辽宁省大连市海湾高级中学2025年数学高二上期末教学质量检测试题含解析.doc

辽宁省大连市海湾高级中学2025年数学高二上期末教学质量检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（ ）
A. B.
C. D.
2．若离散型随机变量的所有可能取值为1，2，3，…，n，且取每一个值的概率相同，若，则n的值为（ ）
A.4 B.6
C.9 D.10
3．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，直线PF交x轴于Q点，且，则点P到准线l的距离为（）
A.4 B.5
C.6 D.7
4．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（）
A. B.
C. D.
5．在等比数列中，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
6．已知、是平面直角坐标系上的直线，“与的斜率相等”是“与平行”的（）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件
7．已知函数与，则它们的图象交点个数为（）
A.0 B.1
C.2 D.不确定
8．设，则的一个必要不充分条件为（ ）
A. B.
C. D.
9．等差数列的公差，且，，则的通项公式是（）
A. B.
C. D.
10．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
11．椭圆的长轴长是（ ）
A.3 B.4
C.6 D.8
12．过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（ ）
A B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线与双曲线交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是______
14．经过点作直线，直线与连接两点线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是________
15．某市有30000人参加阶段性学业水平检测，检测结束后的数学成绩X服从正态分布，若，则成绩在140分以上的大约为______人
16．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=(0<<2)，则点G到平面D1EF的距离为____.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的首项，前n项和为，且满足.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前n项和.
18．（12分）已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围
19．（12分）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，且，讨论函数的零点个数.
20．（12分）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，设，，

（1）用，，表示，并求；
（2）求
21．（12分）在直三棱柱中，、、、分别为中点，.

（1）求证：平面
（2）求二面角的余弦值
22．（10分）已知，，函数，直线是函数图象的一条对称轴
（1）求函数的解析式及单调递增区间；
（2）若，，的面积为，求的周长
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.
【详解】空间四点共面，但任意三点不共线，，解得：.
故选：A.
2、D
【解析】根据分布列即可求出
【详解】因为，所以
故选：D
3、C
【解析】根据题干条件得到相似，进而得到，求出点P到准线l的距离.
【详解】由题意得：，准线方程为，因为，所以，故点P到准线l的距离为.
故选：C
4、C
【解析】设出点C坐标，求出的重心并代入欧拉线方程，验证并排除部分选项，余下选项再由外心、垂心验证判断作答.
【详解】设顶点的坐标为，则的重心坐标为，
依题意，，整理得：，
对于A，当时，，不满足题意，排除A；
对于D，当时，，不满足题意，排除D；
对于B，当时，，
对于C，当时，，
直线AB的斜率，线段AB中点，线段AB中垂线方程：，即，
由解得：，于是得的外心，
若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，该点与点M确定直线斜率为，
显然，即点M不在线段BC的中垂线上，不满足题意，排除B；
若点，则直线BC的斜率，线段BC中点，线段BC中垂线方程为：，即，
由解得，即点为的外心，并且在直线上，
边AB上的高所在直线：，即，
边BC上的高所在直线：，即，
由解得：，则的垂心，此时有，
即的垂心在直线上，选项C满足题意.
故选：C
【点睛】结论点睛：的三顶点，则的重心为.
5、C
【解析】根据，然后与，可得，最后简单计算，可得结果.
【详解】在等比数列中，
由
所以，又，
所以
所以
故选：C
【点睛】本题考查等比数列的性质，重在计算，当，在等差数列中有，在等比数列中，灵活应用，属基础题.
6、D
【解析】根据直线平行与直线斜率的关系，即可求解.
【详解】解：与的斜率相等”，“与可能重合，故前者不可以推出后者，
若与平行，与的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，
故前者是后者的既非充分条件也非必要条件，
故选：D.
7、B
【解析】令，判断的单调性并计算的极值，根据极值与0的大小关系判断的零点个数，得出答案.
【详解】令，则，由，得，
∴当时，，当时，.
∴当时，取得最小值，
∴只有一个零点，即与的图象只有1个交点.
故选：B.
8、C
【解析】利用必要条件和充分条件的定义判断.
【详解】A选项：，，，
所以是的充分不必要条件，A错误；
B选项：，，
所以是的非充分非必要条件，B错误；
C选项：，，，
所以是必要不充分条件，C正确；
D选项：，，，
所以是的非充分非必要条件，D错误.
故选：C.
9、C
【解析】由于数列为等差数列，所以，再由可得可以看成一元二次方程的两个根，由可知，所以，从而可求出，可得到通项公式.
【详解】解：因为数列为等差数列，所以，
因为，所以可以看成一元二次方程的两个根，
因为，所以，
所以，解得，
所以
故选：C
【点睛】此题考查的是等差数列的通项公式和性质，属于基础题.
10、B
【解析】由条件可得，即可得到答案.
【详解】方程表示焦点在y轴上的双曲线
所以 ，即
故选：B
11、D
【解析】根据椭圆方程可得到a，从而求得长轴长.
【详解】椭圆方程为，故 ，
所以椭圆长轴长为 ，
故选:D.
12、A
【解析】直线AC、BD与坐标轴重合时求出四边形面积，与坐标轴不重合求出四边形ABCD面积最小值，再比较大小即可作答.
【详解】因四边形ABCD的两条对角线互相垂直，由椭圆性质知，四边形ABCD的四个顶点为椭圆顶点时，而，
四边形ABCD的面积，
当直线AC斜率存在且不0时，设其方程为，由消去y得：，
设，则，
，
直线BD方程为，同理得：，
则有，
当且仅当，即或时取“=”，而，
所以四边形ABCD面积最小值为.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】分析可知，由可求得结果.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
由题意可知，.
故答案为：.
14、
【解析】求出的斜率，结合图形可得结论
【详解】，，而，
因此，
故答案为：

15、150
【解析】根据考试的成绩X服从正态分布．得到考试的成绩X的正太密度曲线关于对称，根据，得到，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数
【详解】由题意，考试的成绩X服从正态分布
考试的成绩X的正太密度曲线关于对称，
，
，
，
该市成绩在140分以上的人数为
故答案为：150
16、
【解析】先证明A1B1∥平面D1EF，进而将问题转化为求点A1到平面D1EF的距离，然后建立空间直角坐标系，通过空间向量的运算求得答案.
【详解】由题意得A1B1∥EF，A1B1⊄平面D1EF，EF⊂平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，则点G到平面D1EF的距离等于点A1到平面D1EF的距离.

以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，A1(2，0，2)，所以，，.
设平面D1EF的法向量为，则，
令x=1，则y=0，z=2，
所以平面D1EF的一个法向量.
点A1到平面D1EF的距离==，即点G到平面D1EF的距离为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）当时，由，得，两式相减化简可得，再对等式两边同时减去1，化简可证得结论，
（2）由（1）得，然后利用分组求和可求出
【小问1详解】
由已知得，.
当时，.
两式相减得，.
于是，即，
又，，，所以满足上式，
所以对都成立，故数列是等比数列.
【小问2详解】
由（1）得，，
.
18、
【解析】由题设A是的真子集，结合已知集合的描述列不等式求a的范围.
【详解】由“”是“”的充分不必要条件，即A是的真子集，
又，，
所以，可得，则实数a的取值范围为
19、（1）.
（2）答案见解析.
【解析】（1）求导函数，求得，，由此可求得曲线在点处的切线方程；
（2）求得导函数，分和讨论，当时，设，求导函数，分析导函数的符号，得出所令函数的单调性，从而得函数的单调性，根据零点存在定理可得答案.
【小问1详解】
解：当时，，所以，
故，，
所以曲线在点处的切线方程为.
【小问2详解】
解：依题意，则，
当时，，所以在上单调递增；
当时，设，
此时，所以在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，且在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，在上单调递减，在上单调递增.
又，所以当，即时，有唯一零点在区间上，当，即时，在上无零点；
故当时，在上有1个零点；
当时，在上无零点.

20、（1），
（2）0
【解析】（1）把，，作为基底，利用空间向量基本定理表示，然后根据已知的数据求，
（2）先把用基底表示，然后化简求解
【小问1详解】
因为，，，,
所以

，
因为底面ABCD是边长为1的正方形，，，
所以

【小问2详解】
因为，底面ABCD是边长为1的正方形，，，
所以

21、（1）见解析；（2）
【解析】（1）取中点，连接，根据直棱柱的特征，易知，再由、分别为的中点，根据中位线定理，可得，得到四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明.
（2）取的中点，连接，以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，则．，再分别求得平面和平面的一个法向量，利用面面角的向量公式
求解.
【详解】（1）证明：如图所示：

取中点，连接，易知，
、分别为的中点，∴，
∴
故四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，
平面
（2）取的中点，连接，以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
如图所示：

则
∴，
设平面的法向量为，
则，
即，取，得，
易知平面的一个法向量为，
∴，
∴二面角的余弦值为
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理和面面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
22、（1），单调递增区间为.
（2）
【解析】（1）先利用向量数量积运算、二倍角公式、辅助角公式求出，再求单增区间；
（2）利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出周长.
小问1详解】
已知，，函数，
所以.
因为直线是函数图象的一条对称轴，所以,
所以，又，所以当k=0时，符合题意，此时
要求的单调递增区间，只需,
解得：，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
由于，所以，所以.
因为，所以.
因为的面积为，所以，即，解得：.
又，由余弦定理可得：，即，所以，所以，
所以的周长.