江西师范大学附中2025-2026学年数学高二第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

江西师范大学附中2025-2026学年数学高二第一学期期末统考模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在四棱锥中，底面为平行四边形，为边的中点，为边上的一列点，连接，交于，且，其中数列的首项，则（）
A. B.为等比数列
C. D.
2．已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
3．函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（ ）
A. B.
C D.
4．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为（）

A. B.
C. D.
5．甲烷是一种有机化合物，分子式为，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离（H-H键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离（C-H键长）均相等，任意两个H-C-H键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为，即，若，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（）

A. B.
C. D.
6．《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问第11日到第20日这10日共织布（ ）
A.30尺 B.40尺
C.6尺 D.60尺
7．已知椭圆的离心率，为椭圆上的一个动点，若定点，则的最大值为
A. B.
C. D.
8．某次射击比赛中,某选手射击一次击中10环的概率是,连续两次均击中10环的概率是,已知某次击中10环,则随后一次击中10环的概率是
A. B.
C. D.
9．某家大型超市近10天的日客流量（单位：千人次）分别为：2.5、2.8、4.4、3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是（ ）
A.散点图 B.条形图
C.茎叶图 D.扇形图
10．如图，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足为右焦点，且，点到右准线的距离为，则椭圆方程为（）

A. B.
C. D.
11．以下说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位
③线性回归方程必过
④设具有相关关系的两个变量的相关系数为，那么越接近于0，之间的线性相关程度越高；
⑤在一个列联表中，由计算得的值，那么的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大。
其中错误的个数是（）
A.0 B.1
C.2 D.3
12．若椭圆的一个焦点为，则的值为（）
A.5 B.3
C.4 D.2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列满足，且．则数列的通项公式为_______
14．已知函数集合，若A中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为______
15．过抛物线的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则_________.
16．设集合，把集合中的元素按从小到大依次排列，构成数列，求数列的前项和___
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直线与直线交于点.
（1）求过点且平行于直线的直线的方程，并求出两平行直线间的距离；
（2）求过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.
18．（12分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需要再收费5元.该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）.

（1）求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；
（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.已知公司前台有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？
（3）小明打算将四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过，求他支付的快递费为45元的概率.
19．（12分）已知椭圆左，右顶点分别是，，且，是椭圆上异于，的不同的两点
（1）若，证明：直线必过坐标原点；
（2）设点是以为直径的圆和以为直径的圆的另一个交点，记线段的中点为，若，求动点的轨迹方程
20．（12分）已知梯形如图甲所示，其中，，，四边形是边长为1正方形，沿将四边形折起，使得平面平面，得到如图乙所示的几何体

（1）求证：平面；
（2）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.
21．（12分）已知椭圆：的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆的下顶点为，如图所示，点为直线上的一个动点，过椭圆的右焦点的直线垂直于，且与交于，两点，与交于点，四边形和的面积分别为，，求的最大值.
22．（10分）球形物体天然萌，某食品厂沿袭老字号传统，独家制造并使用球形玻璃瓶用于售卖酸梅汤，其中瓶子的制造成本c（分）与瓶子的半径r（cm）的平方成正比，且当cm时，制造成本c为3.2π分，已知每出售1mL的酸梅汤，可获得0.2分，且制作的瓶子的最大半径为6cm
（1）写出每瓶酸梅汤的利润y与r的关系式（提示：）；
（2）瓶子半径多大时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大为多少？（结果用含π的式子表示）
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由得，
为边的中点得，设，所以，根据向量相等可判断A选项；由得是公比为的等比数列，可判断B选项；代入可判断C选项；当时可判断D选项.
【详解】
由得，
因为为边的中点，所以，
所以
设，所以，
所以，
当时，A选项正确；
，
由得，是公比为的等比数列，
所以，所以，
所以，不是常数，故B选项错误；
所以，
由得，故C选项错误；
当时，，所以，此时为的中点，
与重合，即，，故D错误.
故选：A.
2、C
【解析】设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，进而得，再结合余弦定理得，进而根据基本不等式求解得.
【详解】解：设，
过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，
则，
因为点为线段中点，
所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为，
因为，
所以在中，由余弦定理得，
所以，
又因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，故.
所以的最大值为.
故选：C
【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设，进而结合抛物线的定于与余弦定理得， ，再求最值.
3、C
【解析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.
【详解】由，解得，也即函数的定义域为，由此排除A,B选项.当时，，由此排除D选项.所以正确的为C选项.
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.
4、C
【解析】连接，已知条件为，，设，由双曲线定义表示出，用已知正切值求出，再由双曲线定义得，这样可由勾股定理求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率
【详解】易知共线，共线，如图，
设，，则，
由得，，
又，
所以，，
所以，
所以，
由得，
因为，故解得，
则，
在中，，即，所以
故选：C

5、A
【解析】利用余弦定理求得，计算出正四面体的高，从而计算出正四面体的体积.
【详解】设，则由余弦定理知：，解得，
故该正四面体的棱长均为
由正弦定理可知：该正四面体底面外接圆的半径，
高
故该正四面体的体积为
故选：A
6、A
【解析】由题意可知，每日的织布数构成等差数列，由等差数列的求和公式得解.
【详解】由题女子织布数成等差数列，设第日织布为，有，所以
，
故选:A.
7、C
【解析】首先求得椭圆方程，然后确定的最大值即可.
【详解】由题意可得：，据此可得：，
椭圆方程为，设椭圆上点的坐标为，则，
故：，
当时，.
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查椭圆方程问题，椭圆中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8、B
【解析】根据条件概率的计算公式,得所求概率为，故选B.
9、A
【解析】根据数据的特征以及各统计图表的特征分析即可；
【详解】解：茎叶图、条形图、扇形图均能将数据描述出来，并且能够体现出数据的变化趋势；散点图表示因变量随自变量而变化的大致趋势，故用来描述该超市近10天的日客流量不是很合适；
故选：A
10、A
【解析】设椭圆方程为，设该椭圆的焦距为，则，求出点的坐标，根据可得出，可得出，，结合已知条件求得的值，可得出、的值，即可得出椭圆的方程.
【详解】设椭圆方程为，设该椭圆的焦距为，则，
由图可知，点第一象限，将代入椭圆方程得，
得，所以，点，
易知点、，，，
因为，则，得，可得，则，
点到右准线的距离为为，则，，
因此，椭圆的方程为.
故选：A.
11、C
【详解】方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，故②不正确；线性回归方程必过样本中心点，故③正确；根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为r，越接近于1，相关程度越大，故④不正确；对于观察值来说，越大，“x与y有关系”的可信程度越大，故⑤正确.
故选：C
【点睛】本题主要考查用样本估计总体、线性回归方程、独立性检验的基本思想.
12、B
【解析】由题意判断椭圆焦点在轴上，则，解方程即可确定的值.
【详解】有题意知：焦点在轴上，则，从而，解得：.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】倒数型求数列通项公式，第一步求倒数，第二步构造数列，求通项.
【详解】因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1 的等差数列，所以
故答案为：.
14、32
【解析】作出的图像，由时，不等式成立，所以，判断出符合条件的非零整数根只有三个，即等价于时，；时，；利用数形结合，进行求解.
【详解】作出的图像如图所示：

因为时，不等式成立，所以，符合条件的非零整数根只有三个.
由可得：
时，；时，；
所以在y轴左侧，的图像都在的下方；在y轴右侧，的图像都在的上方；
而，，，，.
平移直线，由图像可知：
当时，集合A中除了0只含有1，2，3，符合题意，此时整数a可以取：-23，-22，-21……-9.一共15个；
当时，集合A中除了0含有1，-1，-2，符合题意.
当时，集合A中除了0只含有-1，-2，-3，符合题意，此时整数a可以取：5，6，7……20一共16个.
所以整数a的值一共有15+1+16=32（个）.
故答案为：32
【点睛】分离参数法求零点个数的问题是转化为，分别做出和的图像，观察交点的个数即为零点的个数．用数形结合法解决零点问题常有以下几种类型：
(1)零点个数：几个零点；
(2)几个零点的和；
(3)几个零点的积 .
15、2
【解析】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，由可求.
【详解】分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，

设，，则，
∴，∴.
故答案为：2.
16、
【解析】由等差数列和等比数列的通项公式，可得，由不在集合中，在集合中，也在集合中，推得不在数列的前50项内，则数列的前50项中包括的前48项和数列中的3和27，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由题意，集合构成数列是首项为1，公差为4的等差数列，
集合构成数列是首项为1，公比为3的等比数列，
可得，
又由不在集合中，在集合中，也在集合中，
因为，解得，此时，所以不在数列的前50项内，
则数列的前50项的和为
.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；.
（2）或.
【解析】(1)首先求得交点坐标，然后利用待定系数法确定直线方程，再根据两平行直线之间距离公式即可计算距离；
(2)根据截距式方程的求法解答
【小问1详解】
由得
设直线的方程为，代入点坐标得，
∴直线的方程为
∴两平行线间的距离
【小问2详解】
当直线过坐标原点时，直线的方程为，即；
当直线不过坐标原点时，设直线的方程为，代入点坐标得，
∴直线的方程的方程为，即
综上所述，直线的方程为或
18、 (1)公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.(2) 该公司平均每天的利润有1000元．(3).
【解析】（1）对于平均数，运用平均数的公式即可；由于中位数将频率分布直方图分成面积相等的两部分，先确定中位数位于哪一组，然后建立关于中位数的方程即可求出.
（2）利用每天的总收入减去工资的支出，即可得到公司每天的利润.
（3）该为古典概型，根据题意分别确定总的基本事件个数，以及事件“快递费为45元”包括的基本事件个数，即可求出概率.
【详解】（1）每天包裹数量的平均数为
；
或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6，
所以每天包裹数量的平均数为
设中位数为x，易知，则，解得x=260.
所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.
（2）由（1）可知平均每天的揽件数为260，利润为(元)，
所以该公司平均每天的利润有1000元
（3）设四件礼物分为二个包裹E、F，因为礼物A、C、D共重（千克），
礼物B、C、D共重（千克），都超过5千克，
故E和F的重量数分别有，，，，共5种，
对应的快递费分别为45、45、50，45，50（单位：元）
故所求概率为.
【点睛】主要考查了频率分布直方图的平均数，中位数求解，以及古典概型，属于中档题.
19、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）设，首先证明，从而可得到，即得到；进而可得到四边形为平行四边形；再根据为的中点，即可证明直线必过坐标原点
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消元，写韦达；根据条件可求出直线MN过定点，从而可得到过定点，进而可得到点在以为直径的圆上运动，从而可求出动点的轨迹方程
【小问1详解】
设，则，即
因为，，所以
因为，所以，所以.
同理可证.
因为，，所以四边形为平行四边形，
因为为的中点，所以直线必过坐标原点
【小问2详解】
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，
联立，整理得，
则，，.
因为，所以，
因为
，解得或.
当时，直线的方程为过点A，不满足题意，所以舍去；
所以直线的方程为，所以直线过定点.
当直线的斜率不存在时，因为，所以直线的方程为，经验证，符合题意.
故直线过定点.
因为为的中点，为的中点，所以过定点.
因为垂直平分公共弦，所以点在以为直径的圆上运动，
该圆的半径，圆心坐标为，
故动点的轨迹方程为
20、（1）证明过程见解析；
（2）.
【解析】（1）根据面面垂直的性质定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【小问1详解】
∵平面平面，平面
平面平面，，
∴平面；
【小问2详解】
（2）建系如图：

设平面的法向量，，，，
，
，则，
设，，
，
解得或（舍），
，∴.
21、（1）（2）
【解析】（1）因为在椭圆上，所以，
又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，所以，
解得，所以椭圆的方程为
（2） 由（1）可知，设，
则当时，，所以，
直线的方程为，即，
由得，
则，
，
，
又，所以，
由，得，所以，
所以，
当，直线，，，，，
所以当时，.
点睛： 在圆锥曲线中研究最值或范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.
22、（1），
（2）当时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大利润为28.8π
【解析】（1）直接由条件写出关系式即可；
（2）直接求导确定单调性后，求出最大值即可.
【小问1详解】
设瓶子的制造成本c与瓶子的半径r的平方成正比的比例系数等于k，则瓶子的制造成本，由题意，当时，
∴，即瓶子的制造成本
∴每瓶酸梅汤的利润是，
∴每瓶酸梅汤的利润关于r的函数关系式为：，
【小问2详解】
由（1）知，则，
令，则，
当时，；当时，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大利润为28.8π.