2026届许昌市重点中学数学高二上期末检测试题含解析.doc

2026届许昌市重点中学数学高二上期末检测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点A、是抛物线：上的两点，且线段过抛物线的焦点，若的中点到轴的距离为3，则（）
A.3 B.4
C.6 D.8
2．已知椭圆，则椭圆的长轴长为（ ）
A.2 B.4
C. D.8
3．已知向量，，则以下说法不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5．圆与的公共弦长为（）
A. B.
C. D.
6．已知等差数列前项和为，若，则的公差为（）
A.4 B.3
C.2 D.1
7．考试停课复习期间，小王同学计划将一天中的7节课全部用来复习4门不同的考试科目，每门科目复习1或2节课，则不同的复习安排方法有（）种
A.360 B.630
C.2520 D.15120
8．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的短轴的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
10．已知向量与向量垂直，则实数x的值为（）
A.﹣1 B.1
C.﹣6 D.6
11．圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是
A. B.
C. D.
12．在中，角、、所对的边分别是、、.已知，，且满足，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为___________.

14．已知双曲线左、右焦点分别为，，点P是双曲线左支上一点且，则______
15．若函数在[1，3]单调递增，则a的取值范围___
16．已知在时有极值0，则的值为____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在二项式的展开式中；
（1）若，求常数项；
（2）若第4项的系数与第7项的系数比为，求：
①二项展开式中的各项的二项式系数之和；
②二项展开式中各项的系数之和
18．（12分）已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且成等比数列.数列的前项的和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19．（12分）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
20．（12分）已知为各项均为正数的等比数列，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列前n项和
21．（12分）一个盒中装有编号分别为、、、的四个形状大小完全相同的小球.
（1）从盒中任取两球，列出所有的基本事件，并求取出的球的编号之和大于的概率；
（2）从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，列出所有的基本事件，并求的概率.
22．（10分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点
求证：（1）共面；
（2）求证：

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】直接根据抛物线焦点弦长公式以及中点坐标公式求结果
【详解】设，，则的中点到轴的距离为，则
故选：D
2、B
【解析】根据椭圆的方程求出即得解.
【详解】解：由题得椭圆的所以椭圆的长轴长为.
故选：B
3、C
【解析】可根据已知的和的坐标，通过计算向量数量积、向量的模，即可做出判断.
【详解】因为向量，，所以，故，所以选项A正确；，，所以，故选项B正确；，所以，故选项C错误；，所以，，故，所以选项D正确.
故选：C.
4、D
【解析】由在上恒成立，再转化为求函数的取值范围可得
【详解】由已知，在上是增函数，则在上恒成立，
即，，当时，，
所以
故选：D
5、D
【解析】已知两圆方程，可先让两圆方程作差，得到其公共弦的方程，然后再计算圆心到直线的距离，再结合勾股定理即可完成弦长的求解.
【详解】已知圆，圆，
两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：，
而圆心到直线的距离为，
圆的半径为，所以，所以.
故选：D.
6、A
【解析】由已知，结合等差数列前n项和公式、通项公式列方程组求公差即可.
详解】由题设，，解得.
故选：A
7、C
【解析】，先安排复习节的科目，然后安排其余科目，由此计算出不同的复习安排方法数.
【详解】第步，门科目选门，安排节课，方法数有种，
第步，安排其余科目，每门科目节课，方法数有种，
所以不同的复习安排方法有种.
故选：C
8、B
【解析】根据题意，点关于直线对称点的性质，以及椭圆的定义，即可求解.
【详解】根据题意，设点关于直线的对称点，
则，解得，即.
根据椭圆的定义可知，，
当、、三点共线时，长轴长取最小值，即，
由且，得，
因此椭圆C的短轴的最小值为.
故选：B.
9、D
【解析】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.
【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.
10、B
【解析】根据数量积的坐标计算公式代入可得的值
【详解】解：向量，与向量垂直，则，
由数量积的坐标公式可得：，
解得，
故选：
【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于基础题
11、A
【解析】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，其方程为，即；故选A.
【点睛】本题考查圆的一般方程、两圆的相交弦问题；处理直线和圆、圆和圆的位置关系时，往往结合平面几何知识（如本题中，求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程）可减小运算量.
12、D
【解析】利用正弦定理边角互化思想化简得出，利用余弦定理化简得出，结合，根据函数在上的单调性可求得的取值范围.
【详解】且，所以，
由正弦定理得，即，
，，所以，，则，
由余弦定理得，
，则，由于双勾函数在上单调递增，
则，即，所以，.
因此，的取值范围为.
故选：D.
【点睛】本题考查三角形内角余弦值的取值范围的求解，考查了余弦定理以及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、12
【解析】求出，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得答案.
【详解】由得，
设，，
由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点，
，，，
所以，
所以该光线经过的路程为12.
故答案为：12.
14、3
【解析】根据双曲线方程求出，再根据双曲线的定义可知，即可得到、，再由正弦定理计算可得；
【详解】解：因为双曲线为，所以、，因为点P是双曲线左支上一点且，所以，所以，，在中，由正弦定理可得，所以；
故答案为：
15、
【解析】由在区间上恒成立来求得的取值范围.
【详解】依题意在区间上恒成立，
在上恒成立，所以.
故答案为：
16、11
【解析】由题知，
且，
所以，
得或，
①当时，，此时，
，
所以函数单调递增无极值，
舍去
②当时，，此时，
是函数的极值点，符合题意，
∴

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）60（2）①1024；②1
【解析】（1）根据二项式定理求解
（2）根据二项式定理与条件求解，二项式系数之和为，系数和可赋值
【小问1详解】
若，则，（，…，9）
令∴∴常数项为.
【小问2详解】
，（，…，）
，解得
①
②令，得系数和为
18、（1），
（2）
【解析】（1）设数列公差为，由成等比数列求得，可得.
利用求得；
（2）利用错位相减求和即可.
【小问1详解】
设数列公差为，由成等比数列有：
，解得：，
所以，
数列，
当即，，解得：，
当时，有，所以，
得：.又，
所以数列为以为首项，公比为的等比数列，
所以数列的通项公式为：.
【小问2详解】
，
，
，
得，
，
化简得：.
19、（1）；（2）
【解析】（1）由等差数列以及等比中项的公式代入联立求解出，再利用等差数列的通项公式即可求得答案；（2）利用分组求和法，根据求和公式分别求出等差数列与等比数列的前项和再相加即可.
【详解】（1）由题意，，，即，联立解得，所以数列的通项公式为；
（2）由（1）得，，所以
【点睛】关于数列前项和的求和方法：
分组求和法：两个数列等差或者等比数列相加时利用分组求和法计算；
裂项相加法：数列的通项公式为分式时可考虑裂项相消法求和；
错位相减法：等差乘以等比数列的情况利用错位相减法求和.
20、（1）
（2）
【解析】(1)利用基本量法，求出首项和公比，即可求解.
(2)利用错位相减法，即可求解.
【小问1详解】
设等比数列公比为

【小问2详解】

21、（1）基本事件答案见解析，概率为；（2）基本事件答案见解析，概率为.
【解析】（1）利用列举法列举出所有的基本事件，并确定事件“取出的球的编号之和大于”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得结果；
（2）利用列举法列举出所有的基本事件，并确定事件“”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得结果.
【详解】（1）记“从盒中任取两球，取出球的编号之和大于”为事件，
样本点表示“从盒中取出、号球”，且和表示相同的样本点（以此类推），
则样本空间为，则，
根据古典概型可知，
从盒中任取两球，取出球的编号之和大于的概率为；
（2）记“”为事件，
样本点表示第一次取出号球，将球放回，从盒中取出号球（以此类推），
则样本空间，
则，
所以，故事件 “”的概率为.
22、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】（1）以为原点,为轴,为轴，为轴,建立空间直角坐标系，设,,，求出，，，， 0 ，，，，，从而，由此能证明共面
（2） 求出， 0 ，，，，，由，能证明
【详解】证明：如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设，，，
则0，，0，，2b，，
2b，，0，，
为AB的中点，F为PC的中点，
0，，b，，
b，，，2b，，

共面.

（2），

【点睛】本题考查三个向量共面的证明,考查两直线垂直的证明,是基础题