湖南省长沙市宁乡市第十三高级中学2025年高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

湖南省长沙市宁乡市第十三高级中学2025年高二数学第一学期期末联考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线的焦点为，在抛物线上有一点，满足，则的中点到轴的距离为（）
A. B.
C. D.
2．已知圆C过点，圆心在x轴上，则圆C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3．已知函数有两个极值点m，n，且，则的最大值为（）
A. B.
C. D.
4．已知，，，执行如图所示的程序框图，输出值为（）

A. B.
C. D.
5．双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为（ ）
A. B.
C.2 D.4
6．（ ）
A.-2 B.-1
C.1 D.2
7．已知五个数据3，4，x，6，7的平均数是x，则该样本标准差为（）
A.1 B.
C. D.2
8．某研究所为了研究近几年中国留学生回国人数的情况，对2014至2018年留学生回国人数进行了统计，数据如下表：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
年份代码
1
2
3
4
5
留学生回国人数/万
36.5
40.9
43.3
48.1
51.9
根据上述统计数据求得留学生回国人数（单位：万）与年份代码满足的线性回归方程为，利用回归方程预测年留学生回国人数为（ ）
A.63.14万 B.64.72万
C.66.81万 D.66.94万
9．已知函数f（x）的定义域为[－1，5]，其部分自变量与函数值的对应情况如下表：
x
－1
0
2
4
5
f（x）
3
1
2.5
1
3
f（x）的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论：
①f（x）在区间[－1，0]上单调递增；
②f（x）有2个极大值点；
③f（x）的值域为[1，3]；
④如果x∈[t，5]时，f（x）的最小值是1，那么t的最大值为4
其中，所有正确结论的序号是（）

A.③ B.①④
C.②③ D.③④
10．函数在定义域上是增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
11．已知椭圆方程为，则该椭圆的焦距为（ ）
A.1 B.2
C. D.
12．已知点是抛物线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是______________
14．已知直线，抛物线上一动点到直线l的距离为d，则的最小值是______
15．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，则a=______________

16．已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线E：y2＝8x
（1）求抛物线的焦点及准线方程；
（2）过点P(-1,1)的直线l1与抛物线E只有一个公共点，求直线l1的方程；
（3）过点M(2,3)的直线l2与抛物线E交于点A，B．若弦AB的中点为M，求直线l2的方程
18．（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
19．（12分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，焦距为，过点作直线交椭圆于两点，的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆相交于两点，求定点与交点所构成的三角形面积的最大值.
20．（12分）已知是抛物线上的焦点，是抛物线上的一个动点，若动点满足，则的轨迹方程.
21．（12分）设点P是曲线上的任意一点，k是该曲线在点P处的切线的斜率
（1）求k的取值范围；
（2）求当k取最大值时，该曲线在点P处的切线方程
22．（10分）在等差数列中，已知公差，且成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】设点，利用抛物线的定义求出的值，可求得点的横坐标，即可得解.
【详解】设点，易知抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，得，
所以，点的横坐标为，故点到轴的距离为.
故选：A.
2、C
【解析】设出圆的标准方程，将已知点的坐标代入，解方程组即可.
【详解】设圆的标准方程为 ，
将坐标代入得: ,
解得，故圆的方程为，
故选：C.
3、C
【解析】对求导得，得到m，n是两个根，由根与系数的关系可得m，n的关系，然后构造函数，利用导数求单调性，进而得最值.
【详解】由得：
m，n是两个根，由根与系数的关系得：，故
，
令
记，则，故在上单调递减.

故选：C
4、A
【解析】模拟程序运行可得程序框图的功能是计算并输出三个数中的最小数，计算三个数判断作答.
【详解】模拟程序运行可得程序框图的功能是计算并输出三个数中的最小数，
因，，，
则，不成立，则，不成立，则，
所以应输出的x值为.
故选：A
5、C
【解析】根据双曲线方程写出渐近线方程，得出，进而可求出双曲线的离心率.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
又其中一条渐近线的倾斜角为，
所以，则，
所以该双曲线离心率为.
故选：C.
6、A
【解析】利用微积分基本定理计算得到答案.
【详解】.
故选：.
【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力.
7、B
【解析】先求出的值，然后利用标准差公式求解即可
【详解】解：因为五个数据3，4，x，6，7的平均数是x，
所以，解得，
所以标准差，
故选：B
8、D
【解析】先求出样本点的中心，代入线性回归方程即可求出，再将代入线性回归方程即可得到结果
【详解】由题意知：，，
所以样本点的中心为，所以，解得：，
可得线性回归方程为，
年对应的年份代码为，令， 则，
所以预测2022年留学生回国人数为66.94万，
故选：D.
9、D
【解析】直接利用函数的导函数的图像，进一步画出函数的图像，进一步利用函数的性质的应用求出函数的单调区间，函数的极值和端点值可得结论
【详解】解：由f（x）的导函数的图像，画出的图像，如图所示，

对于①，在区间上单调递减，所以①错误，
对于②，有1个极大值点，2个极小值点，所以②错误，
对于③，根据函数的极值和端点值可知的值域为，所以③正确，
对于④，如果x∈[t，5]时，由图像可知，当f（x）的最小值是1时， t的最大值为4，所以④正确，
故选：D
10、A
【解析】根据导数与单调性的关系即可求出
【详解】依题可知，在上恒成立，
即在上恒成立，所以
故选：A
11、B
【解析】根据椭圆中之间的关系，结合椭圆焦距的定义进行求解即可.
【详解】由椭圆的标准方程可知：，则焦距为，
故选：B.
12、C
【解析】分析可知圆的圆心为抛物线的焦点，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值.
【详解】设点的坐标为，有，
由圆的圆心坐标为，是抛物线的焦点坐标，有，
由圆的几何性质可得，
又由，可得的最小值为
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设左焦点为，连接，．则四边形是平行四边形，可得．设，由点M到直线l的距离不小于，即有 ，解得．再利用离心率计算公式即可得出范围
【详解】设左焦点为，连接，．则四边形是平行四边形，故，所以
，所以，设，则，故，从而，，
，所以，即椭圆的离心率的取值范围是
【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
14、##
【解析】作直线l，抛物线准线且交y轴于A点，根据抛物线定义有，进而判断目标式最小时的位置关系，结合点线距离公式求最小值.
【详解】如下图示：若直线l，抛物线准线且交y轴于A点，则，，

由抛物线定义知：，则，
所以，要使目标式最小，即最小，
当共线时，又，此时.
故答案为：.
15、3##
【解析】由频率之和等于1，即矩形面积之和为1可得.
【详解】由题知，
解得.
故答案为：0.3
16、15
【解析】易得抛物线方程为，根据，求得点P的坐标，进而得到直线l的方程，与抛物线方程联立，再利用抛物线定义求解.
【详解】解：因为抛物线的焦点到准线的距离为4，
所以，则抛物线：，
设点的坐标为，的坐标为，
因为，
所以，则，
则，
所以直线的方程为，
代入抛物线方程可得，
故，则，
所以
故答案为：15

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）焦点为(2,0)，准线方程为x＝-2；
（2）y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0；
（3）4x-3y+1＝0.
【解析】（1）根据抛物线的方程及其几何性质，求焦点和准线；
（2）分直线l1的斜率为0和不为0两种情况，根据直线与抛物线只有一个公共点，由直线与x轴平行或Δ＝0，得解；
（3）利用点差法求出直线l2的斜率，即可得直线l2的方程
【小问1详解】
由题意，p＝4，则焦点为(2,0)，准线方程为x＝-2
【小问2详解】
当直线l1的斜率为0时，y＝1；
当直线l1的斜率不为0时，设直线l1为x+1＝m(y-1)，
联立，得y2-8my+8m+8＝0，
因为直线l1与抛物线E只有一个公共点，
所以Δ＝64m2-4(8m+8)＝0，解得m＝1或，
所以直线l1的方程为x-y+2＝0或2x+y+1＝0，
综上，直线l1为y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0
【小问3详解】
由题意，直线l2的斜率一定存在，设其斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则8x1，8x2，
两式作差得：8(x1-x2)，即k，
所以直线l2为y-3(x-2)，即4x-3y+1＝0
18、（1）40；（2）a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
【解析】（1）设每件定价为x元,可得提高价格后的销售量，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；
（2）依题意，x >25时，不等式有解，等价于x >25时, 有解,利用基本不等式,可以求得a.
【详解】（1）设每件定价为t元,依题意得,整理得,解得：25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
（2）依题意知：当x>25时,不等式有解，等价于
x>25时,有解.
由于,当且仅当,即x=30时等号成立,所以a≥10.2.
当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
19、（1）（2）
【解析】（1）根据题意可得，，再由 ，即可求解.
（2）设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立求得关于的方程，利用弦长公式求出 ，再利用点到直线的距离求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式配方即可求解.
【详解】解（1）由题意得：，，∴ ，
∴
∴椭圆的方程为
(2)∵直线的斜率为，∴可设直线的方程为
与椭圆的方程联立可得：①
设两点的坐标为，由韦达定理得：
，
∴
点到直线的距离，
∴
由①知：， ，
令，则，∴
令，则 在上的最大值为
∴的最大值为
综上所述：三角形面积的最大值2.
【点睛】本题考查了根据求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆额位置关系中三角形面积问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.
20、
【解析】由抛物线的方程可得到焦点坐标，设，写出向量的坐标，由向量间的关系得到，将点代入物线即可得到轨迹方程.
【详解】由抛物线可得：
设
①
在上，将①代入可得：
，即 .
【点睛】求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.
21、（1）
（2）
【解析】（1）先求导数再求最值即可求解答案；
（2）由（1）确定切点，从而也确定的斜率就可以求切线.
【小问1详解】
设，因为，
所以，所以k的取值范围为
【小问2详解】
由（1）知，此时，即，所以此时曲线在点P处的切线方程为
22、（1）an=n
（2）
【解析】（1）由已知条件可得（d+2）2=2d+7，从而可求出公差，进而可求得数列的通项公式，
（2）由（1）得，然后利用错位相减法求
【小问1详解】
因a1，a2+1，a3+6成等比数列，所以
又a1=1，所以（d+2）2=2d+7，所以d=1或d= （舍），
所以an=n；
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
所以
所以