中学生标准学术能力诊断2026届数学高二第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

中学生标准学术能力诊断2026届数学高二第一学期期末教学质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列的通项公式为，则“”是“数列为单调递增数列”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2．已知双曲线的焦点在y轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，则双曲线的标准方程为（ ）
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
3．矿山爆破时，在爆破点处炸开的矿石的运动轨迹可看作是不同的抛物线，根据地质、炸药等因素可以算出这些抛物线的范围，这个范围的边界可以看作一条抛物线，叫“安全抛物线”，如图所示．已知某次矿山爆破时的安全抛物线的焦点为，则这次爆破时，矿石落点的最远处到点的距离为（ ）

A. B.2
C. D.
4．已知圆，过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，若O为坐标原点，则最大值为（）
A.3 B.4
C.5 D.6
5． “且”是“”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C 充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为（）
A. B.
C. D.
7．高中生在假期参加志愿者活动，既能服务社会又能锻炼能力．某同学计划在福利院、社区、图书馆和医院中任选两个单位参加志愿者活动，则参加图书馆活动的概率为（ ）
A. B.
C. D.
8．设双曲线的实轴长与焦距分别为2,4，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，则椭圆的方程为
A B.
C. D.
10．已知圆的方程为，直线：恒过定点，若一条光线从点射出，经直线上一点反射后到达圆上的一点，则的最小值是（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
11．设实数x，y满足约束条件则的最小值（ ）
A.5 B.
C. D.8
12．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是
A.若α≠，则tanα≠1 B.若α=，则tanα≠1
C.若tanα≠1，则α≠ D.若tanα≠1，则α=
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．椭圆的两焦点为，，P为C上的一点（P与，不共线），则的周长为______.
14．已知抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，且该抛物线的准线与双曲线：的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为__________.
15．如图所示，奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结.若从该奥林匹克标志的五个环圈中任取2个，则这2个环圈恰好相交的概率为___________.

16．设有下列命题：
①当，时，不等式恒成立；
②函数在上的最小值为2；
③函数在上的最大值为；
④若，，且，则的最小值为
其中真命题为________________．（填写所有真命题的序号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，点关于坐标原点对称，过点作轴的垂线，为垂足，直线与抛物线交于两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与轴交点分别为，求的值；
（3）若，求.
18．（12分）已知三个条件①圆心在直线上；②圆的半径为2；③圆过点在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（1）已知圆过点且圆心在轴上，且满足条件________，求圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线与圆交于、两点，求弦长的最小值及相应的值
19．（12分）已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.
(1)求{an}的通项an；
(2)求{an}前n项和Sn的最大值
20．（12分）已知正三棱柱底面边长为，是上一点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，

（1）证明：是的中点；
（2）求二面角的大小
21．（12分）已知直线经过椭圆的右焦点，且椭圆C的离心率为

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）以椭圆的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为，试判断的周长是否为定值．若是，求出该定值
22．（10分）已知椭圆E：的离心率，且右焦点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形的顶点在椭圆上，且对角线，过原点，若，证明：四边形的面积为定值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断
【详解】根据题意，已知数列的通项公式为，
若数列为单调递增数列，则有
（），
所以，
因为，所以，
所以当时，数列为单调递增数列，
而当数列为单调递增数列时，不一定成立，
所以“”是“数列为单调递增数列”的充分而不必要条件，
故选：A
2、D
【解析】根据双曲线的性质求解即可.
【详解】双曲线的焦点在y轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，
可得a＝4，b＝5，所以双曲线方程为：＝1.
故选：D.
3、D
【解析】根据给定条件求出抛物线的顶点，结合抛物线的性质求出p值即可计算作答.
【详解】依题意，抛物线的顶点坐标为，则抛物线的顶点到焦点的距离为，p>0，解得，
于是得抛物线的方程为，由得，，即抛物线与轴的交点坐标为，
因此，，
所以矿石落点的最远处到点的距离为.
故选：D
4、C
【解析】由题意，点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
进而可得，所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，从而即可求解.
【详解】解：由题意，圆，所以圆C是以为圆心，半径为5的圆，
因为过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，
所以点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
所以由弦长公式有，
所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，
所以，
故选：C.
5、A
【解析】按照充分必要条件的判断方法判断，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判断得到正确答案，
【详解】当且时，成立，
反过来，当时，例：，不能推出且.
所以“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，重点考查基本判断方法，属于基础题型.
6、A
【解析】将已知条件转化为时恒成立，利用参数分离的方法求出a的取值范围
【详解】对任意都有恒成立，
则时，
，当时恒成立，
 ，当时恒成立，
，
故选：A
7、D
【解析】对4个单位分别编号，利用列举法求出概率作答.
【详解】记福利院、社区、图书馆和医院分别为A，B，C，D，
从4个单位中任选两个的试验有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6个基本事件，它们等可能，
其中有参加图书馆活动的事件有AC，BC，CD，共3个基本事件，
所以参加图书馆活动的概率.
故选：D
8、C
【解析】由已知可求出，即可得出渐近线方程.
【详解】因为，所以，所以的渐近线方程为.
故选：C.
9、D
【解析】根据等腰直角三角形的性质可得，将代入椭圆方程，结合离心率为以及性质列方程组求得与的值，从而可得结果.
【详解】设直线与椭圆在第一象限的交点为，
因为，所以，
即，由
可得，，
故所求椭圆的方程为.故选D.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与性质，以及椭圆离心率的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.
10、B
【解析】求得定点，然后得到关于直线对称点为，然后可得，计算即可.
【详解】直线可化为，令
解得所以点的坐标为.
设点关于直线的对称点为，
则由,解得,所以点坐标为.
由线段垂直平分线的性质可知，，
所以
（当且仅当，，，四点共线时等号成立），
所以的最小值为4.
故选:B.
11、B
【解析】做出，满足约束条件的可行域，结合图形可得答案.
【详解】做出，满足约束条件可行域如图，
化为，平移直线，
当直线经过点时有最小值，
由得，所以的最小值为.
故选：B.

12、C
【解析】因为“若，则 ”的逆否命题为“若，则”，所以 “若α=，则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠”.
【点评】本题考查了“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】结合椭圆的定义求得正确答案.
【详解】椭圆方程为，所以，
所以三角形的周长为.
故答案为：
14、3
【解析】由题意求得抛物线的准线方程为，进而得到准线与双曲线C的渐近线围成的三角形面积，求得，再结合和离心率的定义，即可求解.
【详解】由题意，抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6，
根据抛物线定义，可得，即，
所以抛物线的准线方程为，
又由双曲线C的两条渐近线方程为，
则抛物线的准线与双曲线C的两条渐近线围成的三角形面积为，
解得，
又由，可得，
所以双曲线C离心率.
故答案为：3.
15、
【解析】利用古典概型求概率.
【详解】从该奥林匹克标志的五个环圈中任取2个，共有10种情况，其中这2个环圈恰好相交的情况有4种，则所求的概率.
故答案为：.
16、①③④
【解析】①直接利用基本不等式判断即可；②直接利用基本不等式以及等号成立的条件判断即可；③分子、分母同除，利用基本不等式即可判断；④设，，利用指、对互化以及基本不等式即可判断.
【详解】由于，，
故恒成立，当且仅当时取等号，所以①正确；
，当且仅当，
即时取等号，由于，所以②不正确；
因为，所以，当且仅当时取等号，
而，
即函数的最大值为，所以③正确；
设，，
则，，，，，
所以

，
当且仅当，时取等号，
故的最小值为，所以④正确.
故答案为：①③④
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）；
（3）.
【解析】（1）运用抛物线的定义进行求解即可；
（2）设出直线的方程，与抛物线的方程联立，可求得点和的纵坐标，结合直线点斜式方程、两点间距离公式进行求解即可；
（3）利用弦长公式求得，由两点间距离公式求得和，再解方程即可.
【小问1详解】
抛物线的准线方程为：，
因为点到抛物线焦点的距离为，
所以有；
小问2详解】
由题意知，，，设，则，，，，
所以直线的方程为，
联立，消去得，，解得，
设，，，，
不妨取，，
直线的斜率为，其方程为，
令，则，
同理可得，
所以，
而，
所以；
【小问3详解】
，其中，
，
，
因为，
所以，
化简得，
解得（舍负），即，
所以
【点睛】关键点睛：运用抛物线的定义、弦长公式进行求解是解题的关键.
18、（1）条件选择见解析，圆的方程为
（2）的最小值为，相应
【解析】（1）选择条件①或②或③，求得圆心和半径，由此求得圆的方程.
（2）首先求得直线过定点，根据求得最短弦长以及此时的值.
【小问1详解】
若选条件①，由题意知，圆心是方程的解，解得，所以，
设半径为，则．则圆的方程为：
若选条件②，设圆心，由题意知，所以
圆心，半径为，所以圆的方程为：
若选条件③，设圆心，由题意知，
即有，解得，
圆心为，且半径为，
所以圆的方程为：
【小问2详解】
由（1）圆的方程为：，圆心为，半径.
直线过定点，要使弦长最短，，
，，，
直线的斜率，也即直线的斜率为，所以.
，，所以弦长最小值为
19、（1）an＝－2n＋5.（2）4
【解析】（Ⅰ）设{an}的公差为d，由已知条件，，解出a1＝3，d＝－2
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5
（Ⅱ）Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2时，Sn取到最大值4
20、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）根据正棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、直角三角形的性质、正三角形的性质进行证明即可；
（2）根据线面垂直的判定定理和性质，结合二面角的定义进行求解即可.
【小问1详解】
证明：在正三棱柱中，平面，平面，则,
又是以为直角顶点的等腰直角三角形，
则，且，平面，
故平面，而平面，所以，
又为正三角形，所以为的中点；
【小问2详解】
在正中，取的中点为，则，
又平面，则，且，平面，
故平面，
取的中点为，且的中点为，则，
故平面，而平面，所以，
在等腰直角中，取的中点为，则，，
平面，
所以平面，而平面，所以，
故为二面角平面角，
又，
则，，
所以在中，，即：，
故二面角的大小为.

：
21、（1）
（2）周长是定值，且定值为4
【解析】（1）首先求出直线与轴的交点，即可求出，再根据离心率求出，最后根据求出，即可得解；
（2）：设直线的方程为、、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，即可表示出弦的长，再根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即可得到，再求出、，最后根据计算即可得解；
【小问1详解】
解：因为经过椭圆的右焦点，令，则，所以椭圆的右焦点为，可得：，
又，可得：，由，所以，
∴椭圆的标准方程为 ；
【小问2详解】
解：设直线的方程为，
由得：，
所以，
设，，则：
，
所以

.
因为直线与圆相切，所以，即，
所以，
因为，
又，
所以，
同理.
所以
，
即的周长是定值，且定值为4
22、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】(1)根据已知条件列出关于a、b、c的方程组求解即可；
(2)设，代入，利用韦达定理，通过，结合，转化求解即可
【小问1详解】

【小问2详解】
设，设，代入，
得，
∵，∴，，
∵，得，
即，
解得，
∵，
且，
又，，
整理得，
∴为定值