山东省夏津县第一中学2026届高二数学第一学期期末经典模拟试题含解析.doc

山东省夏津县第一中学2026届高二数学第一学期期末经典模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（）
A.6天 495人 B.7天 602人
C.8天 716人 D.9天 795人
2．在长方体中，，，则与平面所成的角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
3．若，则=（）
A.244 B.1
C. D.
4．已知数列满足，则（ ）
A.2 B.
C.1 D.
5．已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则以的最小值为（）
A B.
C. D.
6．已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
7．一组样本数据：，，，，，由最小二乘法求得线性回归方程为，若，则实数m的值为（）
A.5 B.6
C.7 D.8
8．已知、分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与的延长线、的延长线以及线段相切，若为其中一个切点，则（）
A. B.
C. D.与2的大小关系不确定
9．命题“，都有”的否定为（）
A.，使得 B.，使得
C.，使得 D.，使得
10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（ ）
A.C的方程为
B.当A，B，P三点不共线时，面积的最大值为24
C.当A，B，P三点不共线时，射线是的角平分线
D.在C上存在点M，使得
11．若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b的值为（ ）
A.5 B.
C.3 D.3或
12．过椭圆右焦点作x轴的垂线，并交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以线段AB为直径的圆与有2个公共点，则C的离心率e的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：其中，所有正确结论的序号是____________
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围城的“心形”区域的面积小于3

14．已知函数是上的奇函数，，对，成立，则的解集为_________
15．在中，，，，则__________.
16．在中，，，，则此三角形的最大边长为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间的最大值为M，最小值为N，求的取值范围.
18．（12分）如图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿，，折起得三棱锥，如图乙.

（1）求证：平面平面；
（2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积比为，求直线与平面所成角的正弦值.
19．（12分）某城镇为推进生态城镇建设，对城镇的生态环境、市容市貌等方面进行了全面治理，为了解城镇居民对治理情况的评价和建议，现随机抽取了200名居民进行问卷并评分（满分100分），将评分结果制成如下频率分布直方图，已知图中a，b，c成等比数列，且公比为2

（1）求图中a，b，c的值，并估计评分的均值（各段分数用该段中点值作代表）；
（2）根据统计数据，在评分为“50～60”和“80～90”的居民中用分层抽样的方法抽取了6个居民．若从这6个居民中随机选择2个参加座谈，求所抽取的2个居民中至少有1个评分在“80～90”的概率
20．（12分）已知在△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，求△的面积S的最大值.
21．（12分）已知椭圆C：短轴长为2，且点在C上
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设、为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆C与A、B两点，若的面积是，求直线l的方程
22．（10分）已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是等差数列，且，求非零常数；
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据题意，设每天派出的人数组成数列，可得数列是首项，公差数7的等差数列，解方程可得所求值
【详解】解：设第天派出的人数为，则是以65为首项、7为公差的等差数列，且，，
∴，，
∴天
则目前派出的人数为人，
故选：B
2、D
【解析】过点作的垂线，垂足为，由线面垂直判定可知平面，则所求角即为，由长度关系求得即可.
【详解】在平面内过点作的垂线，垂足为，连接.

，，，平面，
平面，的正弦值即为所求角的正弦值，
，，.
故选：D.
3、D
【解析】分别令代入已知关系式，再两式求和即可求解.
【详解】根据，
令时，整理得：
令x = 2时，整理得:
由①+②得，，所以.
故选：D.
4、D
【解析】首先得到数列的周期，再计算的值.
【详解】由条件，可知，两式相加可得，
即，所以数列是以周期为的周期数列，
.
故选：D
5、A
【解析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值.
【详解】圆关于轴对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3，
易知，当三点共线时，取得最小值，
的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，
即：.
故选：A.
注意: 9至12题为多选题
6、D
【解析】结合导数以及函数的奇偶性判断出的单调性，由此化简不等式来求得不等式的解集.
【详解】当时，单调递增，，所以单调递增.
因为是偶函数，所以当时，单调递减.
，，
，
或.
即不等式的解集为.
故选：D
7、B
【解析】求出样本的中心点，再利用回归直线必过样本的中心点计算作答.
【详解】依题意，，则这个样本的中心点为，因此，，解得，
所以实数m的值为6.
故选：B
8、A
【解析】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，由切线的性质可知：，，，结合椭圆的定义，即可得出结果.
【详解】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，
设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，
则由切线的性质可知：，，，
所以，
所以，
所以.
故选A

【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记椭圆的定义，以及切线的性质即可，属于常考题型.
9、A
【解析】根据命题的否定的定义判断
【详解】全称命题的否定是特称命题，
命题“，都有”的否定为：，使得
故选：A
10、C
【解析】根据题意可求出C的方程为，即可根据题意判断各选项的真假
【详解】对A，由可得，化简得，
即，A错误；
对B，当A，B，P三点不共线时，点到直线的最大距离为，所以面积的最大值为，B错误；
对C ，当A，B，P三点不共线时，因为，所以射线是的角平分线，C正确；
对D，设，由可得点的轨迹方程为，而圆与圆的圆心距为，两圆内含，所以这样的点不存在，D错误
故选：C
11、C
【解析】根据等比数列的定义，利用等比数列的通项公式求解
【详解】解：设该等比数列公比为q，
∵数列1，a，b，c，9是等比数列，
∴，，∴，
故，解得，
∴
故选：C
12、A
【解析】求得以为直径的圆的圆心和半径，求得直线的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列不等式，化简后求得椭圆离心率的取值范围.
【详解】椭圆的左焦点，右焦点，上顶点，
，
所以为直径的圆的圆心为，半径为.
直线的方程为，
由于以线段为直径的圆与相交，
所以，，
，
，
，
所以椭圆的离心率的取值范围是.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、①②
【解析】根据题意，先判断曲线关于轴对称，由基本不等式的性质对方程变形，得到，可判定①正确；当时，，得到曲线右侧部分的点到原点的距离都不超过，再根据曲线的对称性，可判定②正确；由轴的上方，图形的面积大于四点围成的矩形的面积，在轴的下方，图形的面积大于三点围成的三角形的面积，可判断③不正确.
【详解】根据题意，曲线，
用替换曲线方程中的，方程不变，所以曲线关于轴对称，
对于①中，当时，，即为，
可得，所以曲线经过点，
再根据对称性可知，曲线还经过点，故曲线恰好经过6个整点，所以①正确；
对于②中，由①可知，当时，，即曲线右侧部分的点到原点的距离都不超过，再根据曲线的对称性可知，曲线上任意一点到原点的距离都不超过，所以②正确；
对于③中，因为在轴的上方，图形的面积大于四点围成的矩形的面积，在轴的下方，图形的面积大于三点围成的三角形的面积，所以曲线所围城的“心形”区域的面积大于3，所以③不正确.
故选：①②
14、
【解析】根据题意可以设，求其导数可知在上的单调性，由是上的奇函数，可知的奇偶性，进而可知在上的单调性，
由可知的零点，最后分类讨论即可.
【详解】设，则对，，
则在上为单调递增函数，
∵函数是上的奇函数，∴，
∴，
∴偶函数，∴在上为单调递减函数，
又∵，∴，由已知得，
所以当时，；当时，；
当时，；当时，；
若，则；
若，则或，解得或或；
则的解集为.
故答案为：.
15、
【解析】由已知在中利用余弦定理可得的值，可求，可得，即可得解的值
【详解】解：因为在中，，，，
所以由余弦定理可得，
所以，即，
则
故答案为：
16、
【解析】可知B对的边最大，再用正弦定理计算即可.
【详解】利用正弦定理可知，B对的边最大，
因为，，所以，
.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）答案见解析；
（2）.
【解析】（1）求得，对参数进行分类讨论，根据导函数函数值的正负即可判断的单调性；
（2）根据（1）中所求，求得，以及，再求其取值范围即可.
【小问1详解】
因为，故可得，
令，可得或；
当时，，此时在上单调递增；
当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，和单调递增，在单调递减；
当时，在和单调递增，在单调递减.
【小问2详解】
由（1）可知：当时，在单调递减，在单调递增
又，，故在单调递减，在单调递增.
则的最小值；
又，
当时，的最大值，
此时；
当时，的最大值，
此时，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
所以；
所以的取值范围为.
18、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）取的中点为，连接，，证明，，即证平面，即证得面面垂直；
（2）建立如图空间直角坐标系，写出对应点的坐标和向量的坐标，再计算平面法向量，利用所求角的正弦为即得结果.
【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接，.
∵，∴.
∵，，
∴，同理.
又，∴，
∴.∵，，平面，
∴平面.
又平面，
∴平面平面；
（2）解：如图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知，，，，，
∴，.

∵三棱锥和的体积比为，
∴，
∴，
∴.
设平面的法向量为，
则，令，得.
设直线与平面所成角为，
则.
∴直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】方法点睛：
求空间中直线与平面所成角的常见方法为：
（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；
（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.
19、（1），，，均值为65.6
（2）
【解析】（1）根据a，b，c成等比数列且公比为2，得到a，b，c的关系，利用频率之和为1，求出a，b，c，估计评分的均值；（2）利用列举法得到基本事件，求出相应的概率.
【小问1详解】
由题意得，，，
有，
所以，即，
解得，于是，
评分在40～50，50～60，60～70，70～80，80～90，90～100的概率分别为0.15，0.20，0.30，0.20，0.10，0.05，则均分估计值为
【小问2详解】
评分在“50～60”和“80～90”分别有40人和20人
则所抽取的6个居民中，评分在“80～90”一组有2人，记为A1，A2，评分在“50～60”一组4人，记为B1，B2，B3，B4
从这6人中选取2人的所有基本事件有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），共15个
其中至少有1个评分在“80～90”的基本事件有9个
则所求的概率，
即抽取的2个居民中至少有1个评分在“80～90”的概率为
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）由正弦定理、和角正弦公式及三角形内角的性质可得，进而可得C的大小；
（2）由余弦定理可得，根据基本不等式可得，由三角形面积公式求面积的最大值，注意等号成立条件.
【小问1详解】
由正弦定理知：，
∴，又，
∴，则，故.
【小问2详解】
由，又，则，
∴，当且仅当时等号成立，
∴△的面积S的最大值为.
21、（1）；
（2）或.
【解析】(1)根据短轴长求出b，根据M在C上求出a；
(2)根据题意设直线l为，与椭圆方程联立得根与系数关系，根据＝即可求出m的值.
【小问1详解】
∵短轴长为2，∴，∴，
又∵点在C上，∴，∴，
∴椭圆C的标准方程为；
【小问2详解】
由(1)知，
∵当直线l斜率为0时，不符合题意，
∴设直线l的方程为：，
联立，消x得：，
∵，
∴设，，则，
∵，∴，∴，
即，解得，
∴直线l的方程为：或.
22、（1）
（2）
【解析】(1)利用等差数列的性质可得 ,联立方程可得 ,代入等差数列的通项公式可求;
(2)代入等差数列的前和公式可求,进一步可得,然后结合等差数列的定义可得,从而可求.
【详解】（1）为等差数列，，
又
是方程的两个根，

（2）由（1）可知，

为等差数列，
舍去)
当时，为等差数列，满足要求
【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、性质、通项公式、前项和公式的综合运用,属于中档题.