2025年福建省漳州市平和一中、南靖一中等五校高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2025年福建省漳州市平和一中、南靖一中等五校高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．倾斜角为45°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)
A.x－y＋1＝0 B.x－y－1＝0
C.x＋y－1＝0 D.x＋y＋1＝0
2．在等差数列中，若，且前n项和有最大值，则使得的最大值n为（）
A.15 B.16
C.17． D.18
3．过双曲线的左焦点作x轴的垂线交曲线C于点P，为右焦点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
4．设是等差数列，是其公差，是其前n项的和．若，，则下列结论不正确的是（）
A. B.
C. D.与均为的最大值
5．运行如图所示程序后，输出的结果为（）

A.15 B.17
C.19 D.21
6．已知双曲线：，直线经过点，若直线与双曲线的右支只有一个交点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7．直线与圆的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切
C.相离 D.都有可能
8．设点P是函数图象上任意一点，点Q的坐标，当取得最小值时圆C：上恰有2个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为（）
A. B.
C. D.
9．下列说法中正确的是（ ）
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.棱台的所有侧棱延长后交于一点
C.所有几何体的表面都能展开成平面图形
D.正棱锥的各条棱长都相等
10．某学生2021年共参加10次数学竞赛模拟考试，成绩分别记为，，，…，，为研究该生成绩的起伏变化程度，选用一下哪个数字特征最为合适（ ）
A.，，，…，的平均值； B.，，，…，的标准差；
C.，，，…，的中位数； D.，，，…，的众数；
11．函数的单调增区间为（）
A. B.
C. D.
12．已知双曲线的离心率为2，则（）
A.2 B.
C. D.1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．双曲线的渐近线方程是____________
14．若“”是“”必要不充分条件，则实数的最大值为_______
15．某地区有3个疫苗接种定点医院，现有10名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少需要2名至多需要4名志愿者，则不同的安排方法共有___________种.
16．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为 __.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）三棱锥中，，，，直线与平面所成的角为，点在线段上.

（1）求证：；
（2）若点在上，满足，点满足，求实数使得二面角的余弦值为.
18．（12分）已知在等差数列中，，
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和
19．（12分）我们知道，装同样体积的液体容器中，如果容器的高度一样，那么侧面所需的材料就以圆柱形的容器最省.所以汽油桶等装液体的容器大都是圆柱形的，某卧式油罐如图1所示，它垂直于轴的截面如图2所示，已知截面圆的半径是1米，弧的长为米表示劣弧与弦所围成阴影部分的面积.

（1）请写出函数表达式；
（2）用求导的方法证明.
20．（12分）已知圆与轴相切，圆心在直线上，且到直线的距离为
（1）求圆的方程；
（2）若圆的圆心在第一象限，过点的直线与相交于、两点，且，求直线的方程
21．（12分）在中，已知，，，，分别为边，的中点，于点.
（1）求直线方程；
（2）求直线的方程.
22．（10分）已知圆，点.
（1）若，半径为的圆过点，且与圆相外切，求圆的方程；
（2）若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，，求.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】由题意，，所以，即，故选B
2、A
【解析】由题可得，则，可判断，，即可得出结果.
【详解】前n项和有最大值，，
，，，
，，
使得的最大值n为15.
故选：A.
【点睛】本题考查等差数列前n项和的有关判断，解题的关键是得出.
3、D
【解析】由题知是等腰直角三角形，，又根据通径的结论知，结合可列出关于的二次齐次式，即可求解离心率.
【详解】由题知是等腰直角三角形，且，
，
又，，即，
，，即，
解得，
，.
故选：D.
4、C
【解析】由已知条件可以得出，，，即可得公差，再利用等差数列的性质以及前n项的和的性质可判断每个选项的正误，进而可得正确选项.
【详解】由可得，
由可得，故选项B 正确；
由可得，
因为公差，故选项A正确，
，
所以，故选项C不正确；
由于是等差数列，公差，，，，
所以都是的最大值，故选项D正确；
所以选项C不正确，
故选：C
5、D
【解析】根据给出的循环程序进行求解，直到满足，输出.
【详解】，，，，，，，，，，，，所以.
故选：D
6、D
【解析】以双曲线的两条渐近线作为边界条件，即可保证直线与双曲线的右支只有一个交点.
【详解】双曲线：的两条渐近线为和
两渐近线的倾斜角分别为和
由经过点的直线与双曲线的右支只有一个交点，
可知直线的倾斜角取值范围为，
故直线的斜率的取值范围是
故选：D
7、A
【解析】求出圆心到直线的距离，然后与圆的半径进行大小比较即可求解.
【详解】解：圆的圆心，，
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆的位置关系是相交，
故选：A.
8、C
【解析】先求出代表的是以为圆心，2为半径的圆的位于x轴下方部分（包含x轴上的部分），数形结合得到取得最小值时a的值，得到圆心C，利用点到直线距离求出圆心C到直线的距离，数形结合求出半径r的取值范围.
【详解】，两边平方得：，即点P在以为圆心，2为半径的圆的位于x轴下方部分（包含x轴上的部分），如图所示：

因为Q的坐标为，则在直线，过点A作⊥l于点，与半圆交于点，此时长为的最小值，则，所以直线：，与联立得：，所以，解得：，则圆C：，则，圆心到直线的距离为，要想圆C上恰有2个点到直线的距离为1，则.
故选：C
9、B
【解析】根据棱柱、棱台、球、正棱锥结构特征依次判断选项即可.
【详解】棱柱的侧面都是平行四边形，A不正确；
棱台是由对应的棱锥截得的，B正确；
不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，例如球不能展开成平面图形，C不正确；
正棱锥的各条棱长并不是都相等，应该为正棱锥的侧棱长都相等，所以D不正确.
故选：B.
10、B
【解析】根据平均数、标准差、中位数及众数的概念即得.
【详解】根据平均数、中位数、众数的概念可知，平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，标准差描述数据的波动大小估计数据的稳定程度.
故选：B.
11、D
【解析】先求定义域，再求导数，令解不等式，即可.
【详解】函数的定义域为

令，解得
故选：D
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
12、D
【解析】由双曲线的性质，直接表示离心率，求.
【详解】由双曲线方程可知，
因为，所以，解得：，
又，所以.
故选：D
【点睛】本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法：
直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由双曲线的方程可知，，即可直接写出其渐近线的方程.
【详解】由双曲线的方程为，可知，；
则双曲线的渐近线方程为.
故答案：.
14、
【解析】设的解集为集合，由题意可得是的真子集，即可求解.
【详解】由得或，
因为“”是“”的必要不充分条件，
设或，，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以是的真子集，
所以
故答案为：
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含
15、22050
【解析】先分组，再排列，注意部分平均分组问题，需要除以平均组数的全排列.
【详解】根据题意，这10名志愿者的安排方法共有两类：第一类是2，4，4，第二类是3，3，4.故不同的安排方法共有种.
故答案为：22050
16、5
【解析】明确程序运行的顺序，写出每次循环的m,n的值，直到判断符合条件时结束，即可得到结果.
【详解】第一次循环，m＝3，n＝2；
第二次循环，m＝6，n＝3；
第三次循环，m＝9，n＝4；
第四次循环，m＝12，n＝5，此时m+n＞15，跳出循环，
故答案为：5.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）证明平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【小问1详解】
证明：因为，，则且，
，平面，
所以为直线与平面所成的线面角，即，
，故，，
，平面，
平面，因此，.
【小问2详解】
解：设，由（1）可知且，，
因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，则，
由已知可得，解得.
当点为线段的中点时，二面角的平面角为锐角，合乎题意.
综上所述，.
18、（1）
（2）
【解析】（1）设的公差为，由等差数列的通项公式结合条件可得答案.
（2）由（1）可得，由错位相减法可得答案.
【小问1详解】
设的公差为，由已知得且，
解得，，
所以的通项公式为
【小问2详解】
由（1）可得，
所以，
所以，
两式相减得：
，
所以

，
所以
19、（1），
（2）证明见解析
【解析】（1）由弧长公式得，根据即可求解；
（2）利用导数判断出在上单调递增，即可证明.
【小问1详解】
由弧长公式得，
于是，
【小问2详解】
cos，
显然在上单调递增，
于是.
20、（1）或
（2）或
【解析】（1）设圆心的坐标为，则该圆的半径长为，利用点到直线的距离公式可求得的值，即可得出圆的标准方程；
（2）利用勾股定理可求得圆心到的距离，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式可求得关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程.
【小问1详解】
解：设圆心的坐标为，则该圆的半径长为，
因为圆心到直线的距离为，解得，
所以圆心的坐标为或，半径为，
因此，圆的标准方程为或.
【小问2详解】
解：若圆的圆心在第一象限，则圆的标准方程为.
因为，所以圆心到直线的距离.
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意；
所以，直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
所以，直线的方程为或，即或.
21、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件求出点D，E坐标，再求出直线DE方程作答.
(2)求出直线AH的斜率，再借助直线的点斜式方程求解作答.
【小问1详解】
在中，，，，则边中点，边的中点，
直线DE斜率，于是得，即，
所以直线的方程是：.
【小问2详解】
依题意，，则直线BC的斜率为，又，因此，直线的斜率为，
所以直线的方程为：，即.
22、（1）或
（2）
【解析】（1）设圆心，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出圆的方程；
（2）分析可知直线、的斜率存在，设过点且斜率存在的直线的方程为，即，利用勾股定理可得出，可知直线、的斜率、是关于的二次方程的两根，求出、的坐标，结合韦达定理可求得的值.
【小问1详解】
解：设圆心，圆的圆心为，
由题意可得，解得或，
因此，圆的方程为或.
【小问2详解】
解：若过点的直线斜率不存在，则该直线的方程为，
圆心到直线的距离为，不合乎题意.
设过点且斜率存在的直线的方程为，即，
由题意可得，整理可得，
设直线、的斜率分别为、，
则、为关于的二次方程的两根，
，
由韦达定理可得，，
在直线的方程中，令，可得，即点
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以，，解得.