2025年广渠门中学高二数学第一学期期末联考试题含解析.doc

2025年广渠门中学高二数学第一学期期末联考试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
2．二项式的展开式中，各项二项式系数的和是（）
A.2 B.8
C.16 D.32
3．若，在直线l上，则直线l一个方向向量为（ ）
A. B.
C. D.
4．在中，，，且BC边上的高为，则满足条件的的个数为（）
A.3 B.2
C.1 D.0
5．函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（ ）
A. B.
C D.
6．是等差数列，，，的第（）项
A.98 B.99
C.100 D.101
7．双曲线的离心率是，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
8．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）
A.三点确定一平面 B.不共线三点确定一平面
C.两条相交直线确定一平面 D.两条平行直线确定一平面
9．若直线与平行，则实数m等于（ ）
A.1 B.
C.4 D.0
10．某高校甲、乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级（选修课的成绩等级分为1，2，3，4，5，共五个等级）的条形图如图所示，则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是（）

A.3，5 B.3，3
C.3.5，5 D.3.5，4
11．若，则下列不等式不能成立是（）
A. B.
C. D.
12．有一组样本数据、、、，由这组数据得到新样本数据、、、，其中，为非零常数，则（ ）
A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本标准差相同
C.两组样本数据的样本中位数相同 D.两组样本数据的样本众数相同
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，是其导函数，若曲线的一条切线为直线：，则的最小值为___________.
14．在等比数列中，若，是方程两根，则________.
15．总书记在2021年2月25日召开的全国脱贫攻坚总结表彰大会上发表重要讲话，庄严宣告，在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚取得了全面胜利.在脱贫攻坚过程中，为了解某地农村经济情况，工作人员对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下列结论中所存确结论的序号是____________
①该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%；
②该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%；
③估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元；
④估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
16．已知定点，点在直线上运动，则，两点的最短距离为________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等差数列的前项和满足，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18．（12分）在中，，，的对边分别是，，，已知.
（1）求；
（2）若，且的面积为4，求的周长
19．（12分）已知抛物线的焦点为，点在第一象限且为抛物线上一点，点在点右侧，且△恰为等边三角形
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与交于两点，向量的夹角为（其中为坐标原点），求实数的取值范围.
20．（12分）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问
（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望
21．（12分）已知椭圆C：的离心率为，点为椭圆C上一点
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N是椭圆C上的两个动点，且的角平分线总是垂直于y轴，求证：直线MN的斜率为定值
22．（10分）如图1，在△MBC中，，A，D分别为棱BM，MC的中点，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如图2，连结PB，PC，BD

（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若E为PC中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
2、D
【解析】根据给定条件利用二项式系数的性质直接计算作答.
【详解】二项式的展开式的各项二项式系数的和是.
故选：D
3、C
【解析】利用直线的方向向量的定义直接求解.
【详解】因为，在直线l上，
所以直线l的一个方向向量为.
故选：C.
4、B
【解析】利用等面积法求得，再利用正弦定理求得，利用内角和的关系及两角和差化积公式，二倍角公式转化为，再利用正弦函数的性质求满足条的的个数，即可求解.
【详解】由三角形的面积公式知，即
由正弦定理知
所以，即，
即，即
利用两角和的正弦公式结合二倍角公式化简得
又，则，，且
由正弦函数的性质可知，满足的有2个，
即满足条件的的个数为2.
故选：B
5、C
【解析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.
【详解】由，解得，也即函数的定义域为，由此排除A,B选项.当时，，由此排除D选项.所以正确的为C选项.
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.
6、C
【解析】等差数列，，中，，，由此求出，令，得到是这个数列的第100项
【详解】解：等差数列，，中，，

令，得
是这个数列的第100项
故选：C
7、B
【解析】利用双曲线的离心率，以及渐近线中，关系，结合找关系即可
【详解】解：，又因为在双曲线中，，
所以，
故，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：B
8、B
【解析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上.
【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定.
故选B项.
【点睛】本题考查不共线的三个点确定一个平面，属于简单题.
9、B
【解析】两直线平行的充要条件
【详解】由于 ，则 ， .
故选：B
10、C
【解析】将甲的所有选修课等级从低到高排列可得甲的中位数，由图可知乙的选修课等级的众数.
【详解】由条形图可得，甲同学共有10门选修课，将这10门选修课的成绩等级从低到高排序后，第5，6门的成绩等级分别为3，4，故中位数为，乙成绩等级的众数为5.
故选：C.
11、C
【解析】利用不等式的性质可判断ABD，利用赋值法即可判断C，如.
【详解】解：因为，所以，
所以，，，故ABD正确；
对于C，若，则，故C错误.
故选：C.
12、B
【解析】利用平均数公式可判断A选项；利用标准差公式可判断B选项；利用中位数的定义可判断C选项；利用众数的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，设数据、、、的平均数为，数据、、、的平均数为，
则，A错；
对于B选项，设数据、、、的标准差为，数据、、、的标准差为，

，B对；
对于C选项，设数据、、、中位数为，数据、、、的中位数为，
不妨设，则，
若为奇数，则，；
若为偶数，则，.
综上，，C错；
对于D选项，设数据、、、的众数为，则数据、、、的众数为，D错.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设直线与曲线相切的切点为，借助导数的几何意义用表示出m，n即可作答.
【详解】设直线与曲线相切的切点为，而，则直线的斜率，
于是得，即，
由得，而，于是得，即
因，则，，当且仅当时取“=”，
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.
14、.
【解析】由题意求得，，再结合等比数列的性质，即可求解.
【详解】由题意知，，是方程的两根，可得，，
又由，，所以，，可得，
又由，所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟练应用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15、①②④
【解析】利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项①，②，④，利用平均值的计算方法，即可判断选项③
【详解】解：对于①，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为，故选项①正确；
对于②，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为，故选项②正确；
对于③，估计该地农户家庭年收入的平均值为万元，故选项③错误；
对于④，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为，
故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于45万元至8.5万元之间，故选项④正确
故答案为：①②④
16、
【解析】线段最短，就是说的距离最小，此时直线和直线垂直，可先求的斜率，再求直线的方程，然后与直线联立求交点即可
【详解】定点，点在直线上运动，
当线段最短时，就是直线和直线垂直，
的方程为：，它与联立解得，
所以的坐标是，
所以，
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）由，，可得求出，从而可得的通项公式；
（2）由（1）可得，从而可得，然后利用裂项相消求和法可求得
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，
因为，.
所以，化简得，解得，
所以，
（2）由（1）可知，
所以，
所以
【点睛】此题考查等差数列前项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题
18、（1）（2）
【解析】（1）根据正弦定理及题中条件，可得，化简整理，即可求解
（2）由的面积为4，结合（1）中结论，可得，结合余弦定理，可得，从而可求的周长
【详解】解：（1）由及正弦定理得，
，
又，∴，∴，∴.
（2）∵的面积为，∴.
由余弦定理得，∴.
故的周长为.
【点睛】本题考查正弦定理应用，余弦定理解三角形，三角形面积公式，考查计算化简的能力，属基础题
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据△恰为等边三角形由题意知：得到，再利用抛物线的定义求解；
（2）联立，结合韦达定理，根据的夹角为，由求解.
【小问1详解】
解：由题意知：，
由抛物线的定义知：，
由，解得，
所以抛物线方程为；
【小问2详解】
设，
由，得，
则，，
则，，
因为向量的夹角为，
所以，
，
则，且，
所以，解得，
所以实数的取值范围.
20、（1）
（2）分布列见解析；
【解析】（1）利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求得结果；
（2）确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望.
【小问1详解】
名同学中，会法语的人数为人，
从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法；
选派的人中恰有人会法语的概率.
【小问2详解】
由题意可知：所有可能的取值为，
；；
；；
的分布列为：

数学期望为
21、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可；
（2）根据角平分线的性质，结合一元二次方程根与系数关系、斜率公式进行求解即可.
【小问1详解】
椭圆的离心率，又，∴
∵椭圆C：经过点，解得，
∴椭圆C的方程为；
【小问2详解】
∵∠MPN的角平分线总垂直于y轴，∴MP与NP所在直线关于直线对称．设直线MP的斜率为k，则直线NP的斜率为
∴设直线MP的方程为，直线NP的方程为
设点，
由消去y，得
∵点在椭圆C上，则有，即
同理可得
∴，又
∴直线MN的斜率为
【点睛】关键点睛：由∠MPN的角平分线总垂直于y轴，得到MP与NP所在直线关于直线对称是解题的关键.
22、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】(1)推导出，，利用线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明；
(2)以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线DE与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
由题意知，因为点A、D分别为MB、MC中点，所以，
又，所以，所以.
因为，所以，又，
所以平面，又平面，所以平面平面；
【小问2详解】
因为，，，所以两两垂直，
以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以，设直线DE与平面所成角为，
则，
所以直线DE与平面所成角的正弦值为.