线性代数正交矩阵专业知识讲座.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。,【注】,1标准正交基,不唯一,；,2,特点,:设 是 的一组标准正交基,则,例如,定义1,中的,n,个向量 满足,(1)两两正交,(2)都是单位向量,即,则称,为,的一组,标准正交基,.,设,一、的标准正交基,二、两组标准正交基间的过渡矩阵,设 与 是 的两组标准,正交基,令,由,到,的过渡矩阵为,Q,即,=,Q,则,证明：因为,=,Q,则,T,=,Q,T,T,所以,T,=,Q,T,T,Q,又因为,与,均为标准正交基,所以,T,=,E,T,=,E,故,性质,(1),n,阶矩阵,Q,为正交矩阵,(2),Q,为正交矩阵,则 也是正交矩阵;,(3)若,P,Q,都是,n,阶正交矩阵,则,PQ,也是,n,阶正交矩阵;,定义2,实数域,R,上的,n,阶矩阵,Q,满足,称,Q,为,正交矩阵,.,则,如果 ,则,Q,为正交矩阵.,进而,给出等价定义:,(4),Q,为正交矩阵,则,三、正交矩阵及其性质,1若 和 均是的标准正交基,则过渡矩阵,Q,是正交矩阵.,2若 是标准正交基,Q,是正交矩阵,则 是标准正交基.,3若 是标准正交基,Q,是正交矩阵,则 是标准正交基.,小结：,设,定理,设,则,为正交矩阵,为 的一组标准正交基.,列向量组,为 的一组标准正交基.,行向量组,例1,设 是 的一组标准正交基,证明,是一组标准正交基.,证明：设,则,且,即,Q,为正交矩阵,所以,是一组标准正交基.,例2,设,A,B,为同阶正交矩阵,下面错误的是(),(1),A,1,为正交矩阵；,(2),A,*,为正交矩阵；,(3),AB,为正交矩阵；,(4),A+B,为正交矩阵。,答：(4)不正确。,例3,设,设三维向量,的长度,|,|,8,则,|,P,|,？,【注】,设,为,n,维向量,在,n,阶正交矩阵,A,的作用下,|,A|=|,且,T,=,(,A,),T,(,A,).,向量,在正交矩阵,A,作用下变为,A,称为正交变换.,四、求标准正交基的方法,1施密特正交化方法,设,是,R,n,中一组给定的基,令,即,则 是与 等价且两两正交的向量组.,2在一组基的基础上，求标准正交基的步骤：,1用施密特正交化方法,将其化为正交向量组;,2将正交向量组中每个向量单位化(也称标准化).,例4,已知 是 的一组基，,将其化为标准正交基.,解答见书上187页例4。,例5,设 是 的一组标准正交基，,求 的一组标准正交基.,作业:P162 14,16,17,18(2),1924,25(1),26,27,28,