2025-2026学年广州市铁一中学、广州大学附属中学、广州外国语学校数学高二第一学期期末经典模拟试题含解析.doc

2025-2026学年广州市铁一中学、广州大学附属中学、广州外国语学校数学高二第一学期期末经典模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（）
A. B.
C. D.
2．已知双曲线的离心率为2，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3．下列关于函数及其图象的说法正确的是（　　）
A.
B.最小正周期为
C.函数图象的对称中心为点
D.函数图象的对称轴方程为
4．在正方体中，分别为的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
5．函数的单调增区间为（）
A. B.
C. D.
6．设函数，若的整数有且仅有两个，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．已知函数，若，则（ ）
A. B.0
C.1 D.2
8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）
A.192 里 B.96 里
C.48 里 D.24 里
9．若，则（）
A.1 B.2
C.4 D.8
10．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A.0.48，0.48 B.0.5，0.5
C.0.48，0.5 D.0.5，0.48
11．校庆当天，学校需要在靠墙的位置用围栏围起一个面积为200平方米的矩形场地.用来展示校友的书画作品.靠墙一侧不需要围栏，则围栏总长最小需要（）米
A.20 B.40
C. D.
12．已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为，则双曲线的离心率为
A.或 B.或
C.或 D.或
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．正方体，点分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________.
14．方程表示双曲线，则实数k的取值范围是___________.
15．已知数列满足，则__________.
16．一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）
（1）求的解析式及单调递减区间；
（2）若函数无零点，求的取值范围
18．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点的纵坐标为4，
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线交抛物线于两点，试问抛物线上是否存在定点使得直线与的斜率互为倒数？若存在求出点的坐标，若不存在说明理由
19．（12分）如图，已知椭圆的焦点是圆与x轴的交点，椭圆C的长半轴长等于圆O的直径

（1）求椭圆C的方程；
（2）F为椭圆C的右焦点，A为椭圆C的右顶点，点B在线段FA上，直线BD，BE与椭圆C的一个交点分别是D，E，直线BD与直线BE的倾斜角互补，直线BD与圆O相切，设直线BD的斜率为．当时，求k
20．（12分）已知函数在与处都取得极值.
（1）求a，b的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数c的取值范围.
21．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值
22．（10分）圆的圆心为，且与直线相切，求：
（1）求圆的方程；
（2）过的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据给定的方程求出离心率，的表达式，再计算判断作答.
【详解】因椭圆的离心率为，则有，
因双曲线的离心率为，则有，所以.
故选：D
2、B
【解析】求出焦点，则可得出，即可求出渐近线方程.
【详解】由椭圆可得焦点为，
则设双曲线方程为，可得，
则离心率，解得，则，
所以渐近线方程为.
故选：B.
3、D
【解析】化简，利用正弦型函数的性质，依次判断，即可
【详解】∵

∴，A选项错误；
的最小正周期为，B选项错误；
令，则，故函数图象的对称中心为点，C选项错误；
令，则，所以函数图象的对称轴方程为，D选项正确
故选：D
4、A
【解析】建立空间直角坐标系，用空间向量求解异面直线夹角的余弦值.
【详解】如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，则，，设异面直线与所成角为（），则.

故选：A
5、D
【解析】先求定义域，再求导数，令解不等式，即可.
【详解】函数的定义域为

令，解得
故选：D
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
6、D
【解析】等价于，令，，利用导数研究函数的单调性，作出的简图，数形结合只需满足即可.
【详解】，即，
又，则.
令，，
，当时，，
时，，时，，
在单调递减，在单调递增，且，且，，作出函数图象如图所示，
若的整数有且仅有两个，即只需满足
，即，解得：
故选：D

7、D
【解析】求出函数的导数，直接代入即可求值.
【详解】因为，所以，
所以，所以.
故选：D.
8、B
【解析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.
【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得，解得，
第此人第二天走里.
故选：B
9、D
【解析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.
【详解】由题意，所以，
所以.
故选：D.
10、C
【解析】频率跟实验次数有关，概率是一种现象的固有属性，与实验次数无关，即可得到答案.
【详解】频率跟实验次数有关，出现正面朝上的频率为实验中出现正面朝上的次数除以总试验次数，故为.
概率是抛硬币试验的固有属性，与实验次数无关，抛硬币正面朝上的概率为.
故选：C
11、B
【解析】在出矩形中，设，得到，结合基本不等式，即可求解
【详解】如图所示，在矩形中，设，则，
根据题意，可得矩形围栏总长为
因为，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
即围栏总长最小需要米.
故选：B.

12、B
【解析】分双曲线的焦点在轴上和在轴上两种情况讨论，求出的值，利用可求得双曲线的离心率的值.
【详解】若焦点在轴上，则有，则双曲线的离心率为；
若焦点在轴上，则有，则，则双曲线的离心率为.
综上所述，双曲线的离心率为或.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，在双曲线的焦点位置不确定的情况下，要对双曲线的焦点位置进行分类讨论，考查计算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果.
【详解】以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，

设正方体棱长为，则，，，，
，，
，
即异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
14、
【解析】由题可得，即求.
【详解】∵方程表示双曲线，
∴，
∴.
故答案为：.
15、
【解析】由题，用累乘法求得通项公式：，则，通过裂项求和即可得出结果.
【详解】由题，所以累乘法求通项公式：
，所以，经验证时，符合.
所以，则.
故答案为：
16、6
【解析】2r=2，r=1，S表=2rh+2r2=4+2=6.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）单调减区间为和；（2）的取值范围为：或
【解析】（1）先求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得，求得的解析式，可得导数，令导数小于0，可得减区间；（2）先求得，要使函数无零点，即要在内无解，亦即要在内无解.构造函数，对其求导，然后对进行分类讨论，运用单调性和函数零点存在性定理，即可得到的取值范围.
【详解】(1) ，
又由题意有：，故.
此时，，由或，所以
函数的单调减区间为和.
(2) ，且定义域为，
要函数无零点，即要在内无解，亦即要在内无解.
构造函数.
①当时，在内恒成立，所以函数在内单调递减，在内也单调递减.又，所以在内无零点，在内也无零点，故满足条件；
②当时，
⑴若，则函数在内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增.又，所以在内无零点；易知，
而，故在内有一个零点，所以不满足条件；
⑵若，则函数在内单调递减，在内单调递增.又，所以时，恒成立，故无零点，满足条件；
⑶若，则函数在内单调递减，在内单调递增，在内也单调递增.又，所以在及内均无零点.
又易知，而，
又易证当时，，所以函数在内有一零点，
故不满足条件.
综上可得：的取值范围为：或.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的零点问题、其中分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等
18、（1）
（2）存在，
【解析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得点的横坐标，进而求得p,可得答案;
（2）根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线与的斜率互为倒数列出等式，化简可得结论.
【小问1详解】
（1）
则，
，，
，
故C的方程为：；
【小问2详解】
假设存在定点，使得直线与的斜率互为倒数，
由题意可知，直线AB的斜率存在，且不为零，
，，
，，所以，
即 或 ，

，
，
则，，
使得直线与的斜率互为倒数.
19、（1）；
（2）-1
【解析】（1）由题设可得，求出参数b，即可写出椭圆C的方程；
（2）延长线段DB交椭圆C于点，根据对称性设B，为，，联立椭圆方程，应用韦达定理并结合已知条件可得，直线与圆相切可得，进而求参数t，即可求直线BD的斜率.
【小问1详解】
因为圆与x轴的交点分别为，，
所以椭圆C的焦点分别为，，
∴，根据条件得，
∴，故椭圆C的方程为
【小问2详解】
延长线段DB交椭圆C于点，

因直线BD与直线BE的倾斜角互补，根据对称性得
由条件可设B的坐标为，
设D，的纵坐标分别为，，直线的方程为，
由于，即，所以
由得：
∴，
∴①，②，
由①得：，代入②得，
∴
∵直线与圆相切，
∴，即
∴，解得，又，
∴，故，即直线BD斜率
【点睛】关键点点睛：将已知线段的长度关系转化为D，的纵坐标的数量关系，设直线的含参方程，联立椭圆方程及其与圆的相切求参数关系，进而求参数即可.
20、（1），；
（2）.
【解析】(1)极值点处导数值为零，据此即可求出a和b；
(2)利用导数求出f(x)在时的最大值即可.
【小问1详解】
由题设，，
又，，
解得，.
【小问2详解】
由（1）得，即，
当时，，随的变化情况如下表：

1

+
0
-
0
+

递增
极大值
递减
极小值
递增
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，为极大值，
又，显然f（-）＜f(2)
所以为在上的最大值.
要使对任意恒成立，则只需，
解得或c>1.
∴实数c的取值范围为.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）利用空间向量求出空间直线的向量积，即可证明两直线垂直.
（2）利用空间向量求直线与平面所成空间角的正弦就是就出平面的法向量与直线的方向向量之间夹角的余弦即可.
【小问1详解】
如图，以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，，
所以，即；
【小问2详解】
设平面的法向量为
因为，
由，得，令，则
所以平面的一个法向量为，又
所以
故直线与平面所成角的正弦值为
22、（1）
（2）或
【解析】由点到直线的距离公式求得圆的半径，则圆的方程可求；
当直线的斜率不存在时，求得弦长为，满足题意；当直线的斜率不存在时，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求，则直线方程可求
【小问1详解】
由题意得：
圆的半径为，
则圆的方程为；
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线方程为，得，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即
圆心到直线的距离，则，
解得
直线的方程为
直线的方程为或