2025-2026学年青海省西宁市沛西中学数学高二上期末复习检测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年青海省西宁市沛西中学数学高二上期末复习检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数列满足，对任意，都有，则（ ）
A. B.
C. D.
2．下面四个说法中，正确说法的个数为（）
（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
（2）两条直线可以确定一个平面；
（3）若，，，则；
（4）空间中，两两相交的三条直线在同一平面内.
A.1 B.2
C.3 D.4
3．已知圆的半径为，平面上一定点到圆心的距离，是圆上任意一点.线段的垂直平分线和直线相交于点，设点在圆上运动时，点的轨迹为，当时，轨迹对应曲线的离心率取值范围为（）
A. B.
C. D.
4．在棱长均为1的平行六面体中，，则（）
A. B.3
C. D.6
5．命题“，”的否定是
A ， B.，
C.， D.，
6．圆（）上点到直线的最小距离为1，则
A.4 B.3
C.2 D.1
7．已知命题p：，，则命题p的否定为（）
A， B.，
C.， D.，
8．数列1，6，15，28，45，...中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为（ ）

A.153 B.190
C.231 D.276
9．1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方人称之为“中国剩余定理”．现有这样一个问题：将1到200中被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则=（ ）
A.130 B.132
C.140 D.144
10．已知M、N为椭圆上关于短轴对称的两点,A、B分别为椭圆的上下顶点,设、分别为直线的斜率,则的最小值为()
A. B.
C. D.
11．已知a，b为不相等实数，记，则M与N的大小关系为（）
A. B.
C. D.不确定
12．点分别为椭圆左右两个焦点，过的直线交椭圆与两点，则的周长为（）
A.32 B.16
C.8 D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为4，则此正四棱柱的体积为______
14．已知p：≤0，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________
15．已知函数有三个零点，则实数的取值范围为___________.
16．不等式的解集为，则________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设数列的前项和为，，且，，
（1）若
（i）求；
（ii）求证数列成等差数列
（2）若数列为递增数列，且，试求满足条件的所有正整数的值
18．（12分）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于游牧生活.其结构如图所示，上部分是侧棱长为3的正六棱锥，下部分是高为1的正六棱柱，分别为正六棱柱上底面与下底面的中心.

（1）若长为，把蒙古包的体积表示为的函数；
（2）求蒙古包体积的最大值.
19．（12分）2021年国庆期间，某电器商场为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每消费满8千元，可减8百元.方案二：消费金额超过8千元（含8千元），可抽取小球三次，其规则是依次从装有2个红色小球、2个黄色小球的一号箱子，装有2个红色小球、2个黄色小球的二号箱子，装有1个红色小球、3个黄色小球的三号箱子各抽一个小球（这些小球除颜色外完全相同），其优惠情况为：若抽出3个红色小球则打6折；若抽出2个红色小球则打7折；若抽出1个红色小球则打8折；若没有抽出红色小球则不打折.
（1）若有两名顾客恰好消费8千元，他们都选中第二方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；
（2）若你朋友在该商场消费了1万元，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.
20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆上
（1）经过点M（1，）作一直线交椭圆于AB两点，若点M为线段AB的中点，求直线的斜率；
（2）设椭圆C的上顶点为P，设不经过点P的直线与椭圆C交于C，D两点，且，求证：直线过定点
21．（12分）如图1，在△MBC中，，A，D分别为棱BM，MC的中点，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如图2，连结PB，PC，BD

（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若E为PC中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值
22．（10分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．而今年出现的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．应国务院要求，黑龙江某医院选派医生参加援鄂医疗，该院呼吸内科有3名男医生，2名女医生，其中李亮（男）为科室主任；该院病毒感染科有2名男医生，2名女医生，其中张雅（女）为科室主任，现在院方决定从两科室中共选4人参加援鄂医疗（最后结果用数字表达）
（1）若至多有1名主任参加，有多少种派法？
（2）若呼吸内科至少2名医生参加，有多少种派法？
（3）若至少有1名主任参加，且有女医生参加，有多少种派法？
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】首先根据题设条件可得，然后利用累加法可得，所以，最后利用裂项相消法求和即可.
【详解】由，得，则
，
所以，
.
故选：C.
【点睛】本题考查累加法求数列通项，考查利用错位相减法求数列的前n项和，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
2、A
【解析】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，即可判断；利用两条异面直线不能确定一个平面即可判断；利用平面的基本性质中的公理判断即可；若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），即可判断.
【详解】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；
两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；
利用平面的基本性质中的公理判断（3）正确；
空间中，若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，
综上所述只有一个说法是正确的，
故选：A
【点睛】本题主要考查了空间中点，线，面的位置关系.属于较易题.
3、D
【解析】分点A在圆内，圆外两种情况，根据中垂线的性质，结合椭圆、双曲线的定义可判断轨迹，再由离心率计算即可求解.
【详解】当A在圆内时，如图，

,
所以的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，其中，
，此时，，.
当A在圆外时，如图 ，

因为，
所以轨迹是以O，A为焦点的双曲线，其中，
，此时，，.
综上可知，.
故选：D
4、C
【解析】设，，，利用结合数量积的运算即可得到答案.
【详解】设，，，由已知，得，，，
，所以，
所以.
故选：C
5、C
【解析】特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，
考点：全称命题与特称命题
6、A
【解析】根据题意可得,圆心到直线的距离等于,即,求得,所以A选项是正确的.
【点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法：(1)几何法：利用ｄ与ｒ的关系．(2)代数法：联立方程之后利用判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题
7、A
【解析】根据特称命题的否定是全称命题，结合已知条件，即可求得结果.
【详解】因为命题p：，，故命题p的否定为：，.
故选：A.
8、B
【解析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形可知，，，，，，，据此即可求解.
【详解】由题意知，数列的各项为1，6，15，28，45，...
所以，，，
，，，
所以.
故选：B
【点睛】本题考查合情推理中的归纳推理；考查逻辑推理能力；观察分析、寻求规律是求解本题的关键；属于中档题、探索型试题.
9、A
【解析】分析数列的特点，可知其是等差数列，写出其通项公式，进而求得结果,
【详解】被3整除余1且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，这样的数构成首项为10，公差为12的等差数列，
所以 ，
故，
故选:A
10、A
【解析】利用为定值即可获解.
【详解】
设
则
又,所以
所以

当且仅当,即,取等
故选:A
11、A
【解析】利用作差法即可比较M与N的大小﹒
【详解】因为，
又，所以，即
故选：A
12、B
【解析】由题意结合椭圆的定义可得，而的周长等于，从而可得答案
【详解】解：由得，
由题意得，
所以的周长等于，
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、100
【解析】根据棱柱体积公式直接可得.
【详解】
故答案为：100
14、m≥6
【解析】分别求出p，q成立的等价条件，利用p是q的充分条件，转为当0＜x≤1时，m大于等于的最大值，求出最值即可确定m的取值范围
【详解】由，得0＜x≤1，即p：0＜x≤1
由4x+2x﹣m≤0得4x+2x≤m
因为，要使p是q的充分条件，
则当0＜x≤1时，m大于等于的最大值，
令，则在上单调递增，
故当时取到最大值6，所以m≥6
故答案为：m≥6
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,考查函数的最值，考查转化的思想，属于基础题
15、
【解析】由题意可得与的图象有三个不同的交点，经判断时不符合题意，当时，时，两个函数图象有一个交点，可得时与的图象有两个交点，等价于与的图象有两个不同的交点，对求导，数形结合即可求解.
【详解】令可得，
若函数函数有三个零点，则可得方程有三个根，
即与的图象有三个不同的交点，
作出的图象如图：

当时，是以为顶点开口向下的抛物线，
此时与的图象没有交点，不符合题意；
当时，与的图象只有一个交点，不符合题意；
当时，时，与的图象有一个交点，
所以时与的图象有两个交点，
即方程有两个不等的实根，即方程有两个不等的实根，
可得与的图象有两个不同的交点，
令，则，
由即可得，
由即可得，
所以在单调递增，在单调递减，
作出其图象如图：

当时，，
当
时，可得与的图象有两个不同的交点，
即时，函数有三个零点，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
16、
【解析】由一元二次方程与一元二次不等式之间的关系可知，方程的两根是，所以因此.
考点：一元二次方程与一元二次不等式之间的关系.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；详见解析；
（2）5.
【解析】（1）由题可得，由条件可依次求各项，即得；猜想，用数学归纳法证明即得；
（2）设，由题可得，进而可得，结合条件即求.
【小问1详解】
（i）∵，且，，，
∴，，，
∴，，，
又，，，
∴，
∴，解得，
，解得，
，解得，
，解得，
∴；
（ii）由，，，，猜想数列是首项，公差为的等差数列，，
用数学归纳法证明：
当时，，成立；
假设时，等式成立，即，
则时，，
∴，
∴当时，等式也成立，
∴，
∴数列是首项，公差为的等差数列.
【小问2详解】
设，由，
，即，
∴，又，，，
∴，，，
，，，
∴，，，
∴，又数列为递增数列，
∴，解得，
由

，
∴，
解得.
【点睛】关键点点睛：第一问的关键是由条件猜想，然后数学归纳法证明，第二问求出
，，即得.
18、（1），其中.
（2）.
【解析】（1）利用柱体和椎体体积公式求得的函数表达式.
（2）利用导数求得体积的最大值.
【小问1详解】
正六边形的边长（0），
底面积，
于是，
其中.
【小问2详解】
，
，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，.
综上，当时，蒙古包体积最大，且最大体积为.
19、（1）
（2）选择方案二更划算
【解析】（1）要使方案二比方案一优惠，则需要抽出至少一个红球，求出没有抽出红色小球的概率，再根据对立事件的概率公式即可得出答案；
（2）若选择方案一，则需付款（元），若选择方案二，设付款金额为元，则可取6000，7000，8000，10000，求出对应概率，从而可求得的期望，在比较的期望与9200的大小即可得出结论.
【小问1详解】
解：根据题意得要使方案二比方案一优惠，则需要抽出至少一个红球，
设没有抽出红色小球为事件，
则，
所以所求概率；
【小问2详解】
解：若选择方案一，则需付款（元），
若选择方案二，设付款金额为元，
则可取6000，7000，8000，10000，
，
，
，
，
故的分布列为
X
6000
7000
8000
10000
P

所以（元），
因为，
所以选择方案二更划算.
20、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）设椭圆的方程为代入点的坐标求出椭圆的方程，再利用点差法求解；
（2）由题得直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程得韦达定理，根据和韦达定理得到，即得证.
【小问1详解】
解：由题设椭圆的方程为
因为椭圆经过点，所以
所以椭圆的方程为.
设，所以，
所以，
由题得，所以，
所以，所以，
所以直线的斜率为.
【小问2详解】
解：由题得
当直线的斜率不存在时，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程组，可得，
所以，
解得①，
设，，，，
则②，
因为，
则，，，
又，，
所以③，
由②③可得（舍或满足条件①，
此时直线的方程为，
故直线过定点
21、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】(1)推导出，，利用线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明；
(2)以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线DE与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
由题意知，因为点A、D分别为MB、MC中点，所以，
又，所以，所以.
因为，所以，又，
所以平面，又平面，所以平面平面；
【小问2详解】
因为，，，所以两两垂直，
以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以，设直线DE与平面所成角为，
则，
所以直线DE与平面所成角的正弦值为.

22、（1）105种（2）105种（3）87种
【解析】（1）至多有1名主任参加，包括两种情况：一种是无主任参加，另一种是只有1名主任参加，利用分类计数原理可得结果；
（2）呼吸内科至少2名医生参加，分三种情况：第一种是呼吸内科2名医生参加，第二种呼吸内科3名医生参加，第三种呼吸内科4名医生参加，然后利用分类计数原理可得结果；
（3）由于张雅既是主任，也是女医生．属于特殊元素，优先考虑，分有张雅和无张雅两种情况求解即可.
【详解】（1）直接法：若无主任，若只有1名主任，共105种，
间接法：
（2）直接法：，
间接法：
（3）张雅既是主任，也是女医生．属于特殊元素，优先考虑，所以以是否有张雅来分类
第一类：若有张雅，
第二类：若无张雅，则李亮必定去，共87种
【点睛】此题考查了分步和分类计数原理，正确分步和分类是解决此题的关键，属于中档题.