2025年正定中学高二数学第一学期期末质量检测试题含解析.doc

2025年正定中学高二数学第一学期期末质量检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中的系数为
A 5 B.10
C.20 D.40
2．已知呈线性相关的变量x与y的部分数据如表所示：若其回归直线方程是，则（ ）
x
2
4
5
6
8
y
3
4.5
m
7.5
9
A.6.5 B.6
C.6.1 D.7
3．已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（）
A.或 B.
C. D.
4．已知空间向量，，，则（）
A.4 B.-4
C.0 D.2
5．函数，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
6．若，则的虚部为（）
A. B.
C. D.
7．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（ ）
A. B.
C. D.
8．已知圆与圆，则圆M与圆N的位置关系是（）
A.内含 B.相交
C.外切 D.外离
9．已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A.（0，0） B.（2，2）
C. D.
10．设，，，…，，，则（）
A. B.
C. D.
11．已知点，若直线与线段没有公共点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
12．若点P在曲线上运动，则点P到直线的距离的最大值为（）
A. B.2
C. D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数在[1，3]单调递增，则a的取值范围___
14．函数在点处的切线方程是_________
15．如图，在棱长为2的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，分别记四棱锥，的体积为，，则的最小值为______

16．若是直线外一点，为线段的中点，，，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，

（1）若为中点，求证平面；
（2）若，求面与面的夹角的余弦值.
18．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，分别为椭圆的上，下顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点.求证：直线的斜率为定值.
19．（12分）已知两定点，，动点与两定点的斜率之积为
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设（1）中所求曲线为C，若斜率为的直线l过点，且与C交于P，Q两点．问：在x轴上是否存在一点T，使得对任意且，都有（其中，分别表示，的面积）．若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由
20．（12分）已知数列，若_________________
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解
①；
②，，；
③，点，在斜率是2的直线上
21．（12分）已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为原点)，求的取值范围
22．（10分）已知圆C的圆心在直线上，且过点.
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线交于A，B两点，且，求m的值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】首先根据二项展开式的各项系数和，求得，再根据二项展开式的通项为，求得，再求二项展开式中的系数.
【详解】因为二项展开式的各项系数和，所以，
又二项展开式的通项为=，，
所以二项展开式中的系数为．答案选择B
【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题
2、A
【解析】根据回归直线过样本点的中心进行求解即可.
【详解】由题意可得，，
则，解得
故选：A.
3、A
【解析】根据双曲线标准方程的性质，列出关于不等式，求解即可得到答案
【详解】由双曲线的性质：，
解的或，
故选：A
4、A
【解析】根据空间向量平行求出x,y，进而求得答案.
【详解】因为，所以存在实数，使得，则.
故选：A.
5、A
【解析】利用导数判断函数单调递增，然后进行求解.
【详解】对函数进行求导：，因为，，所以，
因为，所以f(x)是奇函数,所以在R上单调递增，
又因为，所以的解集为.
故选：A
6、A
【解析】根据复数的运算化简，由复数概念即可求解.
【详解】因为，
所以的虚部为，
故选：A
7、B
【解析】利用求解.
【详解】解：因为等差数列，的前n项和分别是，
所以.
故选：B
8、B
【解析】将两圆方程化为标准方程形式，计算圆心距，和两圆半径的和差比较，可得答案,
【详解】圆,即，圆心，
圆，即，圆心，
则故有，
所以两圆是相交的关系，
故选：B
9、B
【解析】设点P到准线的距离为，根据抛物线的定义可知，即可根据点到直线的距离最短求出
【详解】如图所示：
设点P到准线的距离为，准线方程为，
所以，当且仅当点为与抛物线的交点时，取得最小值，此时点P的坐标为
故选：B
10、B
【解析】根据已知条件求得的规律，从而确定正确选项.
【详解】，，
，，
，……，以此类推，
，所以.
故选：B
11、A
【解析】分别求出，即可得到答案.
【详解】直线经过定点.

因为，所以,
所以要使直线与线段没有公共点，
只需：，即.
所以的取值范围是.
故选：A
12、A
【解析】由方程确定曲线的形状，然后转化为求圆上的点到直线距离的最大值
【详解】由曲线方程为知曲线关于轴成轴对称，关于原点成中心对称图形，在第一象限内，方程化为，即，在第一象限内，曲线是为圆心，为半径的圆在第一象限的圆弧（含坐标轴上的点），实际上整个曲线就是这段圆弧及其关于坐标轴．原点对称的图形加上原点，
点到直线的距离为，
所以所求最大值为
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由在区间上恒成立来求得的取值范围.
【详解】依题意在区间上恒成立，
在上恒成立，所以.
故答案为：
14、
【解析】求得函数的导数，得到且，再结合直线的点斜式，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得，
则且，
所以在点处切线方程是，即
故答案为：.
15、
【解析】设，用参数表示目标函数，利用均值不等式求最值即可.
【详解】取线段AD中点为F，连接EF、D1F，过P点引于M，于N，
则平面，平面，
则，
∴，
设，
则，，
即，，
∴，
当且仅当时，等号成立，
故答案为：

16、
【解析】根据题意得到，进而得到，求得的值，即可求解.
【详解】因为为线段的中点，所以，
所以，
又因为，所以，所以
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）先证，，再证平面即可；
（2）建立空间直角坐标系，先求出面与面的法向量，再计算夹角余弦值即可.
小问1详解】

取中点，连接，则四边形为平行四边形，
，为直角三角形，且.
又平面，平面，.
又，平面.
【小问2详解】
，为等边三角形，取中点，连接，则，以为坐标原点，分别以为轴建立空间坐标系，如图

令，则，

设面的法向量为，
则由得
取，则
设面的法向量为，则由得
取，则
设面与面的夹角为，则
所以面与面的夹角的余弦值为.
18、（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）根据条件求出，即可写出椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆，可表示出坐标，继而得出直线的方程，令可得的坐标，即可求出直线的斜率并得出定值.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，则①，
②，又③，
由①②③解得，，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：易得，，直线的方程为，因为直线不过点，所以，
由，得，
所以，从而，，
直线的斜率为，故直线的方程为.
令，得，
直线斜率.
所以直线的斜率为定值.
【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.
19、（1）
（2）存在；
【解析】（1）设出点的坐标，根据，即可直接求出动点M的轨迹方程；
（2）根据题意写出直线的方程，把直线的方程与曲线的方程联立，消元，写韦达；根据条件，同时结合三角形的面积公式可得出；从而结合韦达定理可求出点T的坐标.
【小问1详解】
设，由，得，即，
所以动点M的轨迹方程为.
【小问2详解】
设PT与RT夹角为，QT与RT夹角为，
因为，所以，
即，所以，
设，，，直线l的方程为，
因为，所以，即，
所以，即①，
由，得，
所以，
代入①式，得，解得，
所以存在点，使得对任意且，都有.
20、答案见解析.
【解析】（1）若选①，根据通项公式与前项和的关系求解通项公式即可；
若选②，根据可得数列为等差数列，利用基本量法求解通项公式即可；
若选③，根据两点间的斜率公式可得，可得数列为等差数列进而求得通项公式；
（2）利用裂项相消求和即可
【详解】解：（1）若选①，由，
所以当，，
两式相减可得：，
而在中，令可得：，符合上式，
故
若选②，由（，）可得：数列为等差数列，
又因为，，所以，即，
所以
若选③，由点，在斜率是2的直线上得：，
即，
所以数列为等差数列且
（2）由（1）知：，
所以

21、（1）；（2）
【解析】（1）求出椭圆的焦点和顶点，即得双曲线的顶点和焦点，从而易求得标准方程；
（2）将代入，得
由直线与双曲线交于不同的两点，得的取值范围，设，由韦达定理得则
代入可求得的范围
【详解】(1)设双曲线的方程为，
则，再由，得
故的方程为
(2)将代入，
得
由直线与双曲线交于不同的两点，得

①
设
则

又，得，
，即，解得②
由①②得＜k2＜1，
故的取值范围
【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线相交中的范围问题．应注意：
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围
22、（1）
（2）或
【解析】（1）由已知设圆C的方程为，点代入计算即可得出结果.
（2）由已知可得圆心C到直线的距离,利用点到直线的距离公式计算即可求得值.
【小问1详解】
设圆心坐标为，半径为，
圆C的圆心在直线上，.
则圆C的方程为，
圆C过点，则，解得：则，
圆C的圆心坐标为.
则圆C的方程为；
【小问2详解】

圆心C到直线的距离.
则，解得或