2026届黑龙江省绥化市安达第七中学高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

2026届黑龙江省绥化市安达第七中学高二数学第一学期期末联考模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“x>1”是“x>0”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．年月日我国公布了第七次全国人口普查结果.自新中国成立以来，我国共进行了七次全国人口普查，如图为我国历次全国人口普查人口性别构成及总人口性别比（以女性为，男性对女性的比例）统计图，则下列说法错误的是（）

A.第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破亿
B.第一次全国人口普查时，我国总人口性别比最高
C.我国历次全国人口普查总人口数呈递增趋势
D.我国历次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势
3．曲线与曲线的　　
A.长轴长相等 B.短轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
4．已知，，则（）
A. B.
C. D.
5．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|＝(　　)
A. B.
C.3 D.2
6．抛物线的准线方程是，则实数的值为（）
A. B.
C.8 D.
7．如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（ ）

A B.
C. D.
8．已知椭圆的中心为，一个焦点为，在上，若是正三角形，则的离心率为（）
A. B.
C. D.
9．函数，的值域为（）
A. B.
C. D.
10．已知数列的前项和，且，则（）
A. B.
C. D.
11．设太阳光线垂直于平面，在阳光下任意转动棱长为一个单位的立方体，则它在平面上的投影面积的最大值是（）
A.1 B.
C. D.
12．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，定点，M为抛物线上一点，则|MA|+|MF|的最小值为（　　）
A.3 B.4
C.5 D.6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设直线的方向向量分别为，若，则实数m等于___________.
14．过圆上一点的圆的切线的一般式方程为________
15．经过两点的双曲线的标准方程是________
16．双曲线的左顶点为，虚轴的一个端点为，右焦点到直线的距离为，则双曲线的离心率为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且短轴长为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M，N两点，问是否存在直线l，使得F为的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
18．（12分）已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在的最大值.
19．（12分）如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，

（1）证明：
（2）若平面平面ACE，求二面角余弦值.
20．（12分）已知函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，证明：存在最大值，且恒成立.
21．（12分）四棱锥，底面为矩形，面，且，点在线段上，且面.

（1）求线段的长；
（2）对于（1）中的，求直线与面所成角的正弦值.
22．（10分）已知圆.
（1）若直线与圆相交于两点，弦的中点为，求直线的方程；
（2）若斜率为1的直线被圆截得的弦为，以为直径的圆经过圆的圆心，求直线的方程.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据充分、必要条件间的推出关系，判断“x>1”与“x>0”的关系.
【详解】“x>1”，则“x>0”，反之不成立.
∴“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.
故选：A.
2、D
【解析】根据统计图判断各选项的对错.
【详解】由统计图第五次全国人口普查时，男性和女性人口数都超过6亿，故总人口数超过12亿，A对，
由统计图，第一次全国人口普查时，我国总人口性别比为107.56，超过余下几次普查的人口的性别比，B对，
由统计图可知，我国历次全国人口普查总人口数呈递增趋势，C对，
由统计图可知，第二次，第三次，第四次，第五次时总人口性别比呈递增趋势，D错,
D错，
故选：D.
3、D
【解析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断
【详解】解：曲线表示焦点在轴上，长轴长10，短轴长为6，离心率为，焦距为8
曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，
离心率为，焦距为8
对照选项，则正确
故选：
【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题
4、C
【解析】利用空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】因为，，
所以，
故选：C.
5、C
【解析】过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，利用抛物线定义以及相似得到|QF|＝|QQ′|＝3.
【详解】如图所示：
过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为，
所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，
所以|QF|＝|QQ′|＝3.
故选C.

【点睛】本题考查了抛物线的定义应用，意在考查学生的计算能力.
6、B
【解析】化简方程为，求得抛物线的准线方程，列出方程，即可求解.
【详解】由抛物线，可得，所以，所以抛物线的准线方程为，
因为抛物线的准线方程为，所以，解得.
故选：B.
7、D
【解析】根据空间向量的线性运算求解
【详解】由已知，
故选：D
8、D
【解析】根据是正三角形可得的坐标，代入方程后可求离心率.
【详解】不失一般性，可设椭圆的方程为：，为半焦距，为右焦点，
因为且，故，故，
，整理得到，故，
故选：D.
9、A
【解析】利用基本不等式可得，进而可得，即求.
【详解】∵，
∴，当且仅当，即时取等号，
∴，，
∴.
故选：A.
10、C
【解析】由可得，从而可得，利用等差数列的前n项和公式即可求解.
【详解】解：因为，所以，，
两式相减可得，即，
因为，，所以，即，时，也满足上式，
所以，
所以，
故选：C.
11、C
【解析】确定正方体投影面积最大时,是投影面与平面AB' C平行，从而求出投影面积的最大值.
【详解】设正方体投影最大时，是投影面与平面AB' C平行，
三个面的投影为两个全等的菱形，其对角线为，即投影面上三条对角线构成边长为的等边三角形，如图所示，

所以投影面积为
故选：C
12、B
【解析】作出图象，过点M作准线的垂线，垂足为H，结合图形可得当且仅当三点M，A，H共线时|MA|+|MH|最小，求解即可
【详解】过点M作准线的垂线，垂足为H，
由抛物线的定义可知|MF|＝|MH|，
则问题转化为|MA|+|MH|的最小值，
结合图形可得当且仅当三点M，A，H共线时|MA|+|MH|最小，
其最小值为.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】根据向量垂直与数量积的等价关系，，计算即可.
【详解】因为，则其方向向量，
，解得.
故答案为：2.
14、
【解析】求出过切线的半径所在直线斜率，由垂直关系得切线斜率，然后得直线方程，现化为一般式
【详解】圆心为，，所以切线的斜率为，切线方程为，即
故答案为：
【点睛】本题考查求过圆上一点的圆的切线方程，利用切线性质求得斜率后易得直线方程
15、
【解析】设双曲线的标准方程将点坐标代入求参数，即可确定标准方程.
【详解】令，则，可得，
令，则，无解.
故双曲线的标准方程是.
故答案为：.
16、
【解析】根据双曲线左顶点和虚轴端点的定义，结合点到直线距离公式、双曲线的离心率公式进行求解即可.
【详解】不妨设在纵轴的正半轴上，由双曲线的标准方程可知：，
右焦点的坐标为，直线的方程为：，
因为右焦点到直线的距离为，
所以有，即双曲线的离心率为，
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）存在，
【解析】（1）根据离心率及短轴长，利用椭圆中的关系可以求出椭圆方程；
（2）设直线的方程，与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合已知和斜率公式，可以求出直线的方程.
【小问1详解】
，
，
，，
椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由已知可得，，，∴，∵，
设直线的方程为：，代入椭圆方程整理得
，设，，
则，，
∵，∴.
即，
因为，，
即.
.
所以，或.
又时，直线过点，不合要求，所以.
故存在直线：满足题设条件.
18、（1）
（2）
【解析】（1）利用两角和的余弦公式以及辅助角公式可得，再由正弦函数单调区间，整体代入即可求解.
（2）根据三角函数的单调性即可求解.
【小问1详解】

，
，
解得，
所以函数的单调递增区间为
【小问2详解】
由（1），
解得
函数的单调递减区间为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，，所以函数的最大值为.
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到、，即可得到平面，再根据，即可得证；
（2）由面面垂直的性质得到平面，建立如图所示空间直角坐标系，设，即可得到点，，的坐标，最后利用空间向量法求出二面角的余弦值；
【小问1详解】
证明：连接DE
因为，且D为AC的中点，所以
因为，且D为AC的中点，所以
因为平面BDE，平面BDE，且，所以平面
因为，所以平面BDE，所以
【小问2详解】
解：由（1）可知
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以DC，DB，DE两两垂直
以D为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

设．则，，．从而，
设平面BCE的法向量为，
则令，得
平面ABC的一个法向量为
设二面角为，由图可知为锐角，
则
20、（1）的单增区间为，；单减区间为，，；（2）证明见解析.
【解析】（1）先求出函数的定义域，求出，由，结合函数的定义域可得出函数的单调区间.
(2) 当时，定义域R,求出，从而得出单调区间，由当时，，当时，，以及极值点与2的大小关系可得出当时，函数有最大值，然后再证明即可.
【详解】解：（1）定义域

，可得且且，，可得且

3

无

0

无

0

减
无
减

增
无
增

减
所以，的单增区间为，；单减区间为，，.
（2）当时，定义域R

因为，当时，，当时，，
所以的最大值在时取得；
由，即，得
由，得，或
由，得
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
当时，，且，由
所以当时，函数有最大值.
所以，
因为，所以,设，则
所以化为
由 ，则，则，所以
所以
21、（1）1（2）
【解析】（1）根据线面垂直得到，再由相似比得方程可求解；
（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，运用夹角公式先求线面角的余弦值，再转化为正弦值即可.
小问1详解】
面，
在矩形中，易得：
；
【小问2详解】
如四建立空间直角坐标系：
则，
，

由题意可知：为平面的一个法向量，
，
，
直线与面所成角的正弦值为.
22、（1）（或
（2）或
【解析】(1)由条件可得，由此可求直线的斜率，由点斜式求直线的方程；(2)由条件可求到直线的距离，利用待定系数法求直线的方程.
【小问1详解】
圆，得圆心，半径，
直线的斜率：，
设直线的斜率为，有，解得.
所求直线的方程为：.（或
【小问2详解】
直线m被圆C截得的弦EF为直径的圆经过圆心C，
∴
圆心C到直线的距离为.
设直线方䄇为，则

解得或
直线的方程为：或