江西省南昌市重点初中2026届数学高二上期末监测模拟试题含解析.doc

江西省南昌市重点初中2026届数学高二上期末监测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．日常饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知水净化到纯净度为时所需费用单位：元为那么净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是（）元/t.
A. B.
C. D.
2．圆：与圆：的位置关系是（）
A.内切 B.外切
C.相交 D.相离
3．设正方体的棱长为，则点到平面的距离是（）
A. B.
C. D.
4．记等比数列的前项和为，若，，则（）
A.12 B.18
C.21 D.27
5．人教A版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．斐波那契螺旋线的画法是:以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线在正方形边长为1，1，2，3，5，8的部分，如图建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为（ ）

A. B.
C. D.
6．设点关于坐标原点的对称点是B，则等于（）
A.4 B.
C. D.2
7．方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（）
A. B.
C.或 D.
8．某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：）
A类轮胎：94，96，99，99，105，107
B类轮胎：95，95，98，99，104，109
根据以上数据，下列说法正确的是（　　）
A.A类轮胎行驶的最远里程的众数小于B类轮胎行驶的最远里程的众数
B.A类轮胎行驶的最远里程的极差等于B类轮胎行驶的最远里程的极差
C.A类轮胎行驶的最远里程的平均数大于B类轮胎行驶的最远里程的平均数
D.A类轮胎的性能更加稳定
9．将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，求折痕所在直线是（）
A. B.
C. D.
10．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
11．椭圆的焦点为、，上顶点为，若，则（）
A B.
C. D.
12．已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为，若双曲线上有一点，使，则双曲线的焦点（）
A.在轴上 B.在轴上
C.当时在轴上 D.当时在轴上
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，在正四棱锥中，为棱PB的中点，为棱PD的中点，则棱锥与棱锥的体积之比为______

14．已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于、两点，且，则圆的方程为_________
15．甲、乙两名学生通过某次听力测试的概率分别为和，且是否通过听力测试相互独立，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是__________
16．已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为_____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，.

（1）求与平面所成角的大小；
（2）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值.
18．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，圆：过椭圆的三个顶点，过点的直线（斜率存在且不为0）与椭圆交于两点
（1）求椭圆的标准方程
（2）证明：在轴上存在定点，使得为定值，并求出定点的坐标
19．（12分）已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围
20．（12分）新疆长绒棉品质优良，纤维柔长，被世人誉为“棉中极品”，产于我国新疆的吐鲁番盆地、塔里木盆地的阿克苏、喀什等地.棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标之一，在新疆某地区成熟的长绒棉中随机抽测了一批棉花的纤维长度（单位：mm），将样本数据制成频率分布直方图如下：

（1）求的值；
（2）估计该样本数据的平均数（同一组中的数据用该组数据区间的中点值为代表）；
（3）根据棉花纤维长度将棉花等级划分如下：
纤维长度
小于30mm
大于等于30mm，小于40mm
大于等于40mm
等级
二等品
一等品
特等品
从该地区成熟的棉花中随机抽测两根棉花的纤维长度，用样本的频率估计概率，求至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率.
21．（12分）一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比
（1）分别求2分钟，3分钟后的水温；
（2）记n分钟后的水温为，证明：是等比数列，并求出的通项公式；
（3）当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：）
22．（10分）已知抛物线的焦点为F，以F和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，过的直线交抛物线E于A，B两点
（1）求抛物线E的方程；
（2）是否存在常数，使得，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由；
（3）证明：内切圆的面积小于
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】由题意求出函数的导函数，然后令即可求解
【详解】因为，
所以，
则，
故选：
2、A
【解析】先计算两圆心之间的距离，判断距离和半径和、半径差之间的关系即可.
【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径，两圆心之间的距离，故两圆内切.
故选：A.
3、D
【解析】建立空间直角坐标系，根据空间向量所学点到面的距离公式求解即可.
【详解】建立如下图所示空间直角坐标系，以为坐标原点，
所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴.
因为正方体的边长为4，所以，，，，
，所以，，，
设平面的法向量，所以，，
即，设，所以，，即，
设点到平面的距离为，所以，

故选：D.
4、C
【解析】根据等比数列的性质，可知等比数列的公比,所以成等比数列，根据等比的中项性质即可求出结果.
【详解】因为为等比数列的前项和，且，，易知等比数列的公比,
所以成等比数列
所以，所以，解得.
故选：C
5、C
【解析】由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，由于每一个圆弧为四分之一圆，从而可求出下一段圆弧所以圆的圆心，进而可得其方程
【详解】解：由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，
由题意可知下一段圆弧过点，
因为每一段圆弧的圆心角都为90°，
所以下一段圆弧所在圆的圆心与点的连线平行于轴，
因为下一段圆弧半径为13，
所以所求圆的圆心为，
所以所求圆的方程为，
故选：C
6、A
【解析】求出点关于坐标原点的对称点是B，再利用两点之间的距离即可求得结果.
【详解】点关于坐标原点的对称点是

故选：A
7、D
【解析】根据曲线为焦点在y轴上的椭圆可得出答案.
【详解】因为方程表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，
所以，解得.
故选：D.
8、D
【解析】根据众数、极差、平均数和方差的定义以及计算公式即可求解.
【详解】解：对A：A类轮胎行驶的最远里程的众数为99，B类轮胎行驶的最远里程的众数为95，选项A错误；
对B：A类轮胎行驶的最远里程的极差为13，B类轮胎行驶的最远里程的极差为14，选项B错误
对C：A类轮胎行驶的最远里程的平均数为，B类轮胎行驶的最远里程的平均数为，选项C错误
对D：A类轮胎行驶的最远里程的方差为，B类轮胎行驶的最远里程的方差为，故A类轮胎的性能更加稳定，选项D正确
故选：D.
9、D
【解析】设，，则折痕所在直线是线段AB的垂直平分线，故求出AB中点坐标，折痕与直线AB垂直，进而求出斜率，用点斜式求出折痕所在直线方程.
【详解】，，所以与的中点坐标为，又，所以折痕所在直线的斜率为1，故折痕所在直线是，即.
故选：D
10、B
【解析】由双曲线的渐近线方程以及即可求得离心率.
【详解】由已知条件得，
∴，∴，∴，∴，
故选：.
11、C
【解析】分析出为等边三角形，可得出，进而可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】在椭圆中，，，，
如下图所示：

因为椭圆的上顶点为点，焦点为、，所以，
，为等边三角形，则，即，
因此，.
故选：C.
12、B
【解析】设出双曲线的一般方程，利用题设不等式，令二者平方，整理求得的，进而可判断出焦点的位置
【详解】渐近线方程为，
，平方，
两边除，，
，
双曲线的焦点在轴上.
故选B.
【点睛】本题考查已知双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，考查对双曲线标准方程的理解与运用，求解时要注意焦点落在轴或轴的特点，考查学生分析问题和解决问题的能力

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据图形可求出与棱锥的体积之比，即可求出结果
【详解】如图所示：

棱锥可看成正四棱锥减去四个小棱锥的体积得到，
设正四棱锥的体积为，为PB的中点，为PD的中点，
所以，而，
同理，
故棱锥的体积的为，
即棱锥与棱锥的体积之比为
故答案为：.
14、
【解析】利用对称条件求出圆心C的坐标，借助直线被圆所截弦长求出圆半径即可写出圆的方程.
【详解】设圆的圆心，依题意，，解得，即圆心，
点C到直线的距离，因圆截直线所得弦AB长为6，
于是得圆C的半径
所以圆的方程为：.
故答案为：
15、##0.5
【解析】分两种情况，结合相互独立事件公式即可求解.
【详解】记甲，乙通过听力测试的分别为事件，则可得，两人有且仅有一人通过为事件，故所求事件概率为.
故答案为：
16、##4.5
【解析】设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则，所以，从而有，最后利用均值不等式即可求解.
【详解】解：设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则，
所以，即，
故，当且仅当时取等，
所以，
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）存在，距离为
（3）位置答案见解析，
【解析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，然后由线面角的定义得到PC与平面PAD所成的角为，在中，由边角关系求解即可.
（2）假设BC边上存在一点G满足题设条件，不放设，则，再根据得，进而得答案.
（3）延长CB到C'，使得C'B=CB，连结C'E，过E作于E'，利用三点共线，两线段和最小，得到，过H作于H'，连结HB，在中，求解HB即可.
【小问1详解】
解：因为平面，平面，所以，
又因为底面 是矩形，所以，
又平面，
所以平面，
故与平面所成的角为，
因为，，
所以
故直线PC与平面PAD所成角的大小为；
【小问2详解】
解：假设BC边上存在一点G满足题设条件，
不妨设，则
因为平面，到平面的距离为
所以，即
因为
代入数据解得，即，
故存在点G，当时，使得点D到平面PAG的距离为；
【小问3详解】
解：延长CB到C'，使得C'B=CB，连结C'E，过E作于E'，
则，
当且仅当三点共线时等号成立，
故，
过H作于H'，连结HB，
在中，，，
所以.

18、（1）；（2）见解析，定点
【解析】（1）先判断圆经过椭圆的上、下顶点和右顶点，令圆方程中的，得，即．再由求即可.
（2）设在轴上存在定点，使得为定值，根据题意，设直线的方程为，联立可得，再运算
将韦达定理代入化简有与k无关即可.
【详解】（1）由圆方程中的时，的两根不为相反数，
故可设圆经过椭圆的上、下顶点和右顶点，
令圆方程中的，得，即有
又，解得
∴椭圆的标准方程为
（2）证明：设在轴上存在定点，使得为定值，
由（1）可得，设直线的方程为，
联立可得，
设，则，

，
要使为定值，只需，解得
∴在轴上存在定点，使得为定值，定点的坐标为
【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质和直线与椭圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
19、
【解析】由题设A是的真子集，结合已知集合的描述列不等式求a的范围.
【详解】由“”是“”的充分不必要条件，即A是的真子集，
又，，
所以，可得，则实数a的取值范围为
20、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可求出答案.
（2）根据平均数的公式可得到答案.
（3）先求出一根棉花纤维长度达到特等品的概率，然后分恰好有一根和两根棉花
小问1详解】
由解得
【小问2详解】
该样本数据的平均数为：

【小问3详解】
由题意一根棉花纤维长度达到特等品的概率为：
两根棉花中至少有一根棉花纤维长度达到特等品的概率

21、（1）2分钟的水温为℃，3分钟后的水温℃；
（2）证明见解析，，；
（3）在水烧开后4到7分钟饮用最佳.
【解析】(1)根据给定条件设第n分钟后的水温为，探求出与的关系即可计算作答.
(2)利用(1)的信息，列式变形、推导即可得证，进而求出的通项公式.
(3)由(2)的结论列不等式，借助对数函数的性质求解即得.
【小问1详解】
设第n分钟后的水温为，正比例系数为k，记，
依题意，，当时，，则有，解得，
因此，，即有，，
所以2分钟的水温为℃，3分钟后的水温℃.
小问2详解】
由(1)知，，时，，，则有，即，
而，于是得是以为首项，为公比的等比数列，
则有，即，
所以是等比数列，的通项公式是，.
【小问3详解】
由(2)及已知得：，即，整理得，
两边取常用对数得：，而，
解得，即，
所以在水烧开后4到7分钟饮用最佳.
【点睛】思路点睛：涉及实际意义给出的数列问题，正确理解实际意义，列出关系式，再借助数列思想探求相邻两项间关系即可推理作答.
22、（1）；
（2）存在，1； （3）证明见解析.
【解析】(1)根据几何关系即可求p；
(2)求解为定值1，即可求λ＝1；
(3)先求的面积，再由(为三角周长)可求内切圆半径r.
【小问1详解】
由题意焦点到准线的距离等于该正三角形一条边上的高线，因此，∴抛物线E的方程为
【小问2详解】
设直线的斜率为，直线方程为，记，
，消去，得
由，得且，，，
，
因此，即存在实数满足要求
【小问3详解】
由(2)知，，

点F到直线AB的距离，
∴的面积
记的内切圆半径为r，∵，
∴
∴内切圆的面积小于