2026届广西南宁市马山县金伦中学4+N高中联合体高二数学第一学期期末预测试题含解析.doc

2026届广西南宁市马山县金伦中学4+N高中联合体高二数学第一学期期末预测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设是等比数列，则“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．设，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3．抛物线上点的横坐标为 4，则到抛物线焦点的距离等于（）
A.12 B.10
C.8 D.6
4．设数列、都是等差数列，若，则等于（）
A. B.
C. D.
5．为了解青少年视力情况，统计得到名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数，则该组数据的中位数是（ ）

A. B.
C. D.
6．已知等差数列{an}中，a4 + a9 = 8，则S12 = （ ）
A.96 B.48
C.36 D.24
7．数列满足，，，则数列的前8项和为（）
A.25 B.26
C.27 D.28
8．下面四个说法中，正确说法的个数为（）
（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
（2）两条直线可以确定一个平面；
（3）若，，，则；
（4）空间中，两两相交的三条直线在同一平面内.
A.1 B.2
C.3 D.4
9．已知平面上两点，则下列向量是直线的方向向量是（）
A. B.
C. D.
10．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
11．已知双曲线的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A. B.
C. D.
12．已知为等差数列，为公差，若成等比数列，且，则数列的前项和为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图：双曲线的左右焦点分别为，，过原点O的直线与双曲线C相交于P，Q两点，其中P在右支上，且，则的面积为___________.

14．经过两点的直线的倾斜角为，则___________.
15．已知抛物线的焦点F恰好是椭圆的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该椭圆的离心率为____________
16．若圆的一条直径的端点是、，则此圆的方程是_______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知在平面直角坐标系中，圆A：的圆心为A，过点B(，0)任作直线l交圆A于点C、D，过点B作与AD平行的直线交AC于点E.
（1）求动点E的轨迹方程；
（2）设动点E的轨迹与y轴正半轴交于点P，过点P且斜率为k1，k2的两直线交动点E的轨迹于M、N两点(异于点P)，若，证明：直线MN过定点.
18．（12分）设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn
19．（12分）已知函数
（1）讨论的单调性：
（2）若对恒成立，求的取值范围
20．（12分）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且
（1）求抛物线的方程；
（2）若，是抛物线上一点，过点的直线与抛物线交于，两点（均与点不重合），设直线，的斜率分别为，，求证：为定值
21．（12分）已知椭圆：的长轴长为6，离心率为，长轴的左，右顶点分别为A，B
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点的直线交椭圆于M、N两个不同的点，直线AM，AN分别交轴于点S、T，记，（为坐标原点），当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围
22．（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=2AD=4，且PC=.点E在PC上.

（1）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（2）若E为PC的中点，求直线PC与平面AED所成的角的正弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据严格递增数列定义可判断必要性，分类讨论可判断充分性.
【详解】若是严格递增数列，显然，所以“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”必要条件；
对任意的正整数n都成立，所以中不可能同时含正项和负项，
，即，或，即，
当时，有，即，是严格递增数列，
当时，有，即，是严格递增数列，
所以“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”充分条件
故选：C
2、A
【解析】由三角函数的单调性直接判断是否能推出，反过来判断
时，是否能推出.
【详解】当时，利用正弦函数的单调性知；当时，或.综上可知“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题考查判断充分必要条件，三角函数性质，意在考查基本判断方法，属于基础题型.
3、C
【解析】根据焦半径公式即可求出
【详解】因为，所以，所以
故选：C
4、A
【解析】设等差数列的公差为，根据数列是等差数列可求得，由此可得出，进而可求得所求代数式的值.
【详解】设等差数列的公差为，即，
由于数列也为等差数列，则，
可得，即，
可得，即，解得，
所以，数列为常数列，对任意的，，
因此，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列基本量的求解，通过等差数列定义列等式求解公差是解题的关键，另外，在求解有关等差数列基本问题时，可充分利用等差数列的定义以及等差中项法来求解.
5、B
【解析】将样本中的数据由小到大进行排列，利用中位数的定义可得结果.
【详解】将样本中的数据由小到大进行排列，依次为：、、、、、、、、、，
因此，这组数据的中位数为.
故选：B.
6、B
【解析】利用等差数列的性质求解即可.
【详解】解：由等差数列的性质得.
故选：B
7、C
【解析】根据通项公式及求出，从而求出前8项和.
【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，则数列的前8项和为.
故选：C
8、A
【解析】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，即可判断；利用两条异面直线不能确定一个平面即可判断；利用平面的基本性质中的公理判断即可；若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），即可判断.
【详解】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；
两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；
利用平面的基本性质中的公理判断（3）正确；
空间中，若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，
综上所述只有一个说法是正确的，
故选：A
【点睛】本题主要考查了空间中点，线，面的位置关系.属于较易题.
9、D
【解析】由空间向量的坐标运算和空间向量平行的坐标表示，以及直线的方向向量的定义可得选项.
【详解】解：因为两点，则，
又因为与向量平行，所以直线的方向向量是，
故选：D.
10、C
【解析】根据空间里面点关于面对称的性质即可求解.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是.
故选：C.
11、B
【解析】利用双曲线的实轴长为，求出，即可求出该双曲线的渐近线的斜率.
【详解】由题意，，所以，，
所以双曲线的渐近线的斜率为.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题.
12、C
【解析】先利用已知条件得到，解出公差，得到通项公式，再代入数列，利用裂项相消法求和即可.
【详解】因为成等比数列，，故，即，
故，解得或（舍去），
故，
即，故的前项和为：.
故选：C.
【点睛】方法点睛：数列求和的方法：
（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列:或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、24
【解析】利用双曲线定义结合已知求出，，再利用双曲线的对称性计算作答.
【详解】依题意，，，又，解得，，
则有，即，连接，如图，

因过原点O的直线与双曲线C相交于P，Q两点，由双曲线的对称性知，P，Q关于原点O对称，
因此，四边形是平行四边形，，
所以的面积为24.
故答案为：24
14、2
【解析】由两点间的斜率公式及直线斜率的定义即可求解.
【详解】解：因为过两点的直线的倾斜角为，
所以，解得，
故答案为：2.
15、
【解析】设两条曲线交点为根据椭圆和抛物线对称性知，不妨点A在第一象限，由A在抛物线上得，A在椭圆上得
.则由条件得：
.解得（舍去）
16、
【解析】先设圆上任意一点的坐标，然后利用直径对应的圆周角为直角，再利用向量垂直建立方程即可
【详解】设圆上任意一点的坐标为
可得：，
则有：，即
解得：
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）证明见解析
【解析】(1)作出图象，易知|EB|＋|EA|为定值，根据椭圆定义即可判断点E的轨迹，从而写出其轨迹方程；
(2)设，当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：，联立MN方程和E的轨迹方程得根与系数的关系，根据解出k与m的关系即可以判断MN过定点；最后再考虑MN斜率不存在时是否也过该定点即可.
【小问1详解】

由圆A：可得(，
∴圆心A(－，0)，圆的半径r＝8，
，
，可得，
，
，
由椭圆的定义可得：点E的轨迹是以A(，0)、B(，0)为焦点，2a＝8的椭圆，
即a＝4，c＝，∴＝16－7＝9，
∴动点E的轨迹方程为；
【小问2详解】
由(1)知，P(0，3)，设，当直线MN的斜率存在时，
设直线MN的方程为：，
由，可得，
∴，，
∵，
∴，
即，
整理可得：，
∴k＝m＋3或m＝3，
当m＝3时，直线MN的方程为：，
此时过点P(0，3)不符合题意，
∴k＝m＋3，∴直线MN的方程为：
此时直线MN过点(－1，－3)，
当直线MN的斜率不存在时，，
，解得，
此时直线MN的方程为：，过点(－1，－3)，
综上所述：直线MN过定点(－1，－3).

18、（Ⅰ）an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）2n﹣1 2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2
【解析】（Ⅰ）由{an}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式
（Ⅱ）由{bn}是首项为1，公差为2的等差数列 可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an+bn}的前n项和Sn
解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列
∴设其公比为q，q＞0
∵a3=a2+4，a1=2
∴2×q2="2×q+4" 解得q=2或q=﹣1
∵q＞0
∴q="2"
∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n
（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列
∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1
∴数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2
点评：本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题
19、（1）答案不唯一，具体见解析
（2）
【解析】（1）求导得，在分，两种情况讨论求解即可；
（2）根据题意将问题转化为对恒成立，进而构造函数，求解函数最值即可.
【小问1详解】
解：函数的定义域为，
当时，令，得，令，得；
当时，令，得，令，得
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
【小问2详解】
解：由（1）知，函数在上单调递增，
则，
所以对恒成立等价于对恒成立
设函数，则，
设，则，则在上单调递减，
所以，则，
所以在上单调递减，
所以；
故，即的取值范围是
20、（1）
（2）证明见解析
【解析】(1)联立直线和抛物线方程，根据抛物线定义和焦半径公式得到，根据韦达定理可得到最终结果；（2）代入点坐标可得到参数的值，设直线的方程为，联立该直线和抛物线方程，，代入韦达定理可得到最终结果.
【小问1详解】
设点，，点，，
联立，整理得，
，
由抛物线的定义知，
解得，
抛物线的方程为
【小问2详解】
，为抛物线上一点，
，即，
设，，，，直线的方程为，
由，消去得，
，，
，
即为定值
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据椭圆的长轴和离心率，可求得，进而得椭圆方程；
（2）先判断直线斜率为正，然后设出直线方程，和椭圆方程联立，整理得根与系数的关系，利用直线方程求出点S、T的坐标，再根据确定的表达式，将根与系数的关系式代入化简，求得结果.
【小问1详解】
由题意可得：
解得：，所以椭圆的方程：
【小问2详解】
当直线l的倾斜角为锐角时，设，
设直线，
由得，
从而，又，得，
所以，
又直线的方程是：，令，
解得，所以点S为；
直线的方程是：，同理点T为·
所以，
因为，所以，
所以

∵，∴，
综上，所以的范围是
22、（1）证明见解析；
（2）
【解析】（1）根据题意可判断出ABCD是正方形，从而可得，再根据，由线面垂直的判定定理可得平面PAC，然后由面面垂直的判定定理即可证出；
（2）由、、两两垂直可建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线PC与平面AED所成的角的正弦值.
【小问1详解】
因为PA⊥底面ABCD，PA=2AD=4，PC=，所以，，即ABCD是正方形，所以，而PA⊥底面ABCD，所以，又，所以平面PAC，而平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC
【小问2详解】
由题可知、、两两垂直，建系如图，

，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，
，，，，1，，，2，，
设平面的一个法向量为，则，，
即，取，0，，
所以直线与平面所成的角的正弦值为