2025-2026学年河南省周口市西华一中高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2025-2026学年河南省周口市西华一中高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知长方体中，，，则直线与所成角的余弦值是（）
A. B.
C. D.
2．已知空间向量，，且与互相垂直，则k的值是（）
A.1 B.
C. D.
3．已知抛物线， 为坐标原点，以为圆心的圆交抛物线于、两点，交准线于、两点，若，，则抛物线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4．已知数列为等比数列，则“，”是“为递减数列”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．如图，椭圆的右焦点为，过与轴垂直的直线交椭圆于第一象限的点，点关于坐标原点的对称点为，且，，则椭圆方程为（）

A. B.
C. D.
6．若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A.或 B.
C.或 D.
7．已知点在平面α上，其法向量，则下列点不在平面α上的是（ ）
A. B.
C. D.
8．如图，某铁路客运部门设计的从甲地到乙地旅客托运行李的费用c（元）与行李质量w（kg）之间的流程图．已知旅客小李和小张托运行李的质量分别为30kg，60kg，且他们托运的行李各自计费，则这两人托运行李的费用之和为（）

A.28元 B.33元
C.38元 D.48元
9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，的面积为10，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为（）
A. B.
C. D.
11．已知函数，则（　　）
A.0 B.1
C.2 D.
12．下列命题中的假命题是(　　)
A.若log2x<2,则0<x<4
B.若与共线,则与的夹角为0°
C.已知各项都不为零的数列{an}满足an+1-2an=0,则该数列为等比数列
D.点(π,0)是函数y=sin x图象上一点
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．复数（其中i为虚数单位）的共轭复数______
14．曲线在点处的切线的方程为__________.
15．抛物线的焦点到准线的距离等于__________.
16．等轴（实轴长与虚轴长相等）双曲线的离心率_______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）四边形的顶点在椭圆上，且对角线，均过坐标原点，若，求的取值范围.
18．（12分）某项目的建设过程中，发现其补贴额x（单位：百万元）与该项目的经济回报y（单位：千万元）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表：
补贴额x（单位：百万元）
2
3
4
5
6
经济回报y（单位：千万元）
2.5
3
4
4.5
6
（1）请根据上表所给的数据，求出y关于x的线性回归直线方程；
（2）为高质量完成该项目，决定对负责该项目的7名工程师进行考核.考核结果为4人优秀，3人合格.现从这7名工程师中随机抽取3人，用X表示抽取的3人中考核优秀的人数，求随机变量X的分布列与期望.
参考公式：
19．（12分）已知动点M到点F（0，2）的距离，与点M到直线l：y＝﹣2的距离相等.
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）若过点F且斜率为1的直线与动点M的轨迹交于A，B两点，求线段AB的长度.
20．（12分）已知数列，若_________________
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解
①；
②，，；
③，点，在斜率是2的直线上
21．（12分）如图，△ABC中，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体

（1）求该几何体中间一个空心球表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积
22．（10分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且的短轴长为
（1）求的方程；
（2）若直线与交于P，Q两点，，且的面积为，求k
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】建立空间直角坐标系，设直线与所成角为，由求解.
【详解】∵长方体中，，，
∴分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
，
则，，，，
所以，，
设直线与所成角为，
则，
∴直线和夹角余弦值是.
故选：C.
2、D
【解析】由＝0可求解
【详解】由题意
，

故选：D
3、C
【解析】设圆的半径为，根据已知条件可得出关于的方程，求出正数的值，即可得出抛物线的方程.
【详解】设圆的半径为，抛物线的准线方程为，由勾股定理可得，
因为，将代入抛物线方程得，可得，
不妨设点，则，所以，，解得，
因此，抛物线的方程为.
故选：C.
4、A
【解析】本题可依次判断“，”是否是“为递减数列”的充分条件以及必要条件，即可得出结果.
【详解】若等比数列满足、，则数列为递减数列，
故“，”是“为递减数列”的充分条件，
因为若等比数列满足、，则数列也是递减数列，
所以“，”不是“为递减数列”的必要条件，
综上所述，“，”是“为递减数列”的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判定，考查等比数列以及递减数列的相关性质，体现了基础性和综合性，考查推理能力，是简单题.
5、C
【解析】连结，设，则，，由可求出，进而可求出，得出椭圆方程.
【详解】由题意设椭圆的方程：，设左焦点为，
连结，由椭圆的对称性易得四边形为平行四边形，

由得，
又，
设，则，，
又，解得，
又由，，
解得，，，
则椭圆的方程为.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆的标准方程求解及椭圆的简单几何性质，在求解椭圆标准方程时，关键是求解基本量，，.
6、A
【解析】由和的分母异号可得
【详解】由题意，解得或
故选：A
7、D
【解析】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可.
【详解】
对于A：记,则.
因为，所以点在平面α上
对于B：记,则.
因为，所以点在平面α上
对于C：记,则.
因为，所以点在平面α上
对于D：记,则.
因为，所以点不在平面α上.
故选：D
8、D
【解析】根据程序框图分别计算小李和小张托运行李的费用，再求和得出答案.
【详解】由程序框图可知，当时，元；当时，元，所以这两人托运行李的费用之和为元.
故选：D
9、A
【解析】由同角公式求出，根据三角形面积公式求出，根据余弦定理求出，根据正弦定理求出.
【详解】因为，所以，
因为，的面积为10，所以，故，
从而，解得，
由正弦定理得：.
故选：A.
【点睛】本题考查了同角公式，考查了三角形的面积公式，考查了余弦定理，考查了正弦定理，属于基础题.
10、C
【解析】求出圆心到直线的距离，再利用，化简求值，即可得到答案.
【详解】圆的圆心为，圆心到直线的距离公式为，

故
故选：C.
11、C
【解析】对函数f(x)求导即可求得结果.
【详解】函数,则，
，
故选C
【点睛】本题考查正弦函数的导数的应用，属于简单题.
12、B
【解析】四个选项中需要分别利用对数函数的性质，向量共线的定义，等比数列的定义以及三角函数图像判断，根据题意结合知识点，即可得出结果.
【详解】选项A，由于此对数函数单调递增，并且结合对数函数定义域，即可求得结果，所以是真命题；
选项B，向量共线，夹角可能是或，所以是假命题；
选项C，将式子变形可得，符合等比数列定义，所以是真命题；
选项D，将点代入解析式，等号成立，所以是真命题；
故选B.
【点睛】本题考查命题真假的判定，根据题意结合各知识点即可判断真假，需要熟练掌握对数函数、等比数列、向量夹角以及三角函数的基本性质.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】根据共轭复数的概念，即可得答案.
【详解】由题意可知：复数（其中i为虚数单位）的共轭复数，
故答案为：
14、
【解析】求出导函数，得切线斜率后可得切线方程
【详解】，∴切线斜率为，
切线方程为
故答案为：
15、
【解析】先将抛物线方程，转化为标准方程，求得焦点坐标，准线方程即可.
【详解】因为抛物线方程是，
转化为标准方程得：，
所以抛物线开口方向向右，焦点坐标 准线方程为：，
所以焦点到准线的距离等于.
故答案为：
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
16、
【解析】由题意可知，，由，化简可求离心率.
【详解】由题意可知，，两边同时平方，
得，即，，
所以离心率，
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据椭圆的离心率为，且过点，由求解；
（2）设直线AC方程为，则直线BD的方程为，分时，与椭圆方程联立求得A，B的坐标，再利用数量积求解.
【小问1详解】
解：因为椭圆的离心率为，且过点，
所以，
所以 ，
所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
设直线AC的方程为，则直线BD的方程为.
当时，联立，得，不妨设A，
联立，得，
当B时，，
，
当B时，，
，
当时，同理可得上述结论.
综上，
18、（1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
【解析】（1）根据表中的数据和公式直接求解即可，
（2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，然后求各自对应的概率，从而可求得分布列和期望
【小问1详解】
.
，.
.
.
【小问2详解】
由题意可知，的可能取值为0，1，2，3.
，
，
分布列为

0
1
2
3

.
19、（1）x2＝8y
（2）16
【解析】小问1：由抛物线的定义可求得动点M的轨迹方程；
小问2：可知直线AB的方程为y＝x+2，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出y1+y2的值，利用抛物线的定义可求得|AB|的值.
【小问1详解】
由题意点M的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，
所以，则p＝4，
所以动点M的轨迹方程是x2＝8y；
【小问2详解】
由已知直线AB方程是y＝x+2，设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由得x2﹣8x﹣16＝0，，
所以x1+x2＝8，则y1+y2＝x1+x2+4＝12，故|AB|＝y1+y2+4＝16
20、答案见解析.
【解析】（1）若选①，根据通项公式与前项和的关系求解通项公式即可；
若选②，根据可得数列为等差数列，利用基本量法求解通项公式即可；
若选③，根据两点间的斜率公式可得，可得数列为等差数列进而求得通项公式；
（2）利用裂项相消求和即可
【详解】解：（1）若选①，由，
所以当，，
两式相减可得：，
而在中，令可得：，符合上式，
故
若选②，由（，）可得：数列为等差数列，
又因为，，所以，即，
所以
若选③，由点，在斜率是2的直线上得：，
即，
所以数列为等差数列且
（2）由（1）知：，
所以

21、（1）；
（2）.
【解析】根据旋转体的轴截面图，根据已知条件求球的半径与长，再利用球体、圆锥的面积、体积公式计算即可.
【小问1详解】
连接，则，

设，
在中，，
；
【小问2详解】

，
∴圆锥球.
22、（1）
（2）或k=1.
【解析】（1）根据题意求得双曲线的焦点即知椭圆焦点，结合椭圆短轴长，可求得椭圆标准方程；
（2）将直线方程和椭圆方程联立，整理得，从而得到根与系数的关系式，然后求出弦长以及到直线PQ的距离，进而表示出，由题意得关于k的方程，解得答案.
【小问1详解】
双曲线即，
故双曲线交点坐标为 ，
由此可知椭圆焦点也为，
又的短轴长为，故 ，
所以 ，
故椭圆的方程为 ；
【小问2详解】
联立 ，整理得： ，
其 ，
设 ，则 ，
所以
= ，
点到直线PQ的距离为 ，
所以
= ，
又的面积为，则=，
解得或k=1.