2026届四川省绵阳中学资阳育才学校高二数学第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

2026届四川省绵阳中学资阳育才学校高二数学第一学期期末考试模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知圆过点，，且圆心在轴上，则圆的方程是（）
A. B.
C. D.
2．圆心在直线上，且过点，并与直线相切的圆的方程为（）
A. B.
C. D.
3．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有人分钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前人所得之和与后人所得之和相等，问各得多少钱?”，则第人得钱数为（ ）
A.钱 B.钱
C.钱 D.钱
4．已知圆与圆，则两圆的位置关系是（）
A.外切 B.内切
C.相交 D.相离
5．已知函数，当时，函数在，上均为增函数，则的取值范围是
A. B.
C. D.
6．已知在等比数列中，，，则（ ）
A.9或 B.9
C.27或 D.27
7．某几何体的三视图如图所示，则其对应的几何体是

A. B.
C. D.
8．已知等比数列{an}中，，，则（ ）
A. B.1
C. D.4
9．下列有关命题的表述中，正确的是（）
A.命题“若是偶数，则，都是偶数”的否命题是假命题
B.命题“若为正无理数，则也是无理数”的逆命题是真命题
C.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
D.若命题“”，“”均为假命题，则，均为假命题
10．在四面体OABC中，点M在线段OA上，且，N为BC中点，已知，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
11．设变量，满足约束条件则的最小值为（ ）
A.3 B.－3
C.2 D.－2
12．①命题设“，若，则或”；②若“”为真命题，则p，q均为真命题；③“”是函数为偶函数的必要不充分条件；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；其中正确判断的个数是（）
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．不透明袋中装有完全相同，标号分别为1，2，3，…，8的八张卡片．从中随机取出3张．设X为这3张卡片的标号相邻的组数（例如：若取出卡片的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3、4和4、5，此时X的值是2）．则随机变量X的数学期望______
14．已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为_______.
15．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是奇数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）
16．直线与圆相交于两点M，N，若满足，则________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数在时有极值0.
（1）求函数的解析式；
（2）记，若函数有三个零点，求实数的取值范围.
18．（12分）已知直线，圆.
（1）若l与圆C相切，求切点坐标；
（2）若l与圆C交于A，B，且，求的面积.
19．（12分）已知，以点为圆心圆被轴截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程.
20．（12分）已知函数，其中为实数.
（1）若函数的图像在处的切线与直线平行，求函数的解析式；
（2）若，求在上的最大值和最小值.
21．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，.若，且.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的最大值.
22．（10分）已知函数f(x)＝ax－2lnx
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据圆心在轴上，设出圆的方程，把点，的坐标代入圆的方程即可求出答案.
【详解】因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为，
因为点，在圆上，所以，解得，
所以圆的方程是.
故选：B.
2、A
【解析】设圆的圆心，表示出半径，再由圆心到切线距离等于半径即可列出方程求得参数及圆的方程.
【详解】∵圆的圆心在直线上，∴设圆心为(a，－a)，
∵圆过，∴半径r＝，
又∵圆与相切，∴半径r＝，
则，解得a＝2，
故圆心为(2，－2)，半径为，
故方程为.
故选：A.
3、A
【解析】设第所得钱数为钱，设数列、、、、的公差为，根据已知条件可得出关于、的值，即可求得的值.
【详解】设第所得钱数为钱，则数列、、、、为等差数列，
设数列、、、、公差为，
则，解得，故.
故选：A.
4、A
【解析】求得两圆的圆心和半径，再根据圆心距与半径之和半径之差的关系，即可判断位置关系.
【详解】对圆，其圆心，半径；
对圆，其圆心，半径；
又，故两圆外切.
故选：A.
5、A
【解析】
由，函数在上均为增函数，恒成立，,设，则
，又设，则满足线性约束条件，画出可行域如图所示，由图象可知在点取最大值为，在点取最小值.则的取值范围是，故答案选A
考点：利用导数研究函数的性质，简单的线性规划
6、B
【解析】根据等比数列的性质可求.
【详解】因为为等比数列，设公比为，
则，解得，又，所以.
故选：B.
7、A
【解析】根据三视图即可还原几何体.
【详解】根据三视图，特别注意到三视图中对角线的位置关系，容易判断A正确.
【点睛】本题主要考查了三视图，属于中档题.
8、D
【解析】设公比为，然后由已知条件结合等比数列的通项公式列方程求出，从而可求出，
【详解】设公比为，因为等比数列{an}中，，，
所以，
所以，解得，
所以，得
故选：D
9、C
【解析】对于选项A：根据偶数性质即可判断；对于选项B：通过举例即可判断，对于选项C：利用逆否命题的概念即可判断；对于选项D：根据且、或和非的关系即可判断.
【详解】选项A：原命题的否命题为：若不是偶数，则，不都是偶数，
若，都是偶数，则一定是偶数，从而原命题的否命题为真命题，故A错误；
选项B：原命题的逆命题：若是无理数，则也为正无理数，
当，即为无理数，但是有理数，故B错误；
选项C：由逆否命题的概念可知，C正确；
选项D：由为假命题可知，，至少有一个为假命题，
由为假命题可知，和均为假命题，故为假命题，为真命题，故D错误.
故选：C.
10、B
【解析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解
【详解】因为N为BC中点，所以,
因为M在线段OA上，且，
所以，
所以，
故选：B

11、D
【解析】转化为，则最小即直线在轴上的截距最大，作出不等式组表示的可行域，数形结合即得解
【详解】转化为，则最小即直线在轴上的截距最大
作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，

作出直线，平移该直线，
当直线经过时，在轴上的截距最大，最小，
此时，
故选：D
12、B
【解析】利用逆否命题、含有逻辑联结词命题的真假性、充分和必要条件、空间基底等知识对四个判断进行分析，由此确定正确答案.
【详解】①，原命题的逆否命题为“，若且，则”，逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，①正确.
②，若“”为真命题，则p，q至少有一个真命题，②错误.
③，函数为偶函数的充要条件是“”.所以“”是函数为偶函数的充分不必要条件，③错误.
④，若为空间的一个基底，即不共面，
若共面，则存在不全为零的，
使得，
故，
因为为空间的一个基底，，
故，矛盾，故不共面，
所以构成空间的另一基底，④正确.
所以正确的判断是个.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】设为这3张卡片的标号相邻的组数，则的可能取值为0，1，2，利用列举法分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的数学期望
【详解】解：不透明袋中装有完全相同，标号分别为1，2，3，，8的八张卡片
从中随机取出3张，共有种，
设为这3张卡片的标号相邻的组数，则的可能取值为0，1，2，
的情况有：，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，共6个，
，
的情况有：
取，另外一个数有5种取法；
取，另外一个数有4种取法；
取，另外一个数有4种取法；
取，另外一个数有4种取法；
取，另外一个数有4种取法；
取，另外一个数有4种取法；
取，另外一个数有5种取法
的情况一共有：，
，
，
随机变量的数学期望：
故答案为：
14、
【解析】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，令在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出，由此能求出的最小值
【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，
令在双曲线的右支上，
由双曲线的定义，
由椭圆定义，
可得，，
又，
，
可得，
得，
即，
可得，
则

，
当且仅当，上式取得等号，
可得的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是离心率，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用
15、504
【解析】分两种情况求解，一是四个数字中没有奇数，二是四个数字中有一个奇数，然后根据分类加法原理可求得结果
【详解】当四个数字中没有奇数时，则这样的四位数有种，
当四个数字中有一个奇数时，则从5个奇数中选一个奇数，再从4个偶数中选3个数，然后对这4个数排列即可，所以有种，
所以由分类加法原理可得共有种，
故答案为：504
16、
【解析】由点到直线的距离公式，结合已知可得圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式可得,然后可解.
【详解】因为，所以，所以，圆心到直线的距离
因为，所以，
所以
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）求出函数的导函数，由在时有极值0,则，两式联立可求常数a，b的值，从而得解析式；
（2）利用导数研究函数的单调性、极值，根据函数图象的大致形状可求出参数的取值范围.
【小问1详解】
由可得，
因为在时有极值0，
所以，即，解得或，
当时，，
函数在R上单调递增，不满足在时有极值，故舍去.
所以常数a，b的值分别为.
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，
，
令，解得，
当或时，当时，，
的递增区间是和，单调递减区间为，
当有极大值，
当有极小值，
要使函数有三个零点，则须满足，解得.
18、（1）（2）
【解析】（1）求出直线的定点，再由定点在圆上得出切点坐标；
（2）由（1）知，证明为直角三角形，求出，，最后由三角形的面积公式求出的面积.
【详解】（1）圆可化为
直线可化为，由解得
即直线过定点，由于，则点在圆上
因为l与圆C相切，所以切点坐标为
（2）因为l与圆C交于A，B，所以点
如下图所示，与相交于点，由以及圆的对称性可知，点为的中点，且
由，则直线的方程为
圆心到直线的距离为，即直线与圆相切
即，则
因为，
所以

【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是先确定直线过定点，再由定点在圆上，从而确定切点的坐标.
19、（1）
（2）或
【解析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径；
（2）根据直线的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为的直线满足题意，斜率存在时，利用直线与圆相切，即到直线的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可.
【小问1详解】
不妨设圆的半径为，根据垂径定理，可得：
解得：
则圆的方程为：
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，则有：
故此时直线与圆相切，满足题意
当直线的斜率存在时，不妨设直线的斜率为，点的直线的距离为
直线的方程为：
则有：
解得： ，此时直线的方程为：
综上可得，直线的方程为：或
20、（1）
（2），
【解析】（1）根据平行关系得到切线斜率，进而得到导函数在处的函数值，列出方程，求出，进而得到函数解析式；（2）先由求出，再利用导函数求单调性和最值.
【小问1详解】
，
.
由题意得：，解得：.
，
【小问2详解】
，则，解得，
，
，
当，解得：，即函数在单调递减，
当，解得：或，
即函数分别在，递增.
又，，，，
，.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）由，等式右边可化为余弦定理形式，根据求角即可（2）由余弦定理结合均值不等式可求出的最大值，即可求出三角面积的最大值.
【详解】（1）由得：，
即：.
∴，又，∴.
（2）由，当且仅当等号成立.
得：.
.
【点睛】本题主要考查了余弦定理，均值不等式，三角形面积公式，属于中档题.
22、（1）答案见解析；
（2）.
【解析】（1）根据实数a的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；
（2）利用常变量分离法，通过构造函数，利用导数的性质进行求解即可.
【小问1详解】

当a≤0时，在(0，＋∞)上恒成立；
当a＞0时，令得；令得；
综上：a≤0时f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
a＞0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
由题意知ax－2lnx≤x－2 在(0，＋∞)上有解
则ax≤x－2＋2lnx，
令，
x

g'(x)
＋
0
－
g(x)
↗
极大值
↘
所以，因此有
所以a的取值范围为：
【点睛】关键点睛：运用常变量分离法利用导数的性质是解题的关键.