2022年广东省广州市数学中考试卷（含答案）.docx

2022 年广东省广州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ）

A．圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱2．（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3 分）代数式有意义时，x 应满足的条件为（ ）
A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1

4．（3 分）点（3，﹣5）在正比例函数 y＝kx（k≠0）的图象上，则 k 的值为（ ）
A．﹣15 B．15 C．﹣ D．﹣ 5．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A． ＝2 B． ﹣ ＝a（a≠0）
C．+ ＝ D．a2•a3＝a5
6．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线 x＝﹣2，下列结论正确的是（ ）

A．a＜0 B．c＞0
C．当 x＜﹣2 时，y 随 x 的增大而减小

D．当 x＞﹣2 时，y 随 x 的增大而减小

7．（3 分）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则（ ）

A．a＝b B．a＞b C．|a|＜|b| D．|a|＞|b|

8．（3 分）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4 名志愿者中随机抽取 2 名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3 分）如图，正方形 ABCD 的面积为 3，点 E 在边 CD 上，且 CE＝1，∠ABE 的平分线交 AD 于点 F，点 M，N
分别是 BE，BF 的中点，则 MN 的长为（ ）

A． B． C．2﹣ D．

10．（3 分）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第 1 个图形需要 6 根小木棒，拼第 2 个图形需要 14 根小木棒，拼第 3 个图形需要 22 根小木棒……若按照这样的方法拼成的第 n 个图形需要 2022 根小木棒，则 n 的值为
（ ）

A．252 B．253 C．336 D．337
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）
11．（3 分）在甲、乙两位射击运动员的 10 次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为 S 甲 2＝1.45，
S 乙 2＝0.85，则考核成绩更为稳定的运动员是 ．（填“甲”、“乙”中的一个）．
12．（3 分）分解因式：3a2﹣21ab＝ ．
13．（3 分）如图，在▱ABCD 中，AD＝10，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC+BD＝22，则△BOC 的周长为 ．

14．（3 分）分式方程＝的解是 ．
15．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 O 在边 AC 上，以 O 为圆心，4 为半径的圆恰好过点 C，且与边 AB 相切于点 D，交 BC 于点 E，则劣弧的长是 ．（结果保留 π）
16．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，BC＝2AB，点 P 为边 AD 上的一个动点，线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60°得到线段 BP′，连接 PP′，CP′．当点 P′落在边 BC 上时，∠PP′C 的度数为 ；当线段 CP′的长度最小时，
∠PP′C 的度数为 ．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（4 分）解不等式：3x﹣2＜4．

18．（4 分）如图，点 D，E 在△ABC 的边 BC 上，∠B＝∠C，BD＝CE，求证：△ABD≌△ACE．

19．（6 分）某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表

运动时间 t/min
频数
频率
30≤t＜60
4
0.1
60≤t＜90
7
0.175
90≤t＜120
a
0.35
120≤t＜150
9
0.225
150≤t＜180
6
b
合计
n
1
请根据图表中的信息解答下列问题：

（1）频数分布表中的 a＝ ，b＝ ，n＝ ；

（2） 请补全频数分布直方图；

（3） 若该校九年级共有 480 名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于 120min 的学生人数．

20．（6 分）某燃气公司计划在地下修建一个容积为 V（V 为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积 S（单位：m2）与其深度 d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1） 求储存室的容积 V 的值；

（2） 受地形条件限制，储存室的深度 d 需要满足 16≤d≤25，求储存室的底面积 S 的取值范围．
21．（8 分）已知 T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．
（1） 化简 T；

（2） 若关于 x 的方程 x2+2ax﹣ab+1＝0 有两个相等的实数根，求 T 的值．

22．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，且 AC＝8，BC＝6．

（1） 尺规作图：过点 O 作 AC 的垂线，交劣弧于点 D，连接 CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）所作的图形中，求点 O 到 AC 的距离及 sin∠ACD 的值．

23．（10 分）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆 AB 的影子为 BC，与此同时在 C 处立一根标杆 CD，标杆 CD 的影子为 CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．
（1） 求 BC 的长；

（2） 从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆 AB 的高度． 条件①：CE＝1.0m；条件②：从 D 处看旗杆顶部 A 的仰角 α 为 54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．
24．（12 分）已知直线 l：y＝kx+b 经过点（0，7）和点（1，6）．

（1） 求直线 l 的解析式；

（2） 若点 P（m，n）在直线 l 上，以 P 为顶点的抛物线 G 过点（0，﹣3），且开口向下．

①求 m 的取值范围；
②设抛物线 G 与直线 l 的另一个交点为 Q，当点 Q 向左平移 1 个单位长度后得到的点 Q′也在 G 上时，求 G 在

≤x≤ +1 的图象的最高点的坐标．

25．（12 分）如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接 BD．
（1） 求 BD 的长；
（2） 点 E 为线段 BD 上一动点（不与点 B，D 重合），点 F 在边 AD 上，且 BE＝DF．
①当 CE⊥AB 时，求四边形 ABEF 的面积；
②当四边形 ABEF 的面积取得最小值时，CE+CF 的值是否也最小？如果是，求 CE+CF 的最小值；如果不是，请说明理由．

2022 年广东省广州市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ）

A. 圆锥 B．圆柱 C．棱锥 D．棱柱

【分析】根据基本几何体的展开图判断即可．

【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是扇形，∴判断这个几何体是圆锥， 故选：A．
【点评】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．

2．（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）

A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．

【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与自身重合．
3．（3 分）代数式有意义时，x 应满足的条件为（ ）
A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．

【解答】解：代数式 有意义时，x+1＞0， 解得：x＞﹣1．故选：B．

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．

4．（3 分）点（3，﹣5）在正比例函数 y＝kx（k≠0）的图象上，则 k 的值为（ ）
A．﹣15 B．15 C．﹣ D．﹣
【分析】直接把已知点代入，进而求出 k 的值．
【解答】解：∵点（3，﹣5）在正比例函数 y＝kx（k≠0）的图象上，∴﹣5＝3k，解得：k＝﹣ ， 故选：D．
【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，正确得出 k 的值是解题关键．
5．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A． ＝2 B． ﹣ ＝a（a≠0）
C． + ＝ D．a2•a3＝a5
【分析】直接利用立方根的性质以及分式的加减运算法则、二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A． ＝﹣2，故此选项不合题意；B． ﹣ ＝1，故此选项不合题意；C． + ＝2 ，故此选项不合题意；D．a2•a3＝a5，故此选项符合题意； 故选：D．
【点评】此题主要考查了立方根的性质以及分式的加减运算、二次根式的加减运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线 x＝﹣2，下列结论正确的是（ ）

A． a＜0 B．c＞0 C．当 x＜﹣2 时，y 随 x 的增大而减小 D．当 x＞﹣2 时，y 随 x 的增大而减小
【分析】根据图象得出 a，c 的符号即可判断 A、B，利用二次函数的性质即可判断 C、D．

【解答】解：∵图象开口向上，∴a＞0，故 A 不正确；∵图象与 y 轴交于负半轴，∴c＜0，故 B 不正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝﹣2，∴当 x＜﹣2 时，y 随 x 的增大而减小，x＞﹣2 时，y 随 x 的增大而增大， 故 C 正确，D 不正确；故选：C．

【点评】此题主要考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．

7．（3 分）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则（ ）

A． a＝b B．a＞b C．|a|＜|b| D．|a|＞|b|
【分析】根据 a，b 两数的正负以及绝对值大小即可进行判断．

【解答】解：A．∵a＜0，b＞0，∴a≠b，故不符合题意；B．∵a＜0，b＞0，∴a＜b，故不符合题意； C．由数轴可知|a|＜|b|，故符合题意； D．由 C 可知不符合题意．故选：C．
【点评】本题主要考查数轴上点的特征以及有理数的大小比较及运算法则，解题的关键在于正确判断 a， b 的正负，以及绝对值的大小．
8．（3 分）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4 名志愿者中随机抽取 2 名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）

A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有 12 种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有 6 种，再由概率公式求解即可．

【解答】解：画树状图如下：

共有 12 种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有 6 种，∴甲被抽中的概率为 ＝ ， 故选：A．
【点评】本题考查的用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

9．（3 分）如图，正方形 ABCD 的面积为 3，点 E 在边 CD 上，且 CE＝1，∠ABE 的平分线交 AD 于点 F，点 M，N 分别是 BE，BF 的中点，则 MN 的长为（ ）

A． B． C．2﹣ D．

【分析】连接 EF，由正方形 ABCD 的面积为 3，CE＝1，可得 DE＝ ﹣1，tan∠EBC＝ ＝＝ ，即得∠EBC＝30°，又 BF 平分∠ABE，可得∠ABF＝∠ABE＝30°，故 AF＝＝1，DF＝AD﹣AF＝ ﹣1，可知 EF＝DE＝ ×（﹣1）＝ ﹣ ，而 M，N 分别是 BE，BF 的中点，即得 MN＝ EF＝ ．
【解答】解：连接 EF，如图：

∵正方形 ABCD 的面积为 3，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝ ，
∵CE＝1，
∴DE ＝﹣1，tan∠EBC＝ ＝ ＝ ，
∴∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，
∵BF 平分∠ABE，
∴∠ABF＝ ∠ABE＝30°，
在 Rt△ABF 中，AF＝＝1，
∴DF＝AD﹣AF＝ ﹣1，
∴DE＝DF，△DEF 是等腰直角三角形，
∴EF＝ DE＝ ×（ ﹣1）＝ ﹣ ，
∵M，N 分别是 BE，BF 的中点，
∴MN 是△BEF 的中位线，
∴MN＝ EF＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及含 30°角的直角三角形三边关系，等腰直角三角形三边关系， 解题的关键是根据已知求得∠EBC＝30°．
10．（3 分）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第 1 个图形需要 6 根小木棒，拼第 2 个图形需要 14根小木棒，拼第 3 个图形需要 22 根小木棒……若按照这样的方法拼成的第 n 个图形需要 2022 根小木棒，则 n 的值为（ ）

A．252 B．253 C．336 D．337
【分析】根据图形特征，第 1 个图形需要 6 根小木棒，第 2 个图形需要 6×2+2＝14 根小木棒，第 3 个图形需要 6×3+2×2＝22 根小木棒，按此规律，得出第 n 个图形需要的小木棒根数即可．
【解答】解：由题意知，第 1 个图形需要 6 根小木棒，第 2 个图形需要 6×2+2＝14 根小木棒，第 3 个图形需要 6×3+2×2＝22 根小木棒，按此规律，第 n 个图形需要 6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，当 8n﹣2＝2022 时， 解得 n＝253，故选：B．

【点评】本题主要考查了图形的变化规律，解决问题的关键是由特殊找到规律：第 n 个图形需要（8n﹣2）根小木棒是解题的关键．

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）

11．（3 分）在甲、乙两位射击运动员的 10 次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为 S 甲2＝1.45，S 乙 2＝0.85，则考核成绩更为稳定的运动员是 乙 ．（填“甲”、“乙”中的一个）．

【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的即可．

【解答】解：∵两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为 S 甲 2＝1.45，S 乙 2＝0.85，∴S 甲 2＞S 乙 2，∴考核成绩更为稳定的运动员是乙； 故答案为：乙．
【点评】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题的关键．
12．（3 分）分解因式：3a2﹣21ab＝ 3a（a﹣7b） ．
【分析】直接提取公因式 3a，进而分解因式得出答案．

【解答】解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．故答案为：3a（a﹣7b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

13．（3 分）如图，在▱ABCD 中，AD＝10，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC+BD＝22，则△BOC 的周长为 21 ．

【分析】根据平行四边形对角线互相平分，求出 OC+OB 的长，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO＝OC＝ AC，BO＝OD＝ BD，AD＝BC＝10，
∵AC+BD＝22，
∴OC+BO＝11，
∴△BOC 的周长＝OC+OB+BC＝11+10＝21． 故答案为：21．
【点评】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分，属于中考基础题．
14．（3 分）分式方程＝的解是 x＝3 ．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：＝ ，3（x+1）＝4x， 解得：x＝3，检验：当 x＝3 时，2x（x+1）≠0，∴x＝3 是原方程的根， 故答案为：x＝3．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
15．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 O 在边 AC 上，以 O 为圆心，4 为半径的圆恰好过点 C，且与边 AB 相切于点 D，交 BC 于点 E，则劣弧的长是 2π ．（结果保留 π）

【分析】连接 OD，OE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠A＝∠COE，再根据切线的性质和平角的定义可得∠DOE＝90°，然后利用弧长公式进行计算即可解答．
【解答】解：如图，连接 OD，OE，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠OEC，
∴AB∥OE，
∴∠BDO+∠DOE＝180°，
∵AB 是切线，
∴∠BDO＝90°，
∴∠DOE＝180°﹣∠BDO＝90°，
∴劣弧 的长是 ＝2π． 故答案为：2π．
【点评】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
16．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，BC＝2AB，点 P 为边 AD 上的一个动点，线段 BP 绕点 B 顺时针旋转60°得到线段 BP′，连接 PP′，CP′．当点 P′落在边 BC 上时，∠PP′C 的度数为 120° ；当线段 CP′的长度最小时，∠PP′C 的度数为 75° ．

【分析】如图，以 AB 为边向右作等边△ABE，连接 EP′．利用全等三角形的性质证明∠BEP′＝90°，推出点 P′在射线 EP′上运动，如图 1 中，设 EP′交 BC 于点 O，再证明△BEO 是等腰直角三角形，可得结论．
【解答】解：如图，以 AB 为边向右作等边△ABE，连接 EP′．

∵△BPP′是等边三角形，
∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，
∴∠ABP＝∠EBP′，
在△ABP 和△EBP′中，

，

∴△ABP≌△EBP′（SAS），
∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，
∴点 P′在射线 EP′上运动，
如图 1 中，设 EP′交 BC 于点 O，

当点 P′落在 BC 上时，点 P′与 O 重合，此时∠PP′C＝180°﹣60°＝120°， 当 CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°，
∴EO＝ OB，OP′＝ OC，
∴EP′＝EO+OP′＝ OB+ OC＝ BC，
∵BC＝2AB，
∴EP′＝AB＝EB，
∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，
∴∠BP′C＝45°+90°＝135°，
∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣60°＝75°． 故答案为：120°，75°．
【点评】本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4 分）解不等式：3x﹣2＜4．

【分析】移项，合并同类项，系数化为 1 即可求解．
【解答】解：移项得：3x＜4+2，

合并同类项得：3x＜6，系数化为 1 得：x＜2．

【点评】本题考查一元一次不等式的解法，解题关键是熟知不等式的性质以及解一元一次不等式的基本步骤．
18．（4 分）如图，点 D，E 在△ABC 的边 BC 上，∠B＝∠C，BD＝CE，求证：△ABD≌△ACE

【分析】根据等角对等边可得 AB＝AC，然后利用 SAS 证明△ABD≌△ACE，即可解答．
【解答】证明：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
在△ABD 和△ACE 中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（6 分）某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．频数分布表

运动时间 t/min
频数
频率
30≤t＜60
4
0.1
60≤t＜90
7
0.175
90≤t＜120
a
0.35
120≤t＜150
9
0.225
150≤t＜180
6
b
合计
n
1
请根据图表中的信息解答下列问题：

（1）频数分布表中的 a＝ 14 ，b＝ 0.15 ，n＝ 40 ；
（2）请补全频数分布直方图；

（3）若该校九年级共有 480 名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于 120min 的学生人数．

【分析】（1）根据“频率＝频数÷总数”可得 n 的值，进而得出 a、b 的值；

（2） 根据 a 的值即可补全频数分布直方图；
（3） 利用样本估计总体解答即可．

【解答】解：（1）由题意可知，n＝4÷0.1＝40，∴a＝40×0.35＝14，b＝6÷40＝0.15， 故答案为：14；0.15；40；
（2）补全频数分布直方图如下：

（3）480×＝180（名），
答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于 120min 的学生人数为 180 名．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，从统计图表中获取数量和数量关系是正确计算的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
20． （6 分）某燃气公司计划在地下修建一个容积为 V（V 为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积 S（单位：m2）与其深度 d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．

（1） 求储存室的容积 V 的值；

（2） 受地形条件限制，储存室的深度 d 需要满足 16≤d≤25，求储存室的底面积 S 的取值范围．

【分析】（1）设底面积 S 与深度 d 的反比例函数解析式为 S＝，把点（20，500）代入解析式求出 V 的值；

（2）由 d 的范围和图象的性质求出 S 的范围．
【解答】解：（1）设底面积 S 与深度 d 的反比例函数解析式为 S＝，把点（20，500）代入解析式得
500＝，
∴V＝10000．
（2）由（1）得 S＝，
∵S 随 d 的增大而减小，
∴当 16≤d≤25 时，400≤S≤625，
【点评】此题主要考查反比例函数的性质和概念，解答此题的关键是找出变量之间的函数关系，难易程度适中．

21．（8 分）已知 T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．
（1） 化简 T；

（2） 若关于 x 的方程 x2+2ax﹣ab+1＝0 有两个相等的实数根，求 T 的值．
【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式化简 T；

（2）根据根的判别式可求 a2+ab，再代入计算可求 T 的值．
【解答】解：（1）T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2
＝a2+6ab+9b2+4a2﹣9b2+a2
＝6a2+6ab；
（2）∵关于 x 的方程 x2+2ax﹣ab+1＝0 有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2a）2﹣4（﹣ab+1）＝0，
∴a2+ab＝1，
∴T＝6×1＝6．
【点评】本题考查了整式的混合运算，根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与 Δ＝b2﹣ 4ac 有如下关系：
①当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0 时，方程无实数根．
22．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，且 AC＝8，BC＝6．

（1） 尺规作图：过点 O 作 AC 的垂线，交劣弧于点 D，连接 CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）所作的图形中，求点 O 到 AC 的距离及 sin∠ACD 的值．

【分析】（1）利用尺规作图，作线段 AC 的垂直平分线即可；
（2）根据垂径定理、勾股定理可求出直径 AB＝10，AE＝EC＝3，由三角形中位线定理可求出 OE，即点 O 到 AC 的距离，在直角三角形 CDE 中，求出 DE，由勾股定理求出 CD，再根据锐角三角函数的定义可求出答案．
【解答】解：（1）分别以 A、C 为圆心，大于AC 为半径画弧，在 AC 的两侧分别相交于 P、Q 两点，画直线 PQ 交劣弧于点 D，交 AC 于点 E，即作线段 AC 的垂直平分线，由垂径定理可知，直线 PQ一定过点 O；
（2）∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
在 Rt△ABC 中，且 AC＝8，BC＝6．

∴AB＝ ＝10，
∵OD⊥AC，
又∵OA＝OB，
∴OE 是△ABC 的中位线，
∴OE＝ BC＝3，
由于 PQ 过圆心 O，且 PQ⊥AC，
即点 O 到 AC 的距离为 3，
连接 OC，在 Rt△CDE 中，
∵DE＝OD﹣CE＝5﹣3＝2，CE＝4，

∴CD＝ ＝ ＝2
∴sin∠ACD＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查尺规作图，直角三角形的边角关系以及三角形中位线定理，掌握直角三角形的边角关系以及三角形的中位线定理是解决问题的前提．

23．（10 分）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆 AB 的影子为 BC，与此同时在 C 处立一根标杆 CD，标杆 CD 的影子为 CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．
（1） 求 BC 的长；

（2） 从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆 AB 的高度．
条件①：CE＝1.0m；条件②：从 D 处看旗杆顶部 A 的仰角α 为 54.46°． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．

【分析】（1）根据已知 BC＝5CD，进行计算即可解答；

（2）若选择条件①，根据同一时刻的物高与影长是成比例的，进行计算即可解答；
若选择条件②，过点 D 作 DF⊥AB，垂足为 F，根据题意可得 DC＝BF＝1.6m，DF＝BC＝8m，然后在Rt△ADF 中，利用锐角三角函数的定义求出 AF 的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵BC＝5CD，CD＝1.6m，
∴BC＝5×1.6＝8（m），
∴BC 的长为 8m；
（2）若选择条件①： 由题意得：

∴旗杆 AB 的高度为 12.8m；
若选择条件②：

过点 D 作 DF⊥AB，垂足为 F，
则 DC＝BF＝1.6m，DF＝BC＝8m， 在 Rt△ADF 中，∠ADF＝54.46°，
∴AF＝DF•tan54.46°≈8×1.4＝11.2（m），
∴AB＝AF+BF＝11.2+1.6＝12.8（m），
∴旗杆 AB 的高度约为 12.8m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

24．（12 分）已知直线 l：y＝kx+b 经过点（0，7）和点（1，6）．

（1） 求直线 l 的解析式；
（2） 若点 P（m，n）在直线 l 上，以 P 为顶点的抛物线 G 过点（0，﹣3），且开口向下．

①求 m 的取值范围；
②设抛物线 G 与直线 l 的另一个交点为 Q，当点 Q 向左平移 1 个单位长度后得到的点 Q′也在 G 上时，求 G 在≤x≤ +1 的图象的最高点的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；

（2）①设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣m）2+7﹣m，将点（0，﹣3）代入可得 am2+7﹣m＝﹣3，再由 a＝ ＜0，求 m 的取值即可；
②由题意求出 Q 点的横坐标为 m+，联立方程组，整理得 ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，根据根与系数的关系可得 m+m+＝2m﹣ ，可求 a＝﹣2，从而可求 m＝2 或 m＝﹣，确定抛物线的解析式后即可求解．

∴
，
解得
，
【解答】解：（1）将点（0，7）和点（1，6）代入 y＝kx+b，
∴y＝﹣x+7；
（2）①∵点 P（m，n）在直线 l 上，
∴n＝﹣m+7，
设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣m）2+7﹣m，
∵抛物线经过点（0，﹣3），
∴am2+7﹣m＝﹣3，
∴a＝ ，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴a＝ ＜0，
∴m＜10 且 m≠0；
②∵抛物线的对称轴为直线 x＝m，
∴Q 点与 Q'关于 x＝m 对称，
∴Q 点的横坐标为 m+，
联立方程组 ，

整理得 ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，
∵P 点和 Q 点是直线 l 与抛物线 G 的交点，
∴m+m+ ＝2m﹣ ，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣m）2+7﹣m，
∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3，
解得 m＝2 或 m＝﹣，
当 m＝2 时，y＝﹣2（x﹣2）2+5， 此时抛物线的对称轴为直线 x＝2，
图象在≤x≤上的最高点坐标为（2，5）；
当 m＝﹣时，y＝﹣2（x+ ）2+ ， 此时抛物线的对称轴为直线 x＝﹣，
图象在﹣2≤x≤﹣1 上的最高点坐标为（﹣2，9）；
综上所述：G 在 ≤x≤ +1 的图象的最高点的坐标为（﹣2，9）或（2，5）．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式，分类讨论是解题的关键．
25．（12 分）如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接 BD．
（1） 求 BD 的长；
（2） 点 E 为线段 BD 上一动点（不与点 B，D 重合），点 F 在边 AD 上，且 BE＝DF．
①当 CE⊥AB 时，求四边形 ABEF 的面积；
②当四边形 ABEF 的面积取得最小值时，CE+CF 的值是否也最小？如果是，求 CE+CF 的最小值；如果不是，请说明理由．

【分析】（1）过点 D 作 DH⊥AB 交 BA 的延长线于 H，根据菱形 120°内角得邻补角是 60°，利用三角函
数即可解答；

（2）①设 CE⊥AB 交 AB 于 M 点，过点 F 作 FN⊥AB 交 BA 的延长线于 N，因为利用即可求解 S 四边形
ABEF＝S△BEM+S 梯形 EMNF﹣S△AFN，所以先解直角三角形求出上面求各部分面积需要的边长即可解答；
②设 DF＝x，则 BE＝DF＝ x，过点 C 作 CH⊥AB 于点 H，过点 F 作 FG⊥CH 于点 G，过点 E 作EY⊥CH 于点 Y，作 EM⊥AB 于 M 点，过点 F 作 FN⊥AB 交 BA 的延长线于 N，所以四边形 EMHY、FNHG 是矩形，对边相等，方法同①，用含 x 的式子表示计算面积需要的各边长并代入到 S 四边形 ABEF＝S△BEM+S 梯形 EMNF﹣S△AFN 中，根号里面化简、合并、配成二次函数的顶点式即可求出最值，从而解答．在计算 CE+
CF 的最小值时，有两种方法，参照解答过程．
【解答】解：（1）过点 D 作 DH⊥AB 交 BA 的延长线于 H，如图：
∴AD＝AB＝6，
∵∠BAD＝120°，
∴∠DAH＝60°， 在 Rt△ADH 中，
DH＝AD•sin∠DAH＝6× ＝3 ，
AH＝AD•cos∠DAH＝6× ＝3，
∴BD＝ ＝ ＝6 ；
（2）①设 CE⊥AB 交 AB 于 M 点，过点 F 作 FN⊥AB 交 BA 的延长线于 N，如图：

菱形 ABCD 中，
∵AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝120°，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，
在 Rt△BCM 中，BM＝BC•cos∠ABC＝6×＝3，
∵BD 是菱形 ABCD 的对角线，
∴∠DBA＝ABC＝30°， 在 Rt△BEM 中，
ME＝BM•tan∠DBM＝3× ＝ ，
BE＝ ＝ ＝2 ，
∵B