广东省广州市第二中学2025-2026学年数学高二第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

广东省广州市第二中学2025-2026学年数学高二第一学期期末考试模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是
A. B.
C. D.
2．若直线与直线平行，则（ ）
A. B.
C. D.
3．已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线相交于两点，且，则直线的斜率为（ ）
A. B.
C. D.
4．已知数列满足，，在（ ）
A.25 B.30
C.32 D.64
5．已知是双曲线：的右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点．若，则的离心率为（）
A. B.
C.2 D.
6．过抛物线C：的准线上任意一点作抛物线的切线，切点为，若在轴上存在定点，使得恒成立，则点的坐标为（）
A. B.
C. D.
7．已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知是椭圆右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于（ ）
A. B.
C. D.
9．设数列的前项和为，且，则（）
A. B.
C. D.
10．已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
11．若，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
12．下列命题中，正确的是（）
A.若a>b，c>d，则ac>bd B.若ac>bc，则a<b
C.若a>b，c>d，则a﹣c>b﹣d D.若，则a<b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为___________.

14．已知等差数列满足，，，则公差______
15．已知曲线，
①若，则是椭圆，其焦点在轴上；
②若，则是圆，其半径为；
③若，则是双曲线，其渐近线方程为；
④若，，则是两条直线.
以上四个命题，其中正确的序号为_________.
16．已知圆关于直线对称，则________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A，两个等级，其中等设备安全系数低于A等设备.企业定时对生产设备进行检修，并将部分等设备更新成A等设备.据统计，2020年底该企业A等设备量已占全体设备总量的30%.从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的等设备更新成A等设备，与此同时，4%的A等设备由于设备老化将降级成等设备.
（1）在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由；
（2）至少在哪一年底，该企业的A等设备占全体设备的比例超过60%.（参考数据：，，）
18．（12分）正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4.E为棱上的动点，F为棱的中点.

（1）证明：；
（2）若E为棱上的中点，求直线BE到平面的距离.
19．（12分）如图1是，，，，分别是边，上两点，且，将沿折起使得，如图2.

（1）证明：图2中，平面；
（2）图2中，求二面角的正切值.
20．（12分）某公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：
间隔时间x/分
10
11
12
13
14
15
等候人数y/人
23
25
26
29
28
31
调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”.
（1）若选取的是中间4组数据，求y关于x的线性回归方程= x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”.
（2）假设该起点站等候人数为24人，请你根据（1）中的结论预测车辆发车间隔多少时间合适?
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回归直线= x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为
21．（12分）已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值.
22．（10分）已知椭圆C：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.
（1）椭圆C的方程；
（2）设直线l：交椭圆C于A，B两点，且，求m的值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由题，为可导函数，
，即曲线在点处的切线的斜率是 ，选D
【点睛】本题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，本题解题的关键是对所给的极限式进行整理，得到符合导数定义的形式
2、D
【解析】根据两直线平行可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.
【详解】由于直线与直线平行，则，解得.
故选：D.
3、B
【解析】设直线倾斜角为，由，及，可求得，当点在轴上方，又，求得，利用对称性即可得出结果.
【详解】设直线倾斜角为，由，所以，由，
，所以，当点在轴上
方，又，所以，所以由对称性知，直线的斜率.
故选：B.
4、A
【解析】根据题中条件，得出数列公差，进而可求出结果.
【详解】由得，
所以数列是以为公差的等差数列，
又，所以.
故选：A.
【点睛】本题主要考查等差数列的基本量运算，属于基础题型.
5、A
【解析】由条件建立a，b，c的关系，由此可求离心率的值.
【详解】设，则，
∵ ，∴，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ 离心率，
故选：A.

6、D
【解析】设切点，点，联立直线的方程和抛物线C的准线方程可得，将问题转化为对任意点恒成立，可得，解出，从而求出答案
【详解】设切点，点
由题意，抛物线C的准线，且由，得，
则直线的方程为，即，
联立令，得
由题意知，对任意点恒成立，也就是对任意点恒成立
因为，，
则，即对任意实数恒成立，
所以，即，所以，
故选：D
【点睛】一般表示抛物线的切线方程时可将抛物线方程转化为函数解析式，可利用导数的几何意义求解切线斜率，再代入计算.
7、C
【解析】根据题意求得直线l的方程，设，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求得，再利用弦长公式即可得出答案.
【详解】由椭圆知，，所以，
所以右焦点坐标为，则直线的方程为，
设，
联立，消y得，，
则，
所以.
即弦AB长为.
故选：C.
8、A
【解析】结合椭圆的定义、勾股定理列方程，化简求得，由此求得离心率.
【详解】圆的圆心为，半径为.
设左焦点为，连接，
由于，
所以，所以，所以，
由于，所以，
所以，
，.
故选：A

9、C
【解析】利用，把代入中，即可求出答案.
【详解】当时，.
当时，.
故选：C.
10、B
【解析】根据抛物线和写出焦点坐标，利用题干中的坐标相等，解出，结合从而求出答案.
【详解】抛物线的焦点为，
双曲线的，，
所以，
所以双曲线的右焦点为：，
由题意，，
两边平方解得，，
则双曲线的渐近线方程为：.
故选：B.
11、A
【解析】由于对数函数的存在，故需要对进行放缩，结合（需证明），可放缩为，利用等号成立可求出，进而得解.
【详解】令，，故在上单调递减，在上单调递增，，故，即，当且仅当，等号成立．所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，即，所以，又，所以，，故
故选：A
12、D
【解析】运用不等式性质，结合特殊值法，对选项注逐一判断正误即可.
【详解】选项A中，若，时，则成立，否则，若，则，显然错误，故选项A错误；
选项B中，若，，则能推出，否则，若，则，显然错误，故选项B错误；
选项C中，若，则，显然错误，故选项C错误；
选项D中，若，显然，由不等式性质知不等式两边同乘以一个正数，不等式不变号，即.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、12
【解析】求出，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得答案.
【详解】由得，
设，，
由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点，
，，，
所以，
所以该光线经过的路程为12.
故答案为：12.
14、2
【解析】根据等差数列性质求得，再根据题意列出相关的方程组，解得答案.
【详解】为等差数列，
故由可得：，
即，
故，故，
所以，解得，
故答案为：2
15、①③④
【解析】通过m，n的取值判断焦点坐标所在轴，判断①，求出圆的半径判断②；通过求解双曲线的渐近线方程，判断③；利用，，判断曲线是否是两条直线判断④
【详解】解：①若，则，
因为方程化为：，焦点坐标在y轴，所以①正确；
②若，则C是圆，其半径为：，不一定是，所以②不正确；
③若，则C是双曲线，其渐近线方程为，化简可得，所以③正确；
④若，，方程化为，则C是两条直线,所以④正确；
故答案为：①③④
16、1
【解析】根据题意，圆心在直线上，进而求得答案.
【详解】由题意，圆心在直线上，则.
故答案为：1.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）A等设备量不可能超过生产设备总量的80%，理由见解析；
（2）在2025年底实现A等设备量超过生产设备总量的60%.
【解析】(1)根据题意表示出2020年开始，经过年后A等设备量占总设备量的百分比为，求出，根据的范围进行判断；
(2)令＞即可求解.
【小问1详解】
记该企业全部生产设备总量为“1”，
2020年开始，经过年后A等设备量占总设备量的百分比为，
则经过1年即2021年底该企业A等设备量，
，
可得，又
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
可得，所以，
显然有，所以A等设备量不可能超过生产设备总量的80%.
【小问2详解】
由，得.
因为单调递减，又，，
所以在2025年底实现A等设备量超过生产设备总量的60%.
18、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明计算作答.
(2)利用(1)中坐标系，证明平面，再求点B到平面的距离即可作答.
【小问1详解】
在正四棱柱中，以点D为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
因E为棱上的动点，则设，，而，
，即，
所以.
【小问2详解】
由(1)知，点，，，，
设平面的一个法向量，则，令，得，
显然有，则，而平面，因此，平面，
于是有直线BE到平面的距离等于点B到平面的距离，
所以直线BE到平面的距离是.
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）、利用线面垂直的判定，及线面垂直的性质即可证明；
（2）、建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，利用求出两平面所成角的余弦值，进而求出求二面角的正切值.
【小问1详解】
由已知得：,
平面，
又平面,
在中，,由余弦定理得：，
，即，平面.
【小问2详解】
由（1）知：平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，

，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则与，
即与,..
,
观察可知二面角为钝二面角，二面角的正切值为.
20、（1），是“恰当回归方程”；
（2）10分钟较合适.
【解析】（1）应用最小二乘法求出回归直线方程，再分别估计、时的值，结合“恰当回归方程”的定义判断是否为“恰当回归方程”.
（2）根据（1）所得回归直线方程，将代入求x值即可.
【小问1详解】
中间4组数据是：
间隔时间（分钟）
11
12
13
14
等候人数（人）
25
26
29
28
因为，
所以，故，
又，所以，
当时，，而；
当时，，而；
所以所求的线性回归方程是“恰当回归方程” ；
【小问2详解】
由（1）知：当时，，
所以预测车辆发车间隔时间10分钟较合适.
21、（1）
（2），
【解析】(1)根据导数的几何意义即可求解；
(2)根据导数的正负判断f(x)的单调性，根据其单调性即可求最大值和最小值.
【小问1详解】
，切点为(1，－2)，
∵，∴切线斜率，切线方程为；
【小问2详解】
令，解得，

1

2

0

0

极大值

极小值

2
∵，，
∴当时，，.
22、（1）；（2）.
【解析】（1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离可知，进而利用离心率的值计算即得结论；
（2）设，联立直线与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出.
【详解】解：（1）由题意可得，
解得：，，
椭圆C的方程为；
（2）设，
联立，

得，
，，

，
解得.
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、韦达定理、弦长公式，属于中档题.