线性空间和线性变换专业知识讲座.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。,1.1,线性空间(Linear Spaces),一、线性空间的概念,线性空间,=,集合,+,两种运算（所成完美集合）,Example,R,3,=,x=,（,x,1,，,x,2,，,x,3,）,T,：,x,i,R,=,空间中所有向量,定义向量的加法，数与向量的乘积。,运算封闭,八条运算律成立,1.1,线性空间(Linear Spaces),一、线性空间的概念,线性空间,=,集合,+,两种运算（所成完美集合）,Definition:(线性空间或向量空间),要点：,集合,V,与数域,F,向量的加法和数乘向量运算,（,运算之后的结果跑不出去,）,八条运算律,（,能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美,）,常见的线性空间,F,n,=,X=,（,x,1,，,x,2,，,，,x,n,）,T,：,x,F,运算,：向量加法和数乘向量,F,m,n,=A=,a,ij,m,n,：,a,ij,F,；,运算,：矩阵的加法和数乘矩阵,R,m,n,；,C,m,n,。,F,t,n,=,f,(x)=,a,0,+,a,1,x+,a,2,x,2,+.+,a,n-1,x,n,-1,：,a,i,R,运算,：多项式的加法和数乘,C,a,，,b,=f,（,x,）：,f,（,x,）在,a,，,b,上连续,运算,：函数的加法和数乘,Example：,V=R,+,，,F=R,，,a,b,=,ab,，,a=a,F=R,或,C,不是线性空间的集合,V,=,X=,（,x,1,，,x,2,，1）,T,：,x,i,R,运算,：向量加法和数乘向量,要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏洞可以攻击。,线性空间的一般性的观点：,线性空间的简单性质（共性）：,（1）,V,中的零元素是惟一的。,（2）,V,中任何元素的负元素是惟一的。,（3）数零和零元素的性质：,0,=0，,k0=0,，,k,=0 =0,或,k=,0,（,4,）=（,1,）,二、向量组的探讨（,Review),向量的线性相关与线性无关：,向量,可由,1,，,2,，,，,s,线性表示;（其工作可由多人合力完成）,向量组,1,，,2,，,，,s,线性无关,任何一个向量不能由其余向量线性表示,要使,k,1,1,+k,2,2,+,+k,s,s,=0,只有系数都为0,向量组,1,，,2,，,，,s,线性相关,其中一个向量可以由其余向量线性表示,要使,k,1,1,+k,2,2,+,+k,s,s,=0,必须有非零系数,二、向量组的探讨（,Review),向量组的极大线性无关组：,1,，,2,，,，,s,为向量组,A,的一个部分组,（,精英组合,）,满足,向量组,1,，,2,，,，,s,线性无关,（,彼此工作不可替代,）,任意A的向量可以由,1,，,2,，,，,s,线性表示,（,公司的任何人的工作可由精英组合完成,）,向量组的秩(rank)：最大无关组中向量的个数,三、线性空间的基和维数,抽象的线性空间的元素称之为向量(,vector,),所有的线性空间中的向量的线性相关性定义和,R,n,一样：,定义形式和向量空间,R,n,中的定义一样。,有关性质与定理和,R,n,中的结果一样。,因此，要研究线性空间，只需要研究它的最大线性无关组-即为基(,basis,),三、线性空间的基和维数,基(basis)：线性空间的极大无关组；,维数(dimension)：基中向量的个数；,常见线性空间的基与维数：,F,n,，自然基,e,1,，,e,2,，,e,n,，,dim,F,n,=n,R,m,n,，自然基,E,ij,，,dim,R,m,n,=,m,n,。,F,t,3,，,自然基1，t，t,2,，,dim,F,t,3,=,3,Ca,，,b,，1，,x,，,x,2,，,x,3,x,n-1,Ca,b,，,dim,Ca,，,b=,约定：,本书主要研究有限维线性空间。,四、坐标,坐标的来历：,设,1,，,2,，,，,n,是空间V,的一组基，,V,可以由基,1,，,2,，,，,n,唯一线性表示,=,x,1,1,+,x,2,2,+,+,x,n,n,则,x,1,，,x,2,，,，,x,n,是,在基,i,下的坐标。,例1,：,求,R,2,2,中向量 在基,E,ij,下的坐标。,要点：,坐标与基有关,坐标的表达形式,例2,设空间F,x,4,的两组基为：,1，,x,，,x,2,，,x,3,和,1，（,x,-1）,1,，（,x-1,）,2,，（,x-1,）,3,求,f,（,x,）,=2+3x+4x,2,+x,3,在这两组基下的坐标,。,归纳,：,有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和一个实际的 元素对应起来，从而将抽象具体化进行研究。,*例3,设,R,2,2,中向量组,A,i,1,讨论,A,i,的线性相关性,.,2求向量组的秩和极大线性无关组,.,3把其余的向量表示成极大线性无关组的,线性组合,.,五、基变换和坐标变换,讨论：,不同的基之间的关系,同一个向量在不同基下坐标之间的关系,1 基变换公式,设空间中有两组基：,过渡矩阵,C,的性质：,C,为可逆矩阵,C,的第,i,列是,i,在基,i,下的坐标,则,过渡矩阵,2,坐标变换公式,已知,空间中两组基：,满足:,:;,讨论,X,和,Y,的关系,X=CY,例,已知空间,R,中两组基,（,I,）,E,ij,（,II,）；,求从基（,I,）到基（,II,）的过渡矩阵,C,。,求向量 在基（,II,）的坐标,Y,。,1.,2,子空间,概述：,线性空间,V,中，向量集合,V,可以有集合的运算和关系：,W,i,V,，,W,1,W,2,，,W,1,W,2,，,问题：,这些关系或运算的结果是否仍然为线性空间？,1,、子空间的概念,定义：,设非空集合,W,V,，,W,，如果,W,中的元素关于,V,中的线性运算为线性空间，则称,W,是,V,的子空间,。,判别方法：,Important Theorem,W,是子空间,W,对,V,的线性运算封闭,。,子空间本身就是线性空间。,子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方法,子空间和非子空间的例子：,V,=x=(,x,1,，,x,2,，,0,R,3,，是子空间,V=x=(,x,1,，,x,2,，,1,R,3,，不是子空间,矩阵,A,R,mn,，,齐次线性方程组,AX=0,的解集：是子空间,S,=,X,：,AX=0,R,n,，,非齐次线性方程的解集：不是子空间,M,=,X,：,AX=,b,重要的子空间：,生成子空间,设向量组,1,，,2,，,m,V,，由它们的一切线性组合生成的子空间：,Span,1,，,2,，,，,m,=L(,1,，,2,，,，,m,),=,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,m,m,|,k,i,生成子空间的重要的性质：,1）如果,1,，,2,，,，,m,线性无关，则其为生成子空间Span,1,，,2,，,，,m,的一组基；,2）如果,1,，,2,，,，,r,是向量组,1,，,2,，,，,m,的最大线性无关组，则,Span,1,，,2,，,，,m,=,Span,1,，,2,，,，,r,1,，,2,，,，,r,是Span,1,，,2,，,，,m,的一组基,题型举例,2,、,子空间的“交空间”与“和空间”,讨论：,设,W,1,V,，,W,2,V,，且都是子空间，则,W,1,W,2,和,W,1,W,2,是否仍然是子空间？,（1）,交空间,交集：,W,1,W,2,=,W,1,而且,W,2,V,n,（,F,）,W,1,W,2,是子空间，被称为“交空间”,（2）和空间,和的集合：,W,1,W,2,=,=X,1,X,2,X,1,W,1,，,X,2,W,2,，,W,1,W,2,是子空间，被称为“和空间”，,例,设,R,3,中的子空间,W,1,=Le,1,，,W,2,=Le,2,求和空间,W,1,W,2,。,比较：集合,W,1,W,2,和集合,W,1,W,2,。,如果,W,1,=,Span,1,，,2,，,，,m,，,W,2,=,Span,1,，,2,，,，,k,，,则,W,1,W,2,=,Span,1,，,2,，,，,m,，,1,，,2,，,，,k,3,、维数公式,子空间的包含关系,：,dim,W,1,W,2,dim,W,i,dim,（,W,1,W,2,）,dim,V,。,维数定理,：,dim,W,1,dim,W,2,=,dim,（,W,1,W,2,）,dim,（,W,1,W,2,）,证明：,4,、子空间的直和,分析,：,如果,dim,（,W,1,W,2,）,0,，则,dim,（,W,1,W,2,）,dim,W,1,dim,W,2,所以：,dim,（,W,1,W,2,）,=,dim,W,1,dim,W,2,dim,（,W,1,W,2,）,=0,W,1,W,2,=0,直和的定义,：,若,dim,（,W,1,W,2,）,=0,，则和为直和,W=W,1,W,2,=W,1,W,2,，,子空间的“和”为“直和”的充要,条件,：,Theorem,设,W=W,1,W,2,，则下列各条等价：,(1),W=W,1,W,2,；,(2),X,W,，,X=X,1,X,2,的表,是惟一的；,(3)0,的分解是唯一的；,(4),dim,W,=,dim,W,1,dim,W,2,例,设在,R,nn,中，子空间,W,1,=A,A,T,=A,，,W,2,=B,B,T,=,B,，,证明,R,nn,=W,1,W,2,。,例,1.3,线性空间,V,与,F,n,的同构,坐标关系,V,F,n,V的,基,1,，,2,，。,n,由此建立一个一一对应关系,V,，,X,F,n,，（）,=X,（,1,+,2,）,=,（,1,）,+,（,2,）,（,k,）,=k,（）,在关系下，线性空间,V,和,F,n,同构。,同构的性质,定理1.3,.1,:,数域,F,上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们的维数相同。,同构保持线性关系不变。,应用,：,借助于空间,F,n,中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系。,14,线性变换,(Linear Transformations),一、,线性变换的概念,1.线性变换的来历；,Definition,：,（,i,）,T,是V上的映射：,T,：,V,V,。,(ii)T,具有线性性：,T,（,）,=T,（,）,T,（,）,(,保持加法的三角形法则,),T,（,k,）,=kT,（,）,(,保持比例关系,),2 线性变换的性质：,（,i,）,T,(,0,),=0,（,ii,）,T,(,),=,T,(,),（,iii,）T(,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,m,m,)=,k,1,T(,1,)+,k,2,T(,2,)+.+,k,m,T(,m,),3 线性变换的象空间和零空间,设线性变换,T,：,V,V,，,象空间 Im,(,T,),=,：,V,，,=T,(,),零空间 Ker(,T,),=,：,V,，,T,(,),=0,定义：,T,的秩=,dim,R,（,T,）；,T,的零度=,dim,N,（,T,）,线性变换保持线性相关性不变！,例,(P018),R,n,中的变换,T,：设,A,R,nn,是一个给定的 矩阵，,X,R,n,，,T,(,X,),=AX,。,(1)T是线性变换；,(2)Ker(T)是AX=0的解空间；,(3)Im(T)=Span,a,1,，,a,2,，,，,a,n,其中,a,i,是矩阵A的列向量；,(4)dimKer(T)+dimIm(T)=n,4,线性变换的运算,设,T,1,，,T,2,都是空间,V,中的线性变换，常见的用它们构成的新的变换：,（,i,）,T,1,T,2,V,，,（,T,1,T,2,）（,）,=T,1,（,）,T,2,（,）,（,ii,）,T,1,T,2,V,，,(,T,1,T,2,),（,）,=T,1,（,T,2,（,）,（,iii,）,k,T,V,，,（,k,T,）（,）,=,k,（,T,（,）,（,iv,）,若,T,1,是可逆变换，,T,1,T,1,(,),=,当且仅当,T,(,),=,。,二、线性变换的矩阵,1 线性变换的矩阵与变换的坐标式,Purpose:将抽象的线性变换与矩阵对应起来,T的矩阵,二、线性变换的矩阵,总结：,V,上线性变换的特点分析：,定义变换,T,确定基中向量的象,T,（,i,）。,定义,T,（,i,）,确定它在基下,i,的坐标,A,i,。,定义变换,T,确定矩阵,A=A,1,，,A,2,，,，,A,n,2 线性变换运算的矩阵对应：,设,V,上的线性变换,T,1,，,T,2,，它们在同一组基下的矩阵：,T,1,A,1,；,T,2,A,2,（,i,）（,T,1,T,2,）,（,A,1,A,2,）,（,ii,）（,T,1,T,2,）,A,1,A,2,（,iii,）（,kT,）,kA,（,iv,）,T,1,A,1,3 不同基下的变换矩阵,两组基,1,，,2,，,n,，,1,，,2,，,n,，,（,1,2,n,）,=,（,1,2,n,）,C,T,（,1,2,n,）,=,（,1,2,n,）,A,T,（,1,2,n,）,=,（,1,2,n,）,B,同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的,B=C,1,AC,1,2,3,例,已知,定义映射,T,：,(1)证明T是V上的线性变换；,(2)求V的一组基，使得,T,在这组基下的矩阵为对角阵。,Step1.确定基中向量的象,T,（,i,）；,Step2.,确定它在基下,i,的坐标,a,i,；,Step3.,确定矩阵,A=,a,1,，a,2,，,，a,n,；,Step4.,将,A,对角化并计算所求的矩阵。,