2026届贵州省仁怀四中数学高二第一学期期末质量检测试题含解析.doc

2026届贵州省仁怀四中数学高二第一学期期末质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设点是点，，关于平面的对称点，则（）
A.10 B.
C. D.38
2．已知随机变量X的分布列如表所示，则（）
X
1
2
3
P
a
2a
3a
A. B.
C. D.
3．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做“等和数列”，这个数叫做数列的公和．已知等和数列{an}中，，公和为5，则（　　）
A.2 B.﹣2
C.3 D.﹣3
4．在空间直角坐标系中，已知点A(1，1，2)，B(－3，1，－2)，则线段AB的中点坐标是（）
A.(－2，1，2) B.(－1，1，0)
C.(－2，0，1) D.(－1，1，2)
5．已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
6．曲线在处的切线的斜率为（）
A.-1 B.1
C.2 D.3
7．已知数列满足，令是数列的前n项积，，现给出下列四个结论：
①； ②为单调递增的等比数列；
③当时，取得最大值； ④当时，取得最大值
其中所有正确结论的编号为（ ）
A.②④ B.①③
C.②③④ D.①③④
8．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（ ）
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
9．下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递减的为（）
A. B.
C. D.
10．如下图，边长为2的正方体中，O是正方体的中心，M，N，T分别是棱BC，，的中点，下列说法错误的是（）

A. B.
C. D.到平面MON的距离为1
11．等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
12．命题若，且，则，命题在中，若，则.下列命题中为真命题的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆，以点为中点的弦所在的直线的方程是___________
14．已知数列则是这个数列的第________项.
15．在中，，，，则此三角形的最大边长为___________.
16．已知函数，则的导函数______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的离心率为，且点在C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设，为椭圆C的左，右焦点，过右焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，若内切圆的半径为，求直线l的方程.
18．（12分）一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比
（1）分别求2分钟，3分钟后的水温；
（2）记n分钟后的水温为，证明：是等比数列，并求出的通项公式；
（3）当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：）
19．（12分）若存在常数，使得对任意，，均有，则称为有界集合，同时称为集合的上界.
（1）设，，试判断A、B是否为有界集合，并说明理由；
（2）已知常数，若函数为有界集合，求集合的上界最小值.
20．（12分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（是参数）
（1）求直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；
（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值
21．（12分）在①，；②，，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解决问题
问题：设等差数列的前项和为，________________，若，判断是否存在最大值，若存在，求出取最大值时的值；若不存在，说明理由
注：如果选择多个条件分别解答．按第一个解答记分
22．（10分）如图所示，、分别为椭圆的左、右焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点到、两点的距离之和为4.

（1）求a的值和椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的焦点作AB的平行线交椭圆于P，Q，求的面积
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】写出点坐标，由对称性易得线段长
【详解】点是点，，关于平面的对称点，
的横标和纵标与相同，而竖标与相反，
，，，
直线与轴平行，
，
故选：A
2、C
【解析】根据分布列性质计算可得；
【详解】解：依题意，解得，所以；
故选：C
3、C
【解析】利用已知即可求得，再利用已知可得：，问题得解
【详解】解：根据题意，等和数列{an}中，，公和为5，则，即可得，
又由an﹣1+an＝5，则，
则3；
故选C
【点睛】本题主要考查了新概念知识，考查理解能力及转化能力，还考查了数列的周期性，属于中档题
4、B
【解析】利用中点坐标公式直接求解
【详解】在空间直角坐标系中，
点，1，，，1，，
则线段的中点坐标是，，，1，
故选：B.
5、C
【解析】由题设分析知的轨迹为(不与重合)，要求的取值范围，只需求出到圆上点的距离范围即可.
【详解】由题设，在以为直径的圆上，令，则(不与重合)，
所以的取值范围，即为到圆上点的距离范围，
又圆心到的距离，圆的半径为2，
所以的取值范围为，即.
故选：C
6、D
【解析】先求解出导函数，然后代入到导函数中，所求导数值即为切线斜率.
【详解】因为，所以，
所以切线的斜率为.
故选：D.
7、B
【解析】求出，即可判断选项①正确；求出，即可选项②错误；求出，利用单调性即可判断选项③正确；求出，即可判断选项④错误，即得解.
【详解】解：因为，①
所以，，②
①②得，，
整理得，
又，满足上式，所以，
因为，所以数列为等差数列，公差为，
所以，故①正确；
，因为，
故数列为等比数列，其中首项，公比为的等比数列，
因为，，
所以数列为递减的等比数列，故②错误；
，
因为为单调递增函数，
所以当最大时，有最大值，
因为，所以时，最大，
即时，取得最大值，故③正确；
设，
由可得，，解得或，
又因为，
所以时，取得最大值，故④错误；
故选：B
8、B
【解析】利用余弦定理化角为边，从而可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，
则，所以，
所以是等腰三角形.
故选：B.
9、B
【解析】A.利用正切函数的性质判断； B.作出的图象判断； C.作出的图象判断； D.作出的图象判断.
【详解】A.是以为最小正周期，在上单调递增，故错误；
B.如图所示：，由图象知：函数是以为最小正周期，在上单调递减，故正确；
C.如图所示：，由图象知：是以为最小正周期，在上单调递增，故错误；
D.如图所示：，由图象知：是以为最小正周期，在上单调递增，故错误；
故选：B
10、D
【解析】建立空间直角坐标系，进而根据空间向量的坐标运算判断A,B,C；对D，算出平面MON的法向量，进而求出向量在该法向量方向上投影的绝对值，即为所求距离.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则.

对A，，则，则A正确；
对B，，则，则B正确；
对C，，则C正确；
对D，设平面MON的法向量为，则，取z=1，得，，所以到平面MON的距离为,则D错误.
故选：D.
11、B
【解析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案
【详解】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件
故选：B
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程
12、A
【解析】根据不等式性质及对数函数的单调性判断命题的真假，根据大角对大边及正弦定理可判断命题的真假，再根据复合命题真假的判断方法即可得出结论.
【详解】解：若，且，则，
当时，，所以，
当时，，所以，
综上命题为假命题，则为真命题，
在中，若，则，
由正弦定理得，
所以命题为真命题，为假命题，
所以为真命题，，，为假命题.
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设，利用以为中点的弦所在的直线即为经过点且垂直于AC的直线求得直线斜率，由点斜式可求得直线方程
【详解】圆的方程可化为，可知圆心为
设，则以为中点的弦所在的直线即为经过点且垂直于的直线．又知，所以，所以直线的方程为，即
故答案为：
【点睛】本题考查圆的几何性质，考查直线方程求解，是基础题
14、12
【解析】根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可.
【详解】数列中每一项被开方数分别为：6，10，14，18，22，…，因此这些被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列，设该等差数列为，其通项公式为：，
设数列为，所以，
于是有，
故答案为：
15、
【解析】可知B对的边最大，再用正弦定理计算即可.
【详解】利用正弦定理可知，B对的边最大，
因为，，所以，
.
故答案为：
16、
【解析】利用基本初等函数的求导公式及积的求导法则计算作答.
【详解】函数定义域为，则，
所以.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）或.
【解析】（1）根据离心率可得的关系，再将的坐标代入方程后可求，从而可得椭圆的方程.
（2）设直线的方程为，，结合内切圆的半径为可得，联立直线方程和椭圆方程，消元后结合韦达定理可得关于的方程，求出其解后可得直线方程.
【小问1详解】
因为椭圆的离心率为，故可设，
故椭圆方程为，代入得，故，
故椭圆方程为：.
【小问2详解】
的周长为，故.
设，
由题设可得直线与轴不重合，故可设直线，
则，
由可得，
整理得到，此时，
故，解得，
故直线的方程为：或.

18、（1）2分钟的水温为℃，3分钟后的水温℃；
（2）证明见解析，，；
（3）在水烧开后4到7分钟饮用最佳.
【解析】(1)根据给定条件设第n分钟后的水温为，探求出与的关系即可计算作答.
(2)利用(1)的信息，列式变形、推导即可得证，进而求出的通项公式.
(3)由(2)的结论列不等式，借助对数函数的性质求解即得.
【小问1详解】
设第n分钟后的水温为，正比例系数为k，记，
依题意，，当时，，则有，解得，
因此，，即有，，
所以2分钟的水温为℃，3分钟后的水温℃.
小问2详解】
由(1)知，，时，，，则有，即，
而，于是得是以为首项，为公比的等比数列，
则有，即，
所以是等比数列，的通项公式是，.
【小问3详解】
由(2)及已知得：，即，整理得，
两边取常用对数得：，而，
解得，即，
所以在水烧开后4到7分钟饮用最佳.
【点睛】思路点睛：涉及实际意义给出的数列问题，正确理解实际意义，列出关系式，再借助数列思想探求相邻两项间关系即可推理作答.
19、（1）A不是有界集合，B是有界集合，理由见解析
（2）
【解析】（1）解不等式求得集合A；由，根据指数函数的性质求得集合B，由此可得结论；
（2）由函数，得出函数单调递减，即有，分和两种情况讨论，求得集合的上界，再由集合的上界函数的单调性可求得集合的上界的最小值.
【小问1详解】
解：由得，即，，
对任意一个，都有一个，故不是有界集合；
，，
，
，是有界集合，上界为1；
【小问2详解】
解：，
因为，所以函数单调递减，，
因为函数为有界集合，所以分两种情况讨论：
当，即时，集合的上界，
当时，不等式为；
当时，不等式为；
当时，不等式为，
即时，集合的上界，
当，即时，集合的上界，
同上解不等式得的解为，即时，集合的上界，
综上得时，集合的上界；时，集合的上界.
时，集合的上界是一个减函数，
所以此时，
时，集合的上界是增函数，
所以，
所以集合的上界最小值为；
20、（1）直线的直角坐标方程是，曲线的普通方程是
（2）
【解析】（1）利用极坐标与直角坐标互化的公式进行求解，消去参数求出普通方程；（2）设曲线上任一点以，利用点到直线距离公式和辅助角公式进行求解.
【小问1详解】
因为，
所以，即，
将，代入，得直线的直角坐标方程是
由得曲线的普通方程是
【小问2详解】
设曲线上任一点以，
则点到直线的距离
当时，，故曲线上的点到直线的距离的最大值为

21、答案不唯一，具体见解析
【解析】选①：易得，法一：令求n，即可为何值时取最大值；法二：写出，利用等差数列前n项和的函数性质判断为何值时有最大值；选②：由数列前n项和及等差数列下标和的性质易得、即可确定有最大值时值；选③：由等差数列前n项和公式易得、即可确定有最大值时值；
【详解】选①：设数列的公差为，，
，解得，即，
法一：当时，有，得，
∴当时，；，；时，，
∴或时，取最大值
法二：，对称轴，
∴或时，取最大值
选②：由，得，由等差中项的性质有，即，
由，得，
∴，故，
∴当时，，时，，故时，取最大值
选③：由，得，可得，
由，得，可得，
∴，故，
∴当时，，时，，故时，取最大值
【点睛】关键点点睛：根据所选的条件，结合等差数列前n项和公式的性质、下标和相等的性质等确定数列中项的正负性，找到界点n值即可.
22、（1）a＝2，
（2）
【解析】（1）由题意可得a＝2，，求出，从而可求得椭圆方程，
（2）由题意可求出的坐标，则可求出直线PQ的方程，然后将直线方程与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系，求出的值，从而可求出的值
【小问1详解】
由椭圆定义可得2a＝4，所以a＝2，
又因点在椭圆C上，所以，解得：，
所以a的值为2，椭圆C的方程为
【小问2详解】
由椭圆的方程可得，，，
所以，
所以直线PQ的方程为，
设，，由 可得，
所以，，
所以，
所以