浙江省温州市“十五校联合体”2025-2026学年高二数学第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

浙江省温州市“十五校联合体”2025-2026学年高二数学第一学期期末学业质量监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知{an}是以10为首项，－3为公差的等差数列，则当{an}的前n项和Sn，取得最大值时，n =（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
2．已知数列满足，，在（ ）
A.25 B.30
C.32 D.64
3．已知空间向量，，且，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
4．在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（）
A.1 B.
C.－1 D.-2
5．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6．若是真命题，是假命题，则
A.是真命题 B.是假命题
C.是真命题 D.是真命题
7．2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（图1），标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为的相交大圆，分别内含一个半径为1的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（图2）.已知，在两大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为（）

A. B.
C. D.
8．已知圆与直线至少有一个公共点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
9．双曲线：的实轴长为（）
A. B.
C.4 D.2
10．在等比数列中，，，则（）
A.2 B.4
C.6 D.8
11．在等差数列中，已知，则（）
A.4 B.8
C.3 D.6
12．如下图，面与面所成二面角的大小为，且A，B为其棱上两点．直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面中，且都垂直于AB，已知，，，则（）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．圆心为直线与直线的交点，且过原点的圆的标准方程是________
14．命题“，”是真命题，则的取值范围是________
15．椭圆的左焦点为，M为椭圆上的一点，N是的中点，O为原点，若，则______
16．设函数为奇函数，当时，，则_______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四边形是某半圆柱的轴截面（过上下底面圆心连线的截面），线段是该半圆柱的一条母线，点为线的中点

（1）证明：；
（2）若，且点到平面的距离为1，求线段的长
18．（12分）已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值.
19．（12分）已知抛物线C：，过点且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点.
（1）设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为.若，求点B的坐标；
（2）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求的值.
20．（12分）已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线上，且.
（1）求该抛物线的方程；
（2）若点A在第一象限，且抛物线在点A处的切线交y轴于点M，求的面积.
21．（12分）已知椭圆 (a>b>0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.
（1）若e＝，求椭圆的方程；
（2）设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且<e≤，求k的取值范围.
22．（10分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度D（单位：）与声音能量I（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度D和声音能量I的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图：

参考数据：其中，，，，，，，，
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量I的回归模型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）求声音强度D关于声音能量I回归方程
（3）假定当声音强度D大于时，会产生噪声污染．城市中某点P处共受到两个声源的影响，这两个声通的声音能量分别是和，且．已知点P处的声音能量等于与之和．请根据（2）中的回归方程，判断点P处是否受到噪声污染，并说明理由
参考公式：对于一组数据，其回归直线斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】由题可得当时，，当时，，即得.
【详解】∵{an}是以10为首项，－3为公差的等差数列，
∴，
故当时，，当时，，
故时，取得最大值
故选：B.
2、A
【解析】根据题中条件，得出数列公差，进而可求出结果.
【详解】由得，
所以数列是以为公差的等差数列，
又，所以.
故选：A.
【点睛】本题主要考查等差数列的基本量运算，属于基础题型.
3、B
【解析】根据向量垂直得，即可求出的值.
【详解】.
故选：B.
4、C
【解析】以为建立平面直角坐标系，设，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值
【详解】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，
，，，，
∴，
∴当时，取得最小值
故选：C

【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示
5、B
【解析】构造，通过求导，研究函数的单调性及极值，最值，画出函数图象，数形结合求出实数的取值范围.
【详解】令，即，令，当时，，，令得：或，结合，所以，令得：，结合得：，所以在处取得极大值，也是最大值，，当时，，且，
当时，，则恒成立，单调递增，且当时，，当时，，
画出的图象，如下图：

要想有3个零点，则
故选：B
6、D
【解析】因为是真命题，是假命题，所以是假命题，选项A错误，是真命题，选项B错误，是假命题，选项C错误，是真命题，选项D正确，故选D.
考点：真值表的应用.
7、B
【解析】求出两圆相交公共部分两个弓形面积，结合两圆面积可得概率
【详解】如图，是两圆心，是两圆交点坐标，四边形边长均为，又，所以，所以，四边形是正方形，
，
弓形面积为，两个弓形面积为，
两圆涉及部分面积为
所以所求概率为
故选：B

8、C
【解析】利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离范围，从而求出的取值范围.
【详解】圆心到直线的距离，当且仅当时等号成立，故只需即可.
故选：C
9、A
【解析】根据双曲线的几何意义即可得到结果.
【详解】因为双曲线的实轴长为2a，而双曲线中，，所以其实轴长为
故选：A
10、D
【解析】由等比中项转化得，可得，求解基本量，由等比数列通项公式即得解
【详解】设公比为，则由，
得，即
故，解得

故选：D
11、B
【解析】根据等差数列的性质计算出正确答案.
【详解】由等差数列的性质可知，得.
故选:B
12、B
【解析】根据题意，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，进一步判断出该四边形为矩形，然后确定出为二面角的平面角，进而通过余弦定理和勾股定理求得答案.
【详解】如图，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，所以.因为，所以，又，所以是该二面角的一个平面角，即，由余弦定理.

因为，，所以，易得四边形ABDE为矩形，则，而，所以平面ACE，则，于是.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由，求得圆心，再根据圆过原点，求得半径即可.
【详解】由，可得，即圆心为，
又圆过原点，
所以圆的半径，
故圆的标准方程为
故答案为：
【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，属于基础题.
14、
【解析】依题意可得，是真命题，参变分离得到在上有解，再利用构造函数利用函数的单调性计算可得.
【详解】，等价于在上有解
设，，则在上单调递减，在上单调递增，
又，，所以，即
故答案为：
15、4
【解析】根据三角形的中位线定理，结合椭圆的定义即可求得答案.
【详解】椭圆的左焦点为,如图，设右焦点为 ,则，
由N是的中点，O为得中点，,
故 ,
又 ，
所以，
故答案为：4

16、
【解析】由奇函数的定义可得，代入解析式即可得解.
【详解】函数为奇函数，当时，，
所以.
故答案为-1.
【点睛】本题主要考查了奇函数的求值问题，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）先证明，，利用判定定理证明平面，从而得到；
（2）设，利用等体积法，由由，解出a.
【详解】（1）证明：由题意可知平面，平面∴
∵所对为半圆直径∴∴
和是平面内两条相交直线∴平面
平面∴
（2）设，
因为，且所以，
设，
在等腰直角三角形中，取BC的中点E,连结AE,则，

取BC1的中点为P，连结DP，∵，∴，又为的中点，
∴,∴，即的高为
∴，
∵，且∴平面，
∵平面，且即到平面的距离为1，而
由，即
解得：，即.
【点睛】立体几何解答题
(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；
(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）.如果求体积，常用的方法有：(1)直接法；(2)等体积法；(3)补形法；(4)向量法.
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据所求双曲线与有共同的渐近线可设出所求双曲线方程为，
在根据点在双曲线上，代入双曲线方程中即可求解.
（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，利用韦达定理得出的关系，再根据
中点坐标公式求出线段的中点的坐标，代入圆方程即可求解.
【小问1详解】
由题意，设双曲线的方程为，则
又因为双曲线过点，，
所以双曲线的方程为：
【小问2详解】
由，消去整理，得，
设，则
因为直线与双曲线交于不同的两点，
所以，解得.
，
所以
则中点坐标为，代入圆
得，解得.
实数的值为
19、（1）
（2）
【解析】（1）直线的方程为，其中，联立直线与抛物线方程，由韦达定理结合已知条件可求得点的坐标；
（2）直线的方程为，利用倾斜角定义知，，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求得，进而得解.
小问1详解】
由题意，直线的方程为，其中.
设，
联立，消去得.
.
，，即.
，即.
，，∴点的坐标为.
【小问2详解】
由题意，直线的方程为，其中，为倾斜角，
则，

设.
联立，消去得.
.

.
20、（1）;
（2）10.
【解析】（1）由根据抛物线的定义求出可得抛物线方程；
（2）求出抛物线过点A的切线，得出点M的坐标即可求三角形面积.
【小问1详解】
由抛物线的定义可知，
即，抛物线的方程为.
【小问2详解】
，且A在第一象限，
，即A(4,4)，
显然切线的斜率存在，故可设其方程为，
由，消去得，即，
令，
解得，
切线方程为.
令x=0，得，即,
又，，
.
21、（1）；（2）
【解析】(1) 根据右焦点为F2(3，0)，以及，求得a，b，c即可.
(2)联立，根据M，N分别为线段AF2，BF2中点，且坐标原点O在以MN为直径的圆上，易得OM⊥ON，则四边形OMF2N为矩形，从而AF2⊥BF2，然后由0，结合韦达定理求解.
【详解】(1)由题意得c＝3，，
所以.
又因为a2＝b2＋c2，
所以b2＝3.
所以椭圆的方程为.
(2)由 ,得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝0，x1x2＝，
依题意易知，OM⊥ON，四边形OMF2N为矩形，
所以AF2⊥BF2.
因为(x1－3，y1)， (x2－3，y2)，
所以 (x1－3)(x2－3)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋9＝0.
即，
将其整理为k2＝＝－1－.
因为<e≤，所以2≤a<3，12≤a2<18.
所以k2≥，即k∈
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是由O在以MN为直径的圆上，即OM⊥ON，得到四边形OMF2N为矩形，推出AF2⊥BF2，结合韦达定理得出斜率k与离心率e的关系.
22、（1）更适合
（2）
（3）点P处会受到噪声污染，理由见解析
【解析】（1）直接判断即可；
（2）令，先算线性回归方程再算非线性回归方程；
（3）利用基本不等式计算出的最小值，再与60比较即可.
【小问1详解】
更适合
【小问2详解】
令，则
，
，
D关于W的回归方程是，
则D关于I的回归方程是
【小问3详解】
设点P处的声音能量为，则
因为
所以

当且仅当，即时等号成立
所以，
所以点P处会受到噪声污染