2025年广东省佛山一中、石门中学、顺德一中、国华纪中四校高一数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2025年广东省佛山一中、石门中学、顺德一中、国华纪中四校高一数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AD1和B1C所成的角是（ ）

A. B.
C. D.
2．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（）
①；②；③；④
A.①② B.①④
C.②③ D.③④
3．已知是锐角，那么是（）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.小于180°的正角 D.第一或第二象限角
4．直线经过第一、二、四象限，则a、b、c应满足（）
A. B.
C. D.
5．已知函数，则函数的零点所在的区间是　　
A. B.
C. D.
6．下列结论正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
7．设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
8．已知函数，函数，若有两个零点，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9．已知为三角形的内角，且，则（　　）
A. B.
C. D.
10．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数（且），若对，，都有．则实数a的取值范围是___________
12．已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.
13．制造一种零件，甲机床的正品率为，乙机床的正品率为．从它们制造的产品中各任抽1件，则两件都是正品的概率是__________
14．已知幂函数的图像过点，则的解析式为=__________
15．奇函数是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围是_______
16．如图，在长方体ABCD—中，AB＝3cm，AD＝2cm，，则三棱锥的体积___________.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．计算：
（1）；
（2）若，求的值
18．如图，已知圆M过点P(10，4)，且与直线4x＋3y－20＝0相切于点A(2，4)
（1）求圆M的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且,求直线l的方程；

19．如图,△ABC中,,在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上,半圆与AC、AB分别相切于点C、M,与BC交于点N),将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体

(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小;
(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.
20．已知
（1）求的值
（2）求的值．（结果保留根号）
21．（1）已知，求的值.
（2）已知，是第四象限角，，，求.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线AD1和面对角线DA1所成的角就是异面直线AD1和B1C所成的角，利用正方体的性质即得
【详解】由正方体的性质可知，，
∴四边形为平行四边形，

∴DA1∥B1C，
∴正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线AD1和面对角线DA1所成的角就是异面直线AD1和B1C所成的角，
∵四边形ADD1A1正方形，
∴直线AD1和DA1垂直，
∴异面直线AD1和B1C所成的角是90°
故选：D
2、D
【解析】对每个函【解析】判断奇偶性及单调性即可.
【详解】对于①，，奇函数，在和上分别单增，不满足条件；
对于②，，偶函数，不满足条件；
对于③，，奇函数，在R上单增，符合题意；
对于④，，奇函数，在R上单增，符合题意；
故选：D
3、C
【解析】由题知，故，进而得答案.
【详解】因为是锐角,所以,所以,满足小于180°的正角.
其中D选项不包括，故错误.
故选：C
4、A
【解析】根据直线经过第一、二、四象限判断出即可得到结论.
【详解】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为，
∵直线经过第一、二、四象限，
∴，
∴且
故选：A.
5、A
【解析】根据初等函数的性质得到函数的单调性，再由得答案
【详解】∵函数和在上均为增函数，
∴在上为单调增函数，
∵，，
∴函数的零点所在的区间是，故选A
【点睛】本题主要考查了函数零点的判定，考查了初等函数的性质，属于基础题
6、A
【解析】AD选项，可以用不等式基本性质进行证明；BC选项，可以用举出反例.
【详解】，显然均大于等于0，两边平方得：，A正确；
当时，满足，但，B错误；
若，当时，则，C错误；
若，，则，D错误.
故选：A
7、D
【解析】由，则,再由指数、对数函数的单调性得出大小，得出答案.
【详解】由，则
， ，
所以
故选：D
8、A
【解析】
存在两个零点，等价于与的图像有两个交点，数形结合求解.
【详解】
存在两个零点，等价于与的图像有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图像：

由图可知，当直线在处的函数值小于等于1，即可保证图像有两个交点，
故：，解得：
故选：A.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.
9、A
【解析】根据同角三角函数的基本关系，运用“弦化切”求解即可.
【详解】
计算得，所以，，
从而可计算的，
，
,选项A正确，选项BCD错误.
故选：A.
10、C
【解析】根据指数式与对数式的互化关系逐一判断即可.
【详解】，故正确；
，故正确；
，，故不正确；
，故正确
故选：C
【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由条件可知函数是增函数，可得分段函数两段都是增函数，且时，满足，由不等式组求解即可.
【详解】因为对，且都有成立，
所以函数在上单调递增.
所以，解得.
故答案为：
12、-1
【解析】根据幂函数，当为奇数时，函数为奇函数，时，函数在(0，＋∞)上递减，即可得出答案.
【详解】解：∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴可取－1，1，3，
又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故＝－1.
故答案为：-1.
13、
【解析】由独立事件的乘法公式求解即可.
【详解】由独立事件的乘法公式可知，两件都是正品的概率是.
故答案为：
14、##
【解析】根据幂函数的定义设函数解析式，将点的坐标代入求解即可.
【详解】由题意知，
设幂函数的解析式为为常数)，
则，解得，
所以.
故答案为：
15、
【解析】利用函数的奇偶性、单调性去掉不等式中的符号“”，可转化为具体不等式，注意函数定义域
【详解】解：由得，
又为奇函数，得，
，
又是定义在，上的减函数，

解得：
即
故答案为：
【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查转化思想，解决本题的关键是利用性质去掉符号“”
16、1
【解析】根据题意，求得棱锥的底面积和高，由体积公式即可求得结果.
【详解】根据题意可得，平面，
故可得，
又因为，
故可得.
故答案为：.
【点睛】本题考查三棱锥体积的求解，涉及转换棱锥的顶点，属基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据分数指数幂、对数的运算法则及换底公式计算可得；
（2）根据换底公式的性质得到，再根据指数对数恒等式得到，即可得解；
【小问1详解】
解：

【小问2详解】
解：，，
，
18、（1）（2）2x－y +5＝0或2x－y －15＝0.
【解析】（1）由题意得到圆心M(6，7)，半径，进而得到圆的方程；（2）直线l∥OA，所以直线l的斜率为，根据点线距和垂径定理得到 解得m=5或m=-15，进而得到方程.
解析：(1)过点A(2，4)且与直线4x＋3y－20＝0垂直的直线方程为3x－4y＋10＝0 ①
AP的垂直平分线方程为x＝6 ②
由①②联立得圆心M(6，7)，半径
圆M的方程为
(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y＝2x + m，即2x－y + m＝0
则圆心M到直线l的距离
因为
而所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x－y +5＝0或2x－y －15＝0.
19、 (1);(2)
【解析】根据旋转体的轴截面图，利用平面几何知识求得球的半径与长，再利用面积公式与体积公式计算即可.
【详解】解：（1）连接，则，

设，
在中，，
；
（2），
∴圆锥球.
【点睛】本题考查旋转体的表面积与体积的计算，球的表面积，圆锥的体积.
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用二倍角公式化简得，然后利用同角关系式即得；
（2）利用两角差的正弦公式即求.
【小问1详解】
由，得，
∵，,
∴，
∴，
∴.
【小问2详解】
由（1）知，
∴.
21、（1）（2）
【解析】（1）由正余弦的齐次式化为正切即可求值；
（2）由同角的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求解.
【详解】（1）
.
（2），是第四象限角，
，
，，
，