勾函数的性质可得函数的单调区间，利用分类讨论的思想讨论定义域与单调区间的关系，再利用函数的最值存在性问题求出实数的值.
【详解】（1）由题意，函数有意义，则满足，解得，
即函数的定义域为.
（2）由，且，
可得，
且为单调递增连续函数，
又函数在上有且仅有一个零点，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是.
（3）由，设，
则，
易证在为单调减函数，在为单调增函数，
当时，函数在上为增函数，所以最大值为，
解得，不符合题意，舍去；
当时，函数在上为减函数，所以最大值为，
解得，不符合题意，舍去；
当时，函数在上减函数，在上为增函数，
所以最大值为或，解得，符合题意，
综上可得，存在使得函数的最大值为4.
【点睛】本题考查了对数函数的定义域问题、零点存在定理、对勾函数的应用，考查了理解辨析的能力、数学运算能力、分类讨论思想和转化的数学思想，属于一般题目.
18、（1），
（2）小时
【解析】（1）根据图像求出解析式；令直接解出的取值范围；
（2）先求出，得到，根据单调性计算出解集即可.
【小问1详解】
当时，与成正比例，设为，则；
所以，当时，故
当时，令解得：，
当时，令得：，
综上所述，使得的的取值范围为：
【小问2详解】
当时，，解得
所以，则
令，解得，
由单调性可知的解集为，所以此次服药产生疗效的时长为小时
19、（1）；（2）.
【解析】（1）利用坐标运算表示出，由向量垂直的坐标表示可构造方程求得结果；（2）根据可直接求得结果.
【详解】（1）
与垂直 ，解得：
（2）向量在方向上的投影为：

【点睛】本题考查向量垂直关系的坐标表示、向量在方向上的投影的求解；关键是能够由向量垂直得到数量积为零、能熟练掌握投影公式，从而利用向量坐标运算求得结果.
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）由函数的单调性和最值可求得实数的值；
（2）由已知条件可得，利用对数函数的单调性可得出的取值范围.
【小问1详解】
解：因为在定义域上单调递增，所以，
因为在上的最小值为，
所以，所以
小问2详解】
解；由，可得，解得.
所以的取值范围是
21、（I）；（II）.
【解析】由任意角三角函数的定义可得，，
（Ⅰ）可求
（Ⅱ）有，，利用诱导公式及同角基本关系即可化简求解
【详解】解：由题意可得cosα=，sin，
（Ⅰ）cos（α-π）=-cosα=，
（Ⅱ）∵tanβ=2，tanα=，
∴====
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，同角基本关系的基本应用，属于基础试题．