2025年吉林省公主岭第五中学数学高二上期末检测模拟试题含解析.doc

2025年吉林省公主岭第五中学数学高二上期末检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．等差数列中，已知，则（）
A.36 B.27
C.18 D.9
2．设函数的导函数是，若，则（）
A. B.
C. D.
3．已知向量，，且与互相垂直，则（）
A. B.
C. D.
4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第7项为（）
A.101 B.99
C.95 D.91
5．如图所示，正方形边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）

A.16cm B.cm
C.8cm D.cm
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，过点作轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为点(如图所示)，若的面积为，则椭圆的方程为()

A B.
C. D.
7．椭圆与双曲线有公共的焦点、，与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率的范围是，则双曲线的离心率取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．甲，乙、丙、丁、戊共5人随机地排成一行，则甲、乙相邻，丙、丁不相邻的概率为（）
A. B.
C. D.
9．如图，已知直线AO垂直于平面，垂足为O，BC在平面内，AB与平面所成角的大小为，，，则异面直线AB与OC所成角的余弦值为（ ）

A. B.
C. D.
10．已知圆的方程为，则实数m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
11．某中学的校友会为感谢学校的教育之恩，准备在学校修建一座四角攒尖的思源亭如图它的上半部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则以下说法不正确（ ）

A.底面边长为6米 B.体积为立方米
C.侧面积为平方米 D.侧棱与底面所成角的正弦值为
12．过抛物线（）的焦点作斜率大于的直线交抛物线于， 两点（在的上方），且与准线交于点，若，则
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．点P(8，1)平分椭圆x2+4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是_______.
14．复数的共轭复数是__________
15．无穷数列满足：只要必有则称为“和谐递进数列”.已知为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，则=_________.
16．椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于，则的标准方程为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆M经过原点和点，且它的圆心M在直线上.
（1）求圆M的方程；
（2）若点D为圆M上的动点，定点，求线段CD的中点P的轨迹方程.
18．（12分）已知甲射击的命中率为0.7．乙射击的命中率为0.8，甲乙两人的射击互相独立．求：
（1）甲乙两人同时击中目标的概率；
（2）甲乙两人中至少有一个人击中目标的概率；
（3）甲乙两人中恰有一人击中目标的概率
19．（12分）已知直线，以点为圆心的圆C与直线l相切
（1）求圆C的标方程；
（2）过点的直线交圆C于A，B两点，且，求的方程
20．（12分）已知等差数列满足，前7项和为
（Ⅰ）求的通项公式
（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.
21．（12分）已知各项均为正数的等比数列前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求
22．（10分）要设计一种圆柱形、容积为500mL的一体化易拉罐金属包装，如何设计才能使得总成本最低？
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】直接利用等差数列的求和公式及等差数列的性质求解.
【详解】解：由题得.
故选：B
2、A
【解析】求导后，令，可求得，再令可求得结果.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，所以.
故选：A
【点睛】本题考查了导数的计算，考查了求导函数值，属于基础题.
3、D
【解析】根据垂直关系可得，由向量坐标运算可构造方程求得结果.
【详解】，，又与互相垂直，
，解得：.
故选：D.
4、C
【解析】根据所给数列找到规律：两次后项减前项所得数列为公差为2的数列，进而反向确定原数列的第7项.
【详解】根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：

故选：C.
5、A
【解析】由直观图确定原图形中平行四边形中线段的长度与关系，然后计算可得
【详解】由斜二测画法，原图形是平行四边形，，
又，，，
所以，
周长为
故选：A

6、A
【解析】由题意可得，令，可得，再由三角形的面积公式，解方程可得，，即可得到所求椭圆的方程
【详解】由题意可得，即，
即有，
令，则，
可得，
则，即，
解得，，
∴椭圆的方程为
故选：A
7、B
【解析】求得，可得出，设椭圆和双曲线的离心率分别为、，可得，由可求得的取值范围.
【详解】设，设双曲线的实轴长为，
因为与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，
则，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，
所以，，则，
设椭圆和双曲线的离心率分别为、，则，即，
因，则，故.
故选：B.
8、A
【解析】先求出所有的基本事件，再求出甲、乙相邻，丙、丁不相邻的基本事件，根据古典概型的概率公式求解即可
【详解】甲，乙、丙、丁、戊共5人随机地排成一行有种方法，
甲、乙相邻，丙、丁不相邻的排法为先将甲、乙捆绑在一起，再与戊进行排列，然后丙、丁从3个空中选2个空插入，则共有种方法，
所以甲、乙相邻，丙、丁不相邻的概率为，
故选：A
9、B
【解析】建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出向量的坐标，再利用向量的夹角公式计算即可.
【详解】如图，以O为坐标原点，过点O作OB的垂线为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，，

则，，，
，，
设的夹角为 ，则 ，
所以异面直线AB与OC所成角的余弦值为，
故选：B.
10、C
【解析】根据可求得结果.
【详解】因为表示圆，
所以，解得.
故选：C
【点睛】关键点点睛：掌握方程表示圆的条件是解题关键.
11、D
【解析】连接底面正方形的对角线交于点，连接，则为该正四棱锥的高，即平面，取的中点，连接，则的大小为侧面与底面所成，设正方形的边长为，求出该正四棱锥的底面边长，斜高和高，然后对选项进行逐一判断即可.
【详解】连接底面正方形的对角线交于点，连接
则为该正四棱锥的高，即平面
取的中点，连接，由正四棱锥的性质，可得
由分别为的中点，所以，则
所以为二面角的平面角，由条件可得
设正方形的边长为，则,又
则 , 解得 故选项A正确.
所以,
则该正四棱锥的体积为，故选项B正确.
该正四棱锥的侧面积为，故选项C正确.
由题意为侧棱与底面所成角，则，故选项D不正确.
故选：D

12、A
【解析】分别过作准线的垂线，垂足分别为，设，则， ，故选A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】结合点差法求得正确答案.
【详解】椭圆方程可化为，
设是椭圆上的点，是弦的中点，
则，两式相减并化简得，
即，
所以弦所在直线方程为，即.
故答案为：
14、
【解析】利用复数除法化简，由共轭复数的概念写出即可.
【详解】，
∴.
故答案为：
15、7578
【解析】根据新定义得数列是周期数列，从而易求得
【详解】∵成等比数列，，∴，
又，为“和谐递进数列”，∴，，，，…，
∴数列是周期数列，周期为4
∴
故答案为：7578
16、
【解析】根据椭圆定义求出其长半轴长，再结合焦点坐标即可计算作答.
【详解】因椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于，则该椭圆长半轴长，
而半焦距，于是得短半轴长b，有，
所以的标准方程为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）.
（2）.
【解析】（1）设圆M的方程为，由已知条件建立方程组，求解即可；
（2）设，，依题意得.代入圆M的方程可得点P的轨迹方程.
【小问1详解】
解：设圆M的方程为，则圆心
依题意得，解得.
所以圆M的方程为.
【小问2详解】
解：设，，依题意得，得.
点为圆M上的动点，得，
化简得P的轨迹方程为.
18、（1）0.56
（2）0.94（3）0.38
【解析】（1）根据独立事件的概率公式计算；
（2）结合对立事件的概率公式、独立事件的概率公式计算
（3）利用互斥事件与独立事件的概率公式计算
【小问1详解】
设甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，
甲乙两人同时击中目标的概率；
【小问2详解】
甲乙两人中至少有一个人击中目标的概率为；
【小问3详解】
甲乙两人中恰有一人击中目标的概率为

19、（1）
（2）或
【解析】（1）根据点到直线的距离公式求出半径，即可得到圆C的标方程；
（2）根据弦长公式可求出圆心C到直线的距离，再根据点到直线的距离公式结合分类讨论思想即可求出
【小问1详解】
设圆C的半径为r，∵C与l相切，∴，
∴圆C的标准方程为
【小问2详解】
由可得圆心C到直线的距离
∴当的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到的距离为3，符合条件；
当的斜率存在时，设，圆心C到直线的距离，解得，此时的方程为，即
综上，的方程为或
20、 (1)
(2) .
【解析】（1）根据等差数列的求和公式可得，得，然后由已知可得公差，进而求出通项；（2）先明确=，为等差乘等比型通项故只需用错位相减法即可求得结论.
解析：
（Ⅰ）由，得
因为所以

（Ⅱ）

21、（1）
（2）9
【解析】（1）根据题意列出关于等比数列首项、公比的方程组即可解决；
（2）利用等比数列的前项和的公式，解方程即可解决.
【小问1详解】
设各项均为正数的等比数列首项为，公比为
则有，解之得
则等比数列的通项公式.
【小问2详解】
由，可得
22、当圆柱底面半径为，高为时，总成本最底.
【解析】设圆柱底面半径为cm，高为cm，圆柱表面积为Scm2，进而根据体积得到，然后求出表面积，进而运用导数的方法求得表面积的最小值，此时成本最小.
【详解】设圆柱底面半径为cm，高为cm,圆柱表面积为Scm2,每平方厘米金属包装造价为元，
由题意得：，则 ，表面积
造价，，
令，得，令，得，
的单调递减区间为，递增区间为，
当圆柱底面半径为，高为时，总成本最底.