2025年山东省泰安市泰安一中高一数学第一学期期末调研试题含解析.doc

2025年山东省泰安市泰安一中高一数学第一学期期末调研试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式为（）
A. B.
C. D.
2．已知函数则的值为（）
A. B.
C.0 D.1
3．如图，在四棱锥中，底面为正方形，且,其中，，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面，
其中恒成立的为（ ）

A.①③ B.③④
C.①④ D.②③
4．函数的零点所在区间为（ ）
A.（0，） B.（，）
C.（，1） D.（1，2）
5．下列集合与集合相等的是（ ）
A. B.
C. D.
6．某公司位员工的月工资（单位：元）为，，…，，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为
A.， B.，
C， D.，
7．已知点M与两个定点O（0,0），A(6，0)的距离之比为，则点M的轨迹所包围的图形的面积为（ ）
A. B.
C. D.
8．半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）
A. B.
C. D.
9．已知空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则点的坐标为
A. B.
C. D.
10．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当时，，则（）
A.-18 B.-12
C.-8 D.-6
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设奇函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足，则的取值范围是__________
12．若直线与垂直，则________
13．函数的图象恒过定点,点在幂函数的图象上,则=____________
14．命题“，使”是真命题，则的取值范围是________
15．锐角中, 分别为内角的对边,已知，，，则的面积为__________
16．若，则_____________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数（0＜ω＜6）的图象的一个对称中心为
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）在区间上的最大值和最小值
18．已知集合，.
（1）求；
（2）求.
19．已知函数.
（1）判断的奇偶性，并证明；
（2）判断的单调性，并用定义加以证明；
（3）若，求实数的取值范围.
20．已知直线经过点，且与直线垂直.
（1）求直线的方程；
（2）若直线与平行且点到直线的距离为，求直线的方程.
21．已知，且向量在向量的方向上的投影为，求：
（1）与的夹角;
（2）.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】设出幂函数的解析式，根据点求得解析式.
【详解】设，
依题意，
所以.
故选：C
2、D
【解析】根据分段函数解析式及指数对数的运算法则计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以，
故选：D
3、A
【解析】分析：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN

（1）由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，进而得到SO⊥AC．可得AC⊥平面SBD．由已知E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EM∥BD，MN∥SD，于是平面EMN∥平面SBD，进而得到AC⊥平面EMN，AC⊥EP;（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，因此不可能EP∥BD；（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP∥平面SBD；（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，可用反证法证明：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直
详解：
如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN
对于（1），由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确
对于（2），由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；
对于（3），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确
对于（4），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确
故选A
点睛：本题考查了空间线面、面面的位置关系判定，属于中档题．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断.还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.
4、B
【解析】结合函数的单调性以及零点的存在性定理求得正确答案.
【详解】在上递减，所以，
在上递增，所以，
是定义在上的减函数，
,所以函数的零点在区间.
故选：B
5、C
【解析】根据各选项对于的集合的代表元素，一一判断即可；
【详解】解：集合，表示含有两个元素、的集合，
对于A：，表示含有一个点的集合，故不相等；
对于B：，表示的是点集，故不相等；
对于C：，表示方程的解集，因为的解为，或，所以
对于D：，故不相等
故选：C
6、D
【解析】均值为;
方差为
,故选D.
考点：数据样本的均值与方差.
7、B
【解析】设M（x，y），由点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，得：
，整理得：（x+2）2+y2=16
∴点M的轨迹方程是圆（x+2）2+y2=16．圆的半径为：4，
所求轨迹的面积为：16π
故答案为B.
8、A
【解析】根据题意可得圆锥母线长为，底面圆的半径为，求出圆锥高即可求出体积.
【详解】半径为半圆卷成一个圆锥，可得圆锥母线长为，底面圆周长为，
所以底面圆的半径为，圆锥的高为,
所以圆锥的体积为.
故选：A.
9、C
【解析】∵在空间直角坐标系中，
点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标为：（﹣x，﹣y，z），
∴点关于z轴的对称点的坐标为：
故选：C
10、D
【解析】首先根据题意得到，再根据的奇偶性求解即可.
【详解】由题知：，所以当时，，
又因为函数是奇函数，所以.
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由题意得，又因为在上是增函数，所以当，任意的时，，转化为在时恒成立，即在时恒成立，即可求解.
【详解】由题意，得，
又因为在上是增函数，所以当时，有，
所以在时恒成立，
即在时恒成立，
转化为在时恒成立，
所以或或
解得：或或，
即实数的取值范围是
【点睛】本题考查函数的恒成立问题的求解，求解的关键是把不等式的恒成立问题进行等价转化，考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
12、
【解析】根据两直线垂直的等价条件列方程，解方程即可求解.
【详解】因为直线与垂直，
所以，解得：，
故答案为：.
13、
【解析】因为函数图象恒过定点，则可之令2x-3=1,x=2,函数值为4，故过定点（2，4），然后根据且点在幂函数的图象上，设,故可知=9，故答案为9.
考点：对数函数
点评：本题考查了对数函数图象过定点（1，0），即令真数为1求对应的x和y，则是所求函数过定点的坐标
14、
【解析】可根据题意得出“，恒成立”，然后根据即可得出结果.
【详解】因为命题“，使”是真命题，
所以，恒成立，即恒成立，
因为当时，，所以，的取值范围是，
故答案为：.
15、
【解析】由已知条件可得，，再由正弦定理可得，从而根据三角形内角和定理即可求得，从而利用公式即可得到答案.
【详解】，
由得，
又为锐角三角形，
，
又，即，
解得，
.
由正弦定理可得，解得，
又，
，

故答案为.
【点睛】三角形面积公式的应用原则：
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化
16、
【解析】平方得

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）[]，k∈Z；（3）最大值为10，最小值为
【解析】（1）先降幂化简原式，再利用对称中心求得ω，进而得周期；
（2）利用正弦函数的单调区间列出不等式即可得解；
（3）利用（2）的结论，确定所给区间的单调性，再得最值
【详解】解：（1）
=4sin（sincos-cossin）-1
=2sin2-1-2sincos
=-cosωx-sinωx
=-2sin（ωx），
∵是对称中心，
∴-，
得ω=2-12k，k∈Z，
∵0＜ω＜6，
∴k=0，ω=2，
∴，
其最小正周期为π；
（2）由，
得，
∴f（x）的单调递增区间为：[]，k∈Z，
（3）由（2）可知，
f（x）在[]递减，在[]递增，
可知当x=时得最大值为0；
当x=时得最小值
故f（x）在区间[]上的最大值为0，最小值为
【点睛】此题考查了三角函数式的恒等变换，周期性，单调性，最值等，属于中档题
18、（1）
（2）
【解析】（1）分别求两个集合，再求交集；
（2）先求，再求.
【小问1详解】
，解得：，
即，
，解得：，即，
；
【小问2详解】
，
.
19、（1）奇函数，证明见解析
（2）单调递增函数，证明见解析
（3）
【解析】（1）根据奇偶性的定义证明可得答案；
（2）根据单调性定义，通过取值作差判断符号即可证明；
（3）根据函数的单调性得，解不等式即可
【小问1详解】
证明：，，所以为奇函数.
【小问2详解】
函数在上为增函数.
证明：函数的定义域为，，
任取，且，
则，
∵，∴，∴，∴，
即，∴
∴函数在上为增函数.
【小问3详解】
因为，所以，
由（2）知函数在上为增函数，
所以，，
∴的取值范围是.
20、 (1) ;(2) 直线方程为或.
【解析】⑴ 利用相互垂直的直线斜率之间的关系求出直线的斜率，代入即可得到直线的方程；⑵由已知设直线的方程为，根据点到直线的距离公式求得或，即可得到直线的方程
解析：（1）由题意直线的斜率为1，
所求直线方程为，即.
（2）由直线与直线平行，可设直线的方程为，
由点到直线的距离公式得，
即，解得或.
∴所求直线方程为或.
21、（1）；（2）
【解析】（1）由题知，进而得出，即可求得.
（2）根据数量积的定义即可得出答案.
【详解】解：（1）由题意，，所以.
又因为，所以.
（2）.
【点睛】本题考查了向量的夹角、向量的数量积，考查学生对公式的熟练程度，属于基础题.