赤峰市重点中学2025-2026学年高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

赤峰市重点中学2025-2026学年高一数学第一学期期末学业质量监测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数（且）的图像恒过定点（）
A. B.
C. D.
2．已知是定义在R上的奇函数，在区间上为增函数，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
3．已知，则（）
A.-4 B.4
C. D.
4．如果，那么
A. B.
C. D.
5．若集合，则（）
A.或 B.或
C.或 D.或
6．若直线过点且倾角为，若直线与轴交于点，则点的坐标为（）
A. B.
C. D.
7．若，是第二象限角，则（）
A. B.3
C.5 D.
8．已知正实数x，y，z，满足，则（）
A. B.
C. D.
9．已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
10．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）
A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0
C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝0
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知幂函数在上为减函数，则实数_______
12．已知幂函数f(x)是奇函数且在上是减函数，请写出f(x)的一个表达式________
13．用表示函数在闭区间上的最大值．若正数满足，则的最大值为__________
14．已知，，则的值为
15．将函数图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为________.
16．—个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知直线l的方程为.
（1）求过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程；
（2）求与直线l平行，且到点P（3，0）的距离为的直线l2的方程.
18．某兴趣小组要测量钟楼的高度（单位：）.如示意图，垂直放置的标杆的高度为，仰角.

（1）该小组已测得一组的值，算出了，请据此算出的值（精确到）；
（2）该小组分析测得的数据后，认为适当调整标杆到钟楼的距离（单位：），使与之差较大，可以提高测量精度.若钟楼的实际高度为，试问为多少时，最大？
19．已知函数
（1）求函数的零点；
（2）若实数满足，求的取值范围.
20．已知函数，，其中
（1）写出的单调区间（无需证明）；
（2）求在区间上的最小值；
（3）若对任意，均存在，使得成立，求实数的取值范围
21．已知函数的图象过点
（1）求的值并求函数的值域；
（2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围；
（3）若为偶函数，求实数的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】本题可根据指数函数的性质得出结果.
【详解】当时，，
则函数的图像恒过定点，
故选：C.
2、C
【解析】由奇函数知，再结合单调性及得，解不等式即可.
【详解】由题意知：，又在区间上为增函数，当时，，
当时，，由可得，解得.
故选：C.
3、C
【解析】已知，可得，根据两角差的正切公式计算即可得出结果.
【详解】已知，则，
.
故选：C.
4、D
【解析】：，，即故选D
5、B
【解析】根据补集的定义，即可求得的补集.
【详解】∵，∴或，
故选：B
【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，属于基础题.
6、C
【解析】利用直线过的定点和倾斜角写出直线的方程，求出与轴的交点，得出答案
【详解】直线过点且倾角为，则直线方程为，化简得
令，解得，点的坐标为
故选：C
【点睛】本题考查点斜式直线方程的应用，考查学生计算能力，属于基础题
7、C
【解析】由题知，再根据诱导公式与半角公式计算即可得答案.
【详解】解：因为，是第二象限角，
所以，
所以.
故选：C
8、A
【解析】根据指数函数和对数函数的图像比较大小即可.
【详解】令，
则，，，由图可知.

9、B
【解析】
应用同角关系可求得，再由余弦二倍角公式计算．
【详解】因，所以，
所以，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查余弦的二倍角公式．求值时要注意角的取值范围，以确定函数值的正负．
10、C
【解析】两圆公共弦的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，求出两圆的圆心，从而可得答案.
【详解】解：AB的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，
圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心为，
圆x2＋y2－6x＝0的圆心为，
则两圆圆心所在直线的方程为，即3x－y－9＝0.
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、-1
【解析】利用幂函数的定义列出方程求出m的值，将m的值代入函数解析式检验函数的单调性
【详解】∵y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1是幂函数
∴m2﹣5m﹣5=1解得m=6或m=﹣1
当m=6时，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x13不满足在（0，+∞）上为减函数
当m=﹣1时，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x﹣1满足在（0，+∞）上为减函数
故答案为m=﹣1
【点睛】本题考查幂函数的定义：形如y=xα（其中α为常数）、考查幂函数的单调性与幂指数的正负有关
12、
【解析】由题意可知幂函数中为负数且为奇数，从而可求出解析式
【详解】因为幂函数是奇函数且在上是减函数，
所以为负数且为奇数，
所以f(x)的一个表达式可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）
13、
【解析】对分类讨论，利用正弦函数的图象求出和，代入，解出的范围，即可得解.
【详解】当，即时，，，因为，所以不成立；
当，即时，，，不满足；
当，即时，，，由得，得，得；
当，即时，，，由得，得，得，得；
当，即时，，，不满足；
当，即时，，，不满足.
综上所述：.
所以得最大值为
故答案为：
【点睛】关键点点睛：对分类讨论，利用正弦函数的图象求出和是解题关键.
14、3
【解析】，故答案为3.
15、.
【解析】
由题意利用函数的图象变换规律，即可得出结论.
【详解】将函数图象上所有的点向右平行移动个单位长度，
可得函数为，
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
可得函数为.
故答案为：.
16、30
【解析】由三视图可知这是一个下面是长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体
长方体的体积为
五棱柱的体积是
故该几何体的体积为
点睛：本题主要考查的知识点是由三视图求面积，体积．本题通过观察三视图这是一个下面是长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体，分别求出长方体和五棱柱的体积，然后相加可得答案

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）或
【解析】（1）可设所求直线的方程为，将A（3，2）代入求得参数，即可得解；
（2）可设所求直线方程为，根据点P（3，0）到直线的距离求得参数，即可得解.
【小问1详解】
解：可设所求直线的方程为，
则有，解得，
所以所求直线方程为；
【小问2详解】
解：可设所求直线方程为，
则有，解得或，
所以所求直线方程为或.
18、（1）约为
（2）为时，最大
【解析】（1）运用正切三角函数建立等式，再结合题中数据可求解；
（2）由，得到，再运用基本不等式求解.
【小问1详解】
由得，
同理，.
因为，所以，
解得.
因此，算出钟楼的高度约为.
【小问2详解】
由题设知，得，
又
，
当且仅当时，取等号，
故当时，最大.
因为，则，所以当时，最大，
故所求的是.
19、（1）零点为；（2）.
【解析】（1）分类讨论，函数对应方程根的个数，综合讨论结果，可得答案；
（2）分析函数的奇偶性和单调性，进而可将不等式化为，解得的取值范围
【详解】（1），
或，
函数的零点为；
（2）当时，，
此时，
当时，，
同理，，
故函数为偶函数，
又时，为增函数，
（2）时，（2），
即，
，
，
综上所述，的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：（1）函数的零点即相应方程的根；
（2）处理抽象不等式要充分利用函数的单调性与奇偶性去掉绝对值，转化为具体的不等式.
20、（1）的单调递增区间是，单调递减区间是
（2）
（3）
【解析】（1）利用去掉绝对值及一次函数的性质即可求解；
（2）根据（1）的结论，利用单调性与最值的关系即可求解；
（3）根据已知条件将问题转化为，再利用函数的单调性与最值的关系，分情况讨论即可求解.
【小问1详解】
由，得,
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是,
【小问2详解】
由（1）知，函数的单调递增区间是，单调递减区间是,
当，即时，当时，函数取得最小值为
，
当，即时，当时，函数取得最小值为
，
综上所述，函数在区间上的最小值为.
【小问3详解】
因为对任意，均存在，使得成立
等价于，，.
而当时，，故必有
由第（2）小题可知，，且，所以，
①当时，
∴，可得，
②当时，
∴，可得，
③当时，
∴或，可得，
综上所述，实数的取值范围为
21、（1）（2）（3）
【解析】（1）函数图象过，代入计算可求出的值，结合对数函数的性质可求出函数的值域；（2）构造函数，求出它在上的值域，即可求出的取值范围；（3）利用偶函数的性质，即可求出
【详解】（1）因为函数图象过点，所以，解得.
则，
因为，所以，
所以函数的值域为.
（2）方程有实根，即，有实根，
构造函数，
则，
因为函数在R上单调递减，而在（0，）上单调递增，
所以复合函数是R上单调递减函数
所以在上，最小值，最大值为，即，
所以当时，方程有实根
（3），是R上的偶函数，
则满足，
即恒成立，
则恒成立，
则恒成立，
即恒成立，
故，则恒成立，
所以.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，及对数函数的性质，属于中档题