Wilcoxon符号秩检验.ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,*,Wilcoxon符号秩检验,例 2.4 下面是10个欧洲城镇每人每年平均消费的酒量（相当于纯酒精数）（单位：升）。数据已经按升幂排列。,4.12 5.18 7.63 9.74 10.39,11.92 12.32 12.89 13.54 14.45,人们普遍认为欧洲各国人均年消费酒量的中,位数相当于纯酒精8升，也就是me,0,=8。由数据,算得的中位数为11.16。因此，我们的检验设为：,H,0,：me8 ，H,1,：me 8,先计算每个样本值和原假设中me,0,的值之差，即X,i,8。,考虑这些差的绝对值并将绝对值从小到大排序，从而求出这些绝对值的秩。,再计算比8大的样本对应的绝对值的秩之和，如果这个和比较大，我们就拒绝原假设，接受备择假设。,问题一般提法：,假定样本X,1,X,n,来自分布,连续对称的,总体X，在此假定下总体X的中位数等于均值。,问题主要是检验中位数，即原检验为H,0,：me=me,0,，相对于各种单双边的备择假设。,注,：,（1）与符号检验不同：,Wilcoxon符号秩检验假设总体分布是对称的。,（2）在总体分布对称的假设下，即设总体X的分布关于点,对称，则X的均值和中位数相同，且均为,。所以,检验总体中位数可等价于检验总体对称中心。,即,检验的,原假设 H,0,：M=M,0,等价于 H,0,：,=,0,（相对于各种单双边的备择假设）。,检验步骤：,H,0,：,0,（对应于各单双边备择假设）,Step 1.,计算 i=1,2,n。记差为z,i.,Step 2.,将差z,i.,的绝对值，即 ,按从小到大的顺序排列。由于总体服从连续型分布，不妨假定样本互不相等，都不等于0，且样本差的绝对值也互不相等。所以可得到样本z,i.,的绝对值的秩，不妨记 的秩为R,i,。,S,tep 3.,符号秩和检验统计量为,其中,或者取检验统计量为,其中,主要取W,为检验统计量。,Step 4,设w,表示由样本算出的W,的值。,（1）H,0,：,0,H,1,：,0,p值P(W,w,)；,（2）H,0,：,0,H,1,：,0。,若H,1,成立，则总体X的分布关于点对称。,从而有，P(X0)P(Xa)P(X 8,下面来用Wilcoxon符号秩检验，等价于检验,H,0,：,8 ，H,1,：,8,检验步骤,Step 1.,对于 i=1,2,n，计算得到新的样本z,i,和它们对应的秩如下：,Step 2.,计算W,。,W,+,=2+4+6+7+8+91046,利用W,的分布，辅以统计软件，可计算出,p值 0.032。,Step 3.,所以给定0.05时，此时可拒绝原假设，认为欧洲人均酒精年消费多于8升。,W,的分布性质,设独立同分布样本x,1,x,n,来自连续对称总体,X,X分布的对称中心为,。为方便讨论，不妨设原假设为,H,0,：,0，,即总体分布关于原点0对称的条件下，讨论W,的性质。,注：W,与W,有下列关系：,W,+,+W,-,=n(n1)/2,（,关键）性质 2.1,令 则在总体的分,布关于原点0对称时，W,与S同分布。,注：S是W,当R,i,i时的特殊情况。研究W,的分布可转为研究S的分布。,概率分布,性质 2.2,在总体的分布关于原点0对称时，W,的概率分布为,P(W,+,=d)=P(Sd)=t,n,(d)/2,n,其中，d0,1,2,n(n+1)/2，t,n,(d)表示从1,2,n这n个数中任取若干个数（包括一个都不取），其和恰为d，共有多少种取法。,对称性,性质 2.3,在总体的分布关于原点0对称时，W,服从对称分布，对称中心为n(n+1)/4，即：对所有的d=0,1,2,n(n+1)/4，有,P(W,+,=n(n+1)/4 d ),P(W,+,=n(n+1)/4+d ),P(W,+,n(n+1)/4 d ),P(W,+,n(n+1)/4+d )。,期望方差及渐近正态性,性质 2.4,在总体分布关于原点0对称时，,E(W,+,)=n(n+1)/4，,D（W,+,）=n(n+1)(2n+1)/24。,性质 2.5,若总体分布关于原点0对称，则在样本容量n趋于无穷大时，W,+,有渐近正态性：,W,N（n(n+1)/,4,n(n+1)(2n+1)/24）,有结的情况下，用平均秩法。,性质2.6 在总体的分布关于原点0对称，有结秩取平均时，,E(W,+,)=n(n+1)/4，,D（W,+,）=n(n+1)(2n+1)/24,其中g表示结的个数，表示第i个结的长度。,有结时，W,的期望和方差实际上是条件期望和,方差，它们是在样本数据中给定有g个结，且结的长,度分别给定为 时的条件期望和条件方差。,与符号检验的比较。,续例 2.2 两个不同方向的假设检验。,考虑下面的假设检验：,H,0,：M=12.5,H,1,：M8 （H1）,对这两个问题分别用Wilcoxon符号秩检验和符,号检验方法。,符号检验结果,对于检验（H1）：,S,=3,S,+,=7,检验统计量KS,3，,p值0.171875，对0.05，不能拒绝H,0,。,对于检验（H2）：,S,=7,S,+,=3,检验统计量KS,3，,p值0.171875，对0.05，不能拒绝H,0,。,结果完全对称！说明符号检验只与符号有关！,Wilcoxon符号秩检验结果,对于检验（H1）：,检验统计量W,+,=46，p值0.03223，对0.05，拒绝H,0,。,对于检验（H2）：,检验统计量W,11，p值0.05273，对0.05，不能拒绝H,0,。,结果不对称！说明Wilcoxon符号秩检验不仅与符号有关，还和数值大小有关！,Wilcoxon,符号秩检验置信区间,Walsh平均,为利用更多的信息，可求每两个数的平均,(X,i,X,j,)/2,i j，（一共有 n(n+1)/2 个）来扩,大样本数目。这样的平均称为,Walsh平均,。,Walsh平均和W,+,的关系。,在原假设成立的条件下，即 H,0,：,0,成立，有,特别当原假设为H,0,：,0成立，有,HodgeLehmann估计量,利用Walsh平均可以得到对称中心,的点估计，即可由Walsh平均的中位数来估计对称中心，称之为HodgeLehmann估计量。,0,的置信区间。,可利用Walsh平均得到,0,的100(1-)%置信,区间。具体步骤：,(1)先求出满足下面两式的整数k，即k使得,P(W,+,k)/2，P(W,+,nk)/2，,(2)将求出的Walsh平均数，按升幂排列，记为W,(1),W,(N),，N=n(n+1)/2，则,0,的100(1-)%置信区间为 W,(k1),W,(Nk),。,再看看例2.2的置信区间。,求出其Walsh平均，共55个值。取=0.05，则求得k=9时，有,P(W,+,9)0.025，P(W,+,559)0.025，,所以,的95的置信区间为,W,(10),W,(46),8.02,12.73。,两配对数据比较问题,两成对数据的比较问题可以转化成单样本问题，用符号检验或Wilcoxon符号秩检验做统计分析。方法是将两成对样本作差，观察它们的差值，将其视为新的样本，所以两配对样本实际上就是单一样本。,例 2.3 给12组双胞胎做心理检验，以测量每个人的进取心。我们感兴趣的是对双胞胎进行比较，看第一个出生的是否倾向于比另外一个更有进取心。结果如下，高分显示更多的进取心。表中，X,i,表示第一个出生的得分，Y,i,表示第二个出生的得分。D,i,表示两者差，即,D,i,Y,i,X,i,i=1,2,12。R,i,表示D,i,绝对值的秩。则D,1,，D,12,是独立同分布的，且设总体为D。,问题是求D的中位数M,D,的95置信区间。,D,i,的12个值按顺序排列为：,-15,-12,-10,-8,-7,-4,-3,-1,2,5,6,9,间为 W,(15),W,(64),。,这15个最小的平均，由(-15-15)/2开始，是,-15,-13.5,-12.5,-12,-11.5,-11,-11,-10,-10,-9.5,-9.5,-9,-9,-8.5,-8,所以，W,(15),8，即置信区间下界是8。,15个最大的平均，从(9+9)/2开始，是,9,7.5,7,6,5.5,5.5,5,4,4,3.5,2.5,2,2,1.5,1,所以，W,(64),1,置信区间的上界是1。,所以中位数95的置信区间是 8,1。,