2026届河南省郑州市金水区实验中学高二上数学期末综合测试模拟试题含解析.doc

2026届河南省郑州市金水区实验中学高二上数学期末综合测试模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三角形三个顶点为、、，则边上的高所在直线的方程为（）
A. B.
C. D.
2．已知椭圆的两焦点分别为，，P为椭圆上一点，且，则的面积等于（ ）
A.6 B.
C. D.
3．已知等差数列满足，，则（）
A. B.
C. D.
4．若双曲线（，）的焦距为，且渐近线经过点，则此双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5．从编号为1~120的商品中利用系统抽样的方法抽8件进行质检，若所抽样本中含有编号66的商品，则下列编号一定被抽到的是（）
A.111 B.52
C.37 D.8
6．已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（）

A.1 B.2
C.-1 D.-2
7．已知圆：，点是直线：上的动点，过点引圆的两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点（）
A. B.
C. D.
8．数列中，满足，，设，则（）
A. B.
C. D.
9．已知椭圆C：的左右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C与A，B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
10．设，直线与直线平行，则（）
A. B.
C. D.
11．已知角为第二象限角，，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
12．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的最小值为______.
14．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是______
15．已知椭圆方程为，左、右焦点分别为、，P为椭圆上的动点，若的最大值为，则椭圆的离心率为___________.
16．已知等比数列满足，则_________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，，其中.
（1）求的值；
（2）设（其中、为正整数），求的值.
18．（12分）已知函数
（1）若，求曲线在处的切线方程
（2）讨论函数的单调性
19．（12分）已知函数
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）求在上的最大值与最小值
20．（12分）若存在常数，使得对任意，，均有，则称为有界集合，同时称为集合的上界.
（1）设，，试判断A、B是否为有界集合，并说明理由；
（2）已知常数，若函数为有界集合，求集合的上界最小值.
21．（12分）在四棱锥中，底面ABCD是矩形，点E是线段PA的中点.

（1）求证：平面EBD；
（2）若是等边三角形，，平面平面ABCD，求点E到平面PDB的距离.
22．（10分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，且，为的中点

（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】求出直线的斜率，可求得边上的高所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为，
因此，边上的高所在直线的方程为.
故选：A.
2、B
【解析】根据椭圆定义和余弦定理解得，结合三解形面积公式即可求解
【详解】由与是椭圆上一点，∴，
两边平方可得，即，
由于，，∴根据余弦定理可得，
综上可解得，∴的面积等于，
故选：B
3、D
【解析】根据等差数列的通项公式求出公差，再结合即可得的值.
【详解】因为是等差数列，设公差为，所以，即，所以，
所以，
故选：D.
4、B
【解析】根据题意得到，，解得答案.
【详解】双曲线（，）的焦距为，故，.
且渐近线经过点，故，故，双曲线方程为：.
故选：.
【点睛】本题考查了双曲线方程，意在考查学生对于双曲线基本知识的掌握情况.
5、A
【解析】先求出等距抽样的组距，从而得到被抽到的是，从而求出答案.
【详解】120件商品中抽8件，故，因为含有编号66的商品被抽到，故其他能被抽到的是，当时，，其他三个选项均不合要求，
故选：A
6、D
【解析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.
【详解】四面体所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，
则，
因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，
，
所以.
故选：D
7、D
【解析】根据圆的切线性质，结合圆的标准方程、圆与圆的位置关系进行求解即可.
【详解】因为、是圆的两条切线，所以，因此点、在以为直径的圆上，因为点是直线：上的动点，所以设，点，
因此的中点的横坐标为：，纵坐标为：，
，因此以为直径的圆的标准方程为：
，而圆：，
得：，即为直线的方程，
由
，所以直线经过定点，
故选：D
【点睛】关键点睛：由圆的切线性质得到点、在以为直径的圆上，运用圆与圆的位置关系进行求解是解题的关键.
8、C
【解析】由递推公式可归纳得，由此可以求出的值
【详解】因为，，
所以，
，
，

因此
故选C
【点睛】本题主要考查利用数列的递推式求值和归纳推理思想的应用，意在考查学生合情推理的意识和数学建模能力
9、A
【解析】根据椭圆的定义可得△AF1B的周长为4a，由题意求出a，结合离心率计算即可求出c，再求出b即可.
【详解】由椭圆的定义知，△AF1B的周长为，
又△AF1B的周长为4，
则，，
，，
，
所以方程为，
故选：A.
10、C
【解析】根据直线平行求解即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，
即，经检验，满足题意.
故选：C
11、C
【解析】由同角三角函数关系可得，进而直接利用两角和的余弦展开求解即可.
【详解】∵，是第二象限角，
∴，
∴.
故选：C.
12、A
【解析】求出直线斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，
故直线的方程为，即.
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
14、
【解析】由题可得，即求.
【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线，
则，解得.
故答案为：.
15、
【解析】利用椭圆的定义结合余弦定理可求得，再利用公式可求得该椭圆的离心率的值.
【详解】由椭圆的定义可得，
由余弦定理可得
，
因为的最大值为，则，可得，
因此，该椭圆的离心率为.
故答案为：.
16、84
【解析】设公比为q，求出，再由通项公式代入可得结论
【详解】设公比为q，则，解得
所以
故答案为：84

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1），，写出的展开式通项，由可得出关于的方程，解出的值，再利用赋值法可求得所求代数式的值；
（2）写出的展开式，求出、的值，即可求得的值.
【小问1详解】
解：设，，
的展开式通项为，
所以，，即，，解得，
所以，
.
【小问2详解】
解：
，
，，因此，
18、（1）
（2）答案见解析
【解析】（1）根据导数的几何意义可求得切线斜率，结合切点可得切线方程；
（2）求导后，分别在、和的情况下，根据的正负可得的单调性.
【小问1详解】
当时，，，
，又，
在处的切线方程为：，即；
【小问2详解】
，令，解得：，；
当时，，在上单调递增；
当时，若或，则；若，则；
在和上单调递增，在上单调递减；
当时，若或，则；若，则；
在和上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减.
19、（1）；（2）最大值与最小值分别为与
【解析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率即可求出结果；
（2）利用导数研究函数的单调性，进而结合函数的单调性即可求出最值.
【详解】（1）因为，所以
所以
所以的图象在点处的切线方程为，即
（2）由（1）知
令，则；令，则
所以在上单调递减，在上单调递增．所以
又，所以
所以在上的最大值与最小值分别为与
20、（1）A不是有界集合，B是有界集合，理由见解析
（2）
【解析】（1）解不等式求得集合A；由，根据指数函数的性质求得集合B，由此可得结论；
（2）由函数，得出函数单调递减，即有，分和两种情况讨论，求得集合的上界，再由集合的上界函数的单调性可求得集合的上界的最小值.
【小问1详解】
解：由得，即，，
对任意一个，都有一个，故不是有界集合；
，，
，
，是有界集合，上界为1；
【小问2详解】
解：，
因为，所以函数单调递减，，
因为函数为有界集合，所以分两种情况讨论：
当，即时，集合的上界，
当时，不等式为；
当时，不等式为；
当时，不等式为，
即时，集合的上界，
当，即时，集合的上界，
同上解不等式得的解为，即时，集合的上界，
综上得时，集合的上界；时，集合的上界.
时，集合的上界是一个减函数，
所以此时，
时，集合的上界是增函数，
所以，
所以集合的上界最小值为；
21、（1）见解析 （2）
【解析】（1）连接交于点，连接，由中位线定理结合线面平行的判定证明即可；
（2）由得出点到平面的距离，再由是的中点，得出点到平面的距离.
【小问1详解】
连接交于点，连接.
因为分别是的中点，所以.
又平面EBD，平面EBD，所以平面EBD；
【小问2详解】
过点作的垂线，垂足为，连接.
因为平面平面ABCD，平面平面ABCD，所以平面ABCD
，

所以，设点到平面的距离为
因为，所以，
因为点是的中点，所以点到平面的距离为.

22、（1）
（2）存在，点为线段的靠近点的三等分点
【解析】（1）根据题意证得平面，进而证得平面，得到平面，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；
（2）设点，求得平面的法向量为，结合向量的距离公式列出方程，求得的值，即可得到答案.
【小问1详解】
解：因为四边形为正方形，则，，
由，，，所以平面，
因为平面，所以，
又由，，，所以平面，
又因为平面，所以，
因为且平面，所以平面，
由平面，且，不妨以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
易得平面的法向量为，
则，
由平面与平面夹角为锐角，所以平面与平面夹角的余弦值
【小问2详解】
解：设点，可得，，
设平面的法向量为，
则，取，可得，所以，
所以点到平面的距离为，
解得，即或
因为，所以
故当点为线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为.