2025年福建省六校高一数学第一学期期末联考试题含解析.doc

2025年福建省六校高一数学第一学期期末联考试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列函数中，值域为的偶函数是
A. B.
C. D.
2．某几何体的三视图如图所示，数量单位为cm，它的体积是（ ）

A. B.
C. D.
3．下列所给四个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（　　）
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再去上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速

A.①②④ B.④②③
C.①②③ D.④①②
4．已知函数,若实数,则函数的零点个数为()
A.0 B.1
C.2 D.3
5．函数的零点所在区间为()
A. B.
C. D.
6． “ω＝2”是“π为函数的最小正周期”的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．已知为等差数列，为的前项和，且，，则公差
A. B.
C. D.
8．函数y=sin2x的图象可能是
A. B.
C. D.
9．已知 , , , 则a,b,c的大小关系是
A. B.
C. D.
10．函数的定义域为（）
A.(－∞,4) B.[4,＋∞)
C.(－∞,4] D.(－∞,1)∪(1,4]
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．当一个非空数集G满足“如果，则，，，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下关于数域的命题：①0和1都是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③任何一个有限数域的元素个数必为奇数；④有理数集是一个数域；⑤偶数集是一个数域，其中正确的命题有______________.
12．袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2球，则2球颜色相同的概率等于________
13．第24届冬季奥林匹克运动会简称“北京—张家口冬奥会”，将于2022.2.4～2022.2.20在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.某公司为迎接冬奥会的到来，设计了一款扇形的纪念品，扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为______.
14．写出一个能说明“若函数满足，则为奇函数”是假命题的函数：______
15．已知函数对任意不相等的实数，，都有，则的取值范围为______.
16．已知正实数, ,且，若，则的值域为__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式；
（3）是否存在实数，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
18．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）讨论在区间上的单调递增区间
19．已知函数
求的最小正周期及其单调递增区间；
若，求的值域
20．已知，且函数.
（1）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（2）设，对任意，总存在，使得g(x1)=h(x2)成立，求实数c的取值范围.
在以下①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，先求出a，b的值，并解答本题.
①函数在定义域上为偶函数；
②函数在上的值域为；
21．（1）已知，且，求的值
（2）已知，是关于x的方程的两个实根，且，求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】值域为的偶函数；
值域为R的非奇非偶函数；
值域为R的奇函数；
值域为的偶函数.
故选D
2、C
【解析】由三视图可知，此几何体为直角梯形的四棱锥，根据四棱锥的体积公式即可求出结果.
【详解】由三视图复原几何体为四棱锥，如图：
它高为，底面是直角梯形，长底边为，上底为，高为，
棱锥的高垂直底面梯形的高的中点，
所以几何体的体积为：

故选：C
【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状以及几何尺寸，同时需熟记锥体的体积公式，属于基础题.
3、D
【解析】根据回家后，离家的距离又变为可判断（1）；由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化；由为了赶时间开始加速，可判断函数的图像上升的速度越来越快；
【详解】离开家不久发现自己把作业本忘在家里，回到家里，
这时离家的距离为，故应先选图像（4）；
途中遇到一次交通堵塞，这这段时间与家的距离必为一定值，故应选图像（1）；
后来为了赶时间开始加速，则可知图像上升的速度越来越快，故应选图像（2）；
故选：D
【点睛】本题主要考查函数图象的识别，解题的关键是理解题干中表述的变化情况，属于基础题.
4、D
【解析】根据分段函数做出函数的图象，运用数形结合的思想可求出函数的零点的个数，得出选项.
【详解】令，得，根据分段函数的解析式，做出函数的图象，如下图所示，因为，由图象可得出函数的零点个数为3个，
故选：D.

【点睛】本题考查函数零点,考查学生分析解决问题的能力,关键在于做出函数的图象，运用数形结合的思想得出零点个数，属于中档题.
多选题
5、B
【解析】根据零点存在性定理即可判断求解.
【详解】∵f(x)定义域为R，且f(x)在R上单调递增，
又∵f(1)＝－10＜0，f(2)＝19＞0，
∴f(x)在(1，2)上存在唯一零点.
故选：B.
6、A
【解析】直接利用正弦型函数的性质的应用，充分条件和必要条件的应用判断A、B、C、D的结论
【详解】解：当“ω＝2”时，“函数f（x）＝sin（2x﹣）的最小正周期为π”
当函数f（x）＝sin（ωx﹣）的最小正周期为π”，故ω＝±2，
故“ω＝2”是“π为函数的最小正周期”的充分不必要条件；
故选：A
7、A
【解析】分析：先根据已知化简即得公差d.
详解：由题得4+4+d+4+2d=6,所以d=.故答案为A.
点睛：本题主要考查等差数列的前n项和和等差数列的通项，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.
8、D
【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：令，
因为，所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复
9、A
【解析】根据对数函数的性质，确定的范围，即可得出结果.
【详解】因为单调递增，所以，又，
所以.
故选A
【点睛】本题主要考查对数的性质，熟记对数的性质，即可比较大小，属于基础题型.
10、D
【解析】根据函数式的性质可得，即可得定义域；
【详解】根据的解析式，有：
解之得：且；
故选：D
【点睛】本题考查了具体函数定义域的求法，属于简单题；

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①②③④
【解析】利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假，题目给出了对两个实数的四种运算，要满足对四种运算的封闭，只有一一验证.
【详解】①当时，由数域的定义可知，
若，则有，即，，故①是真命题;
②因为，若，则，则，，则2019，所以，故②是真命题；
③，当且时，则，因此只要这个数不为就一定成对出现，
所以有限数域的元素个数必为奇数，所以③是真命题；
④若，则，且时,，故④是真命题；
⑤当时，，所以偶数集不是一个数域，故⑤是假命题；
故答案为：①②③④
【点睛】关键点点睛：理解数域就是对加减乘除封闭的集合，是解题的关键，一定要读懂题目再入手，没有一个条件是多余的，是难题.
12、
【解析】把4个球编号，用列举法写出所有基本事件，并得出2球颜色相同的事件，计数后可计算概率
【详解】2个红球编号为，2个白球编号为，则依次取2球的基本事件有：共6个，其中2球颜色相同的事件有共2个，　
所求概率为
故答案为：
13、36
【解析】首先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式计算可得；
【详解】解：依题意、 cm，所以，即 cm，所以；
故答案为：
14、（答案不唯一）
【解析】根据余弦型函数的性质求解即可.
【详解】解：因为，所以的周期为4，
所以余弦型函数都满足，但不是奇函数
故答案为：
15、
【解析】首先根据题意得到在上为减函数，从而得到，再解不等式组即可.
【详解】由题知：对任意不相等的实数，，都有，
所以在上为减函数，
故，解得：.
故答案为：
【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，同时考查了对数函数的单调性，属于简单题.
16、
【解析】因为，
所以.
因为且,.
所以，所以，
所以,.
则的值域为.
故答案为.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）1（2）
（3）存在，
【解析】（1）根据求解并检验即可；
（2）先证明函数单调性得在上为增函数，再根据奇偶性与单调性解不等式即可；
（3）根据题意，将问题方程有两个不相等的实数根，再利用换元法，结合二次方程根的关系求解即可.
【小问1详解】
解：因为是定义在上的奇函数，
所以，即，得.
此时，，满足.
所以
【小问2详解】
解：由（1）知，，
且，则
.
∵，∴，，
∴，即，故在上增函数
∴原不等式可化为，即
∴，
∴
∴，
∴原不等式的解集为
【小问3详解】
解：设存在实数，使得函数在区间上的取值范围是，
则，即，
∴方程，即有两个不相等的实数根
∴方程有两个不相等的实数根
令，则，故方程有两个不相等的正根
故，解得
∴存在实数，使得函数在区间上的取值范围是，
其中的取值范围为.
18、（1）最小正周期是
（2）单调递增区间，
【解析】（1）由三角恒等变换得，再求最小正周期；
（2）整体代换得函数的增区间为，再结合求解即可.
【小问1详解】
解：

.
所以，，即最小正周期为.
【小问2详解】
解：令，解得，
因为，
所以，当时，得其增区间为；当时，得其增区间为；
所以，在区间上单调递增区间为，
19、（1），，；（2）
【解析】由三角函数的周期公式求周期，再利用正弦型函数的单调性，即可求得函数的单调区间；
由x的范围求得相位的范围，进而得到，即可求解函数的值域
【详解】（1）由题意，知，所以的最小正周期
又由，得，
所以的单调递增区间为，；
（2）因为，所以，则，
所以，所以，即
所以的值域为
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记型函数的图象和性质，准确计算是解答的此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20、（1）奇函数，证明见解析；（2）.
【解析】若选择①利用偶函数的性质求，若选择条件②，利用函数的单调性，求函数的值域，比较后得到值；
（1）由①或②得，利用奇偶函数的定义判断；
（2）根据条件转化为的值域是的值域的子集，求实数的取值范围.
【详解】若选择①由，在上是偶函数，
则，且，所以a=2，b=0；
②当a>1时，在上单调递增，则有，
解得a=2，b=0；
由①或②得，
（1）为奇函数
证明：的定义域为R.
因为，则为奇函数
（2）当x>0时，，因为，
当且仅当即x=1时等号成立，
所以;
当x<0时，因为为奇函数，所以;
当x=0时，；
所以的值域为 [，]，
，，函数是单调递减函数，
所以函数的值域是
对任意的，总存在，使得g(x1)=h(x2)成立，
，
，得.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集
21、（1）；（2）
【解析】（1）先求出角，利用诱导公式即可求出；
（2）利用根与系数关系求出，得到，利用切化弦和二倍角公式即可求解.
【详解】（1）因为，所以
由，得，即
所以
（2）由题意得
因为且，
所以解得，所以
则，即