2025年北京市顺义一中高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2025年北京市顺义一中高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，求折痕所在直线是（）
A. B.
C. D.
2．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3．某次射击比赛中,某选手射击一次击中10环的概率是,连续两次均击中10环的概率是,已知某次击中10环,则随后一次击中10环的概率是
A. B.
C. D.
4．在等差数列中，若，则（）
A.6 B.9
C.11 D.24
5．抛物线的焦点到准线的距离是
A. B.1
C. D.
6．新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示，图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重

下列关于我国上半年经济数据的说法正确的是（）
A.第一产业的生产总值与第三产业中“其他服务业”的生产总值基本持平
B.第一产业的生产总值超过第三产业中“金融业”的生产总值
C.若“住宿和餐饮业”生产总值为7500亿元，则“房地产”生产总值为22500亿元
D.若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元
7．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为16，则乙组数据的平均数为（）

A.12 B.10
C.8 D.6
8．过抛物线的焦点作互相垂直的弦，则的最小值为（ ）
A.16 B.18
C.32 D.64
9．已知集合，集合或，是实数集，则（ ）
A. B.
C. D.
10．若抛物线焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为
A. B.
C. D.
11．已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（）
A. B.
C. D.
12．设，则“”是“直线与直线”平行的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，则__________
14．在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2＋y2＝1的直径，且点A在第一象限；圆O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且，则a的取值范围为_______.
15．不等式的解集是________.
16．已知椭圆方程为，左、右焦点分别为、，P为椭圆上的动点，若的最大值为，则椭圆的离心率为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设椭圆的左，右焦点分别为，其离心率为，且点在C上.
（1）求C的方程；
（2）O为坐标原点，P为C上任意一点.若M为的中点，过M且平行于的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由.
18．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的封闭图形.

（1）设，，求这个几何体的表面积；
（2）设G是弧DF的中点，设P是弧CE上的一点，且.求异面直线AG与BP所成角的大小.
19．（12分）已知公差不为0的等差数列，前项和为，首项为，且成等比数列.
（1）求和；
（2）设，记，求.
20．（12分）已知数列为等差数列，公差，前项和为，，且成等比数列
（1）求数列的通项公式
（2）设，求数列的前项和
21．（12分）如图，在几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，，且，是的中点

（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成的角的余弦值
22．（10分）已知数列满足，，且成等比数列
（1）求的值和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】设，，则折痕所在直线是线段AB的垂直平分线，故求出AB中点坐标，折痕与直线AB垂直，进而求出斜率，用点斜式求出折痕所在直线方程.
【详解】，，所以与的中点坐标为，又，所以折痕所在直线的斜率为1，故折痕所在直线是，即.
故选：D
2、C
【解析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可
【详解】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立
故选：C
【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值
3、B
【解析】根据条件概率的计算公式,得所求概率为，故选B.
4、B
【解析】根据等差数列的通项公式的基本量运算求解
【详解】设的公差为d，因为，所以，又，所以
故选：B
5、D
【解析】，，所以抛物线的焦点到其准线的距离是，故选D.
6、D
【解析】根据扇形图及柱形图中的各产业与各行业所占比重，得到第三产业中“其他服务业”及“金融业”的生产总值占总生产总值的比重，进而比较出AB选项，利用“住宿和餐饮业”生产总值和“房地产”生产总值的比值，求出“房地产”生产总值，判断出C选项，利用第三产业中“金融业”的生产总值与第二产业的生产总值比值，求出第二产业生产总值，判断D选项.
【详解】A选项，第三产业中“其他服务业”的生产总值占总生产总值的，因为，所以第三产业中“其他服务业”的生产总值明显高于第一产业的生产总值，A错误；
B选项，第三产业中“金融业”的生产总值占总生产总值的，因为，故第一产业的生产总值少于第三产业中“金融业”的生产总值，B错误；
“住宿和餐饮业”生产总值和“房地产”生产总值的比值为，若“住宿和餐饮业”生产总值为7500亿元，则“房地产”生产总值为亿元，故C错误；
第三产业中“金融业”的生产总值占总生产总值的，与第二产业的生产总值比值为，若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元，D正确.
故选：D
7、A
【解析】根据众数的概念，求得的值，再根据平均数的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，甲组数据的众数为16，得，
所以乙组数据的平均数为
故选：A.
8、B
【解析】根据抛物线方程求出焦点坐标，分别设出，所在直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求得，，然后利用基本不等式求最值.
【详解】抛物线的焦点，
设直线的直线方程为，则直线的方程为.
，，，.
由，得，
，同理可得.

.
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为.
故选：B
9、A
【解析】先化简集合，再由集合的交集、补集运算求解即可
【详解】，或，故
故选：A
10、D
【解析】解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D
11、D
【解析】由直线与垂直得到的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.
【详解】因为直线与垂直，且，所以，解得，
设的倾斜角为，，所以.
故选：D
12、D
【解析】由两直线平行确定参数值，根据充分必要条件的定义判断
【详解】时，两直线方程分别为，，它们重合，不平行，因此不是充分条件；
反之，两直线平行时，，解得或，
由上知时，两直线不平行，
时，两直线方程分别为，，平行，
因此，本题中也不是必要条件
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】分别令和，再将两个等式相加可求得的值.
【详解】令，则；
令，则.
上述两式相加得
故答案为：.
【点睛】本题考查偶数项系数和的计算，一般令和，通过对等式相加减求得，考查计算能力，属于中等题.
14、
【解析】根据判断出四边形为平行四边形，由此求得圆的方程以及的长，进而判断出点在圆上，根据圆与圆的位置关系，求得的取值范围.
【详解】四边形ONO1M为平行四边形，即ON＝MO1＝r＝1，
所以圆的方程为，
且ON为△ABM的中位线AM＝2ON＝2AO1＝3，
故点A在以O1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：，
故与x2＋y2＝1在第一象限有交点，即2＜a＜4，
由，解得，
故a的取值范围为(，4).
故答案为：

【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.
15、
【解析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，根据分式不等式解法，然后转化为两个一元一次不等式组，注意分母不为0的要求，求出不等式组的解集即为原不等式的解集
【详解】不等式得 ，
故 ，
故答案为：.
16、
【解析】利用椭圆的定义结合余弦定理可求得，再利用公式可求得该椭圆的离心率的值.
【详解】由椭圆的定义可得，
由余弦定理可得
，
因为的最大值为，则，可得，
因此，该椭圆的离心率为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】(1)列出关于a、b、c的方程组求解即可；
(2)直线l斜率不存在时，易得λ的值；斜率存在时，设l方程为，联立直线l与椭圆C的方程，求出；求出OP方程，联立OP方程与椭圆C的方程，求出；代入即可求得λ.
【小问1详解】
由已知可得，
解得，∴椭圆C的标准方程为.
【小问2详解】
若直线的斜率不存在时，，
∴；
当斜率存在时，设直线l的方程为.
联立直线l与椭圆方程，消去y，得，
∴.
∵，设直线的方程为，
联立直线与椭圆方程，消去y，得，
解得.
∴，
∴，
同理，∴，
∵，
∴，故，存在满足条件，
综上可得，存在满足条件.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于弦长公式的运用，AB斜率为k，，M(1，0)，则，，，将弦长之积转化为韦达定理求解.
18、（1）
（2）
【解析】（1）将几何体的表面积分成上下两个扇形、两个矩形和一个圆柱形侧面的一部分组成，分别求出后相加即可；
（2）先根据条件得到面，通过平移将异面直线转化为同一个平面内的直线夹角即可
【小问1详解】
上下两个扇形的面积之和为：
两个矩形面积之和为：4
侧面圆弧段的面积为：
故这个几何体的表面积为：
【小问2详解】
如下图，将直线平移到下底面上为

由，且，，可得：面
则
而G是弧DF的中点，则
由于上下两个平面平行且全等，则直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即为所求，则
则直线与直线的夹角为
19、（1）
（2）
【解析】（1）由题意解得等差数列的公差，代入公式即可求得和；
（2）把n分为奇数和偶数两类，分别去数列的前n项和.
【小问1详解】
设等差数列公差为，由题有，
即，解之得或0，又，所以，
所以.
【小问2详解】
，
当为正奇数，，

当为正偶数，，
所以
20、（1）；（2）
【解析】（1）根据成等比数列，有，即求解.
（2）由（1）可得，，∴，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）由成等比数列，得，
即，
整理得，∵，∴，
∴，即
（2）由（1）可得，，∴，
故
【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）设为中点，连接，，证明四边形为平行四边形即可；
（2）确定异面直线与所成的角为，计算三角形各边长，根据余弦定理计算得到答案.
【小问1详解】
设为中点，连接，，
∵为中点，是的中点，，，

故，且，
故，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，平面，平面，
故平面.
【小问2详解】
∵，
故异面直线与所成的角为，
在中：，，.
根据余弦定理：，
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
22、（1）；；（2）
【解析】（1）由于，所以可得，再由成等比数列，列方程可求出，从而可求出的通项公式；
（2）由（1）可得，然后利用错位相减法求
【详解】解：（1）数列{an}满足，
所以，
所以a2+a3＝a1+a2+d，
由于a1＝1，a2＝1，
所以a2+a3＝2+d，a8+a9＝2+7d，
且a1，a2+a3，a8+a9成等比数列，
所以，
整理得d＝1或2（1舍去）
故an+2＝an+2，
所以n奇数时，an＝n，
n为偶数时，an＝n﹣1
所以数列{an}的通项公式为
（2）由于，所以
所以T2n＝b1+b2+．．．+b2n＝﹣20×12+20×22﹣22×32+22×42+．．．+[﹣22n﹣2•（2n﹣1）2]+22n﹣2•（2n）2，
＝20×（22﹣12）+22×（42﹣32）+．．．+22n﹣2•[（2n）2﹣（2n﹣1）2]
＝20×3+22×7+．．．+22n﹣2•（4n﹣1）①，
所以，②，
①﹣②得：﹣3T2n＝20×3+22×4+．．．+22n﹣2×4﹣22n×（4n﹣1），
＝3+4×﹣22n×（4n﹣1），
＝，
所以