2025年海南省儋州一中高二上数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2025年海南省儋州一中高二上数学期末质量跟踪监视模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知圆柱的表面积为定值，当圆柱的容积最大时，圆柱的高的值为（）
A.1 B.
C. D.2
2．若直线先向右平移一个单位，再向下平移一个单位，然后与圆相切，则c的值为（ ）
A.8或-2 B.6或-4
C.4或-6 D.2或-8
3．已知，，，若，，共面，则λ等于（）
A. B.3
C. D.9
4．数列满足，，，则数列的前10项和为（）
A.60 B.61
C.62 D.63
5．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(　　)
A. B.
C.1 D.2
6．设命题，，则为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
7．设直线，．若，则的值为（）
A.或 B.或
C. D.
8．如图，在三棱锥中，两两垂直，且，点E为中点，若直线与所成的角为，则三棱锥的体积等于（）

A. B.
C.2 D.
9．若方程表示圆，则实数m的取值范围为（）
A B.
C. D.
10．已知等比数列中，，，则该数列的公比为（）
A. B.
C. D.
11．已知两圆相交于两点和，两圆的圆心都在直线上，则的值为
A. B.2
C.3 D.0
12．已知等差数列的公差，是与的等比中项，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．圆心为直线与直线的交点，且过原点的圆的标准方程是________
14．已知椭圆：的左右焦点分别为，为椭圆上的一点，与椭圆交于.若△的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，则椭圆的离心率为_______
15．已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，满足，直线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
16．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）近年来，由于耕地面积的紧张，化肥的施用量呈增加趋势，一方面，化肥的施用对粮食增产增收起到了关键作用，另一方面，也成为环境污染，空气污染，土壤污染的重要来源之一.如何合理地施用化肥，使其最大程度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染成为需要解决的重要问题.研究粮食产量与化肥施用量的关系，成为解决上述问题的前提.某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，化肥施用量为x（单位：公斤），粮食亩产量为y（单位：百公斤）.

参考数据：

650
91.5
52.5
1478.6
30.5
15
15
46.5
表中.
（1）根据散点图判断与，哪一个适宜作为粮食亩产量y关于化肥施用量x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；并预测化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y的值；
（3）经生产技术提高后，该化肥的有效率Z大幅提高，经试验统计得Z大致服从正态分布N），那这种化肥的有效率超过58%的概率约为多少？
附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；②若随机变量，则有，；③取.
18．（12分）圆心为的圆经过点,，且圆心在上，
（1）求圆的标准方程；
（2）过点作直线交圆于且，求直线的方程.
19．（12分）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C相切于点
（1）求椭圆C方程；
（2）已知直线与椭圆C交于不同的两点M，N，与直线交于点Q（P，Q，M，N均不重合），记的斜率分别为，若
①求△面积的范围，
②证明：为定值
20．（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：
使用年限（单位：年）
1
2
3
4
5
6
7
失效费（单位：万元）
2.90
3.30
3.60
4.40
4.80
5.20
5.90
（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）
（2）求出关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用8年的失效费
参考公式：相关系数
线性回归方程中斜率和截距最小二乘估计计算公式：，
参考数据：，，
21．（12分）如图所示，已知定点为曲线上一个动点，求线段中点的轨迹方程.

22．（10分）已知函数.
(I)若曲线在点处的切线方程为,求的值；
(II)若,求的单调区间.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，则可得，则圆柱的体积为，利用导数求出最大值，确定值.
【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱底，圆柱侧，
∴，∴，则圆柱的体积，
∴，由得，由得，
∴当时，取极大值，也是最大值，即
故选：B
【点睛】本题主要考查了圆柱表面积和体积的计算，考查了导数的实际应用，考查了学生的应用意识.
2、A
【解析】求出平移后的直线方程，再利用直线与圆相切并借助点到直线距离公式列式计算作答.
【详解】将直线先向右平移一个单位，再向下平移一个单位所得直线方程为，
因直线与圆相切，从而得，即，解得或，
所以c的值为8或-2.
故选：A
3、C
【解析】由，，共面，设，列方程组能求出λ的值
【详解】∵，，共面，
∴设(实数m、n)，
即，
∴，解得
故选：C
4、B
【解析】讨论奇偶性，应用等差、等比前n项和公式对作分组求和即可.
【详解】当且为奇数时，，则，
当且为偶数时，，则，
∴.
故选：B.
5、D
【解析】由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过A作AA1⊥l于A1，过B作BB1⊥l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1⊥l于M1.则|MM1|＝.|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x轴的距离d≥2.

6、B
【解析】全称命题的否定时特称命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】命题，，则为“，”.
故选：B
7、A
【解析】由两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【详解】因为，则，解得或.
故选：A.
8、D
【解析】由题意可证平面，取BD的中点F，连接EF，则为直线与所成的角，利用余弦定理求出，根据三棱锥体积公式即可求得体积
【详解】如图，

∵，点为的中点，
∴，，
∵，，两两垂直，，
∴平面，取BD的中点F，连接EF，
∴为直线与所成的角，且，
由题意可知，，设，连接AF，
则，
在中，由余弦定理，得，
即，解得，即
∴三棱锥的体积
故选：
9、D
【解析】根据，解不等式即可求解.
【详解】由方程表示圆，
则，
解得.
所以实数m的取值范围为.
故选：D
10、C
【解析】设等比数列的公比为，可得出，即可得解.
【详解】设等比数列的公比为，可得出.
故选：C.
11、C
【解析】根据条件知：两圆的圆心的所在的直线与两圆的交点所在的直线垂直，以及两圆的交点的中点在两圆的圆心的所在的直线上，由此得到方程，得解.
【详解】由已知两圆的交点与两圆的圆心的所在的直线垂直，，所以，
又因为两圆的交点的中点在两圆的圆心所在的直线上，
所以，解得：，
所以，
故选.
【点睛】此题主要考查圆与圆的位置关系，解答此题的关键是需知两圆的圆心所在的直线与两圆的交点所在的直线垂直，并且两圆的交点的中点在两圆的圆心所在的直线上，此题属于基础题.
12、C
【解析】由等比中项的性质及等差数列通项公式可得即可求.
【详解】由，则，可得.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由，求得圆心，再根据圆过原点，求得半径即可.
【详解】由，可得，即圆心为，
又圆过原点，
所以圆的半径，
故圆的标准方程为
故答案为：
【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，属于基础题.
14、
【解析】利用椭圆及三角形内切圆的性质可得、，结合等边三角形的性质得的大小，在△中应用余弦定理得到a、c的齐次式，即可求离心率.
【详解】
由题意知：由内切圆的性质得：,
由椭圆的性质,而,
∴,
∴由内切圆的性质得：
再由椭圆的性质,得：,
由此，△为等边三角形,可得,
在△中，由余弦定理得：，
解得，
则,
故答案为：.
15、
【解析】过点作于，过点作于，利用双曲线的定义以及勾股定理可求得，由已知可得，可得出关于、的齐次不等式，结合可求得的取值范围.
【详解】过点作于，过点作于，

因为，所以，
又因为，所以，故，
又因为，且，所以，
因此，所以，
又因为直线与圆有公共点，所以，故，
即，则，所以，
又因为双曲线的离心率，所以.
故答案为：.
16、（1）（2）详见解析
【解析】（1）分别求得和，从而得到切线方程；
（2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负得到函数的单调区间.
【详解】（1），，，
，又，
在处的切线方程为.
（2），
令，解得：，.
①当时，若和时，；若时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为；
②当时，在上恒成立，
的单调递增区间为，无单调递减区间；
③当时，若和时，；若时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.
【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常考题型.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）；810公斤；
（3）.
【解析】（1）根据散点图的变化趋势，结合给定模型的性质直接判断适合的模型即可.
（2）将（1）中模型取对得，结合题设及表格数据求及参数，进而可得参数c，即可确定回归方程，进而估计时粮食亩产量y的值.
（3）由题设知，结合特殊区间的概率值及正态分布的对称性求即可.
【小问1详解】
根据散点图，呈现非线性的变化趋势，故更适合作为关于的回归方程类型.
【小问2详解】
对两边取对数，得，即，
由表中数据得：，，
，则，
∴关于的回归方程为，
当时，，
∴当化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量约为810公斤.
小问3详解】
依题意，，则有，
∴，则，
∴这种化肥的有效率超过58%的概率约为.
18、（1）；（2）或.
【解析】（1）求出线段的垂直平分线方程，求出此直线与已知直线的交点坐标即为圆心坐标，再求得半径后可得圆的标准方程；
（2）检验直线斜率不存在时是否满足题意，在斜率存在时设方程为,求得圆心到直线的距离，由勾股定理得弦长，由弦长为8得参数，得直线方程
【详解】（1）由已知，中点坐标为，
垂直平分线方程为
则由解得，所以圆心,
因此半径
所以圆的标准方程
（2）由可得圆心到直线的距离
当直线斜率不存在时,其方程为，
当直线斜率存在时,设其方程为,
则，解得，
此时其方程为，
所以直线方程为或.
【点睛】方法点睛：本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长．求弦长方法是几何法：即求出圆心到弦所在直线距离，由勾股定理求得弦长．求直线方程时注意检验直线斜率不存在的情形
19、（1）；
（2）①；②证明见解析.
【解析】（1）根据椭圆离心率和椭圆经过的点建立方程组，求解方程组可得椭圆的方程；
（2）先根据相切求出直线的斜率，结合可得，进而应用弦长公式、点线距离公式及三角形面积公式求△面积的范围，再逐个求解，，然后可证结论.
【小问1详解】
由题意，解得，故椭圆C的方程为.
【小问2详解】
设直线为，联立得：，
因为直线与椭圆C相切，则判别式，即，整理得，
∴，故直线为，又，可得，
设直线为，
联立方程组，解得，故Q为，
联立方程组，化简得
设，由得：，且，
①，到直线的距离为，
∴，令，
∴.
②由上，
故，
于是为定值.
【点睛】直线与椭圆的相切问题一般是联立方程，结合判别式为零求解；定值问题的求解一般结合目标式中的项，逐个求解，代入验证即可.
20、（1）答案见解析；（2）；失效费为6.3万元
【解析】（1）根据相关系数公式计算出相关系数可得结果；
（2）根据公式求出和可得关于的线性回归方程，再代入可求出结果.
【详解】（1）由题意，知，
，

∴结合参考数据知：
因为与的相关系数近似为0.99，所以与的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合与的关系
（2）∵，
∴
∴关于的线性回归方程为，
将代入线性回归方程得万元，
∴估算该种机械设备使用8年的失效费为6.3万元
21、
【解析】设线段的中点的坐标为，点的坐标为，根据中点坐标公式和代入法求得线段中点的轨迹方程.
【详解】解设线段的中点的坐标为，点的坐标为，则

用代入法求得所求方程为.
【点睛】本题考查了中点坐标公式和代入法求动点的轨迹方程，属于容易题.
22、（Ⅰ）
（Ⅱ）在区间上单调递增,在区间上单调递减
【解析】（Ⅰ）求出函数的导函数，根据题意可得得到关于的方程组，解得；
（Ⅱ）求出函数的导函数，解得函数的单调递增区间，解得函数的单调递减区间.
【详解】解：（Ⅰ）

因为函数在点处的切线方程为

解得
（Ⅱ）
令,得或 .
因为,所以时， ；
时，.
故在区间上单调递增,在区间上单调递减
【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于基础题.