2025-2026学年崇左市重点中学数学高二第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

2025-2026学年崇左市重点中学数学高二第一学期期末学业水平测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则此抛物线的方程为（ ）

A. B.
C. D.
2．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高二被抽取的人数为人，那么高三被抽取的人数为（）
A. B.
C. D.
3．在三棱锥中，平面，，，，Q是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（）
A. B.
C. D.
4．用1，2，3，4这4个数字可写出（）个没有重复数字的三位数
A.24 B.12
C.81 D.64
5．若数列的前n项和(n∈N*)，则=（ ）
A.20 B.30
C.40 D.50
6．若，则图像上的点的切线的倾斜角满足（）
A.一定为锐角 B.一定为钝角
C.可能为 D.可能为直角
7．已知抛物线的方程为，则此抛物线的准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8．下列数列是递增数列的是（ ）
A. B.
C. D.
9．函数在区间上的最小值是（）
A. B.
C. D.
10．若直线与直线垂直，则a的值为（ ）
A.2 B.1
C. D.
11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则的形状为（）
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
12．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，.若双曲线M的右支上存在点P，使，则双曲线M的离心率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《算法九章·商功》中，后人称之为“三角垛”.已知某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层（从上往下）球数构成一个数列，则___________，___________.

14．如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球相切于，由球和圆的几何性质，可以知道，，于是.由的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以为焦点的椭圆.如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源，则球在桌面上的投影是椭圆.已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为___________.

15．某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有人，则该样本的老年教师人数为______.
类别
老年教师
中年教师
青年教师
合计
人数
900
1800
1600
4300

16．某公司青年、中年、老年员工的人数之比为10∶8∶7，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是0.2，则该公司青年员工的人数为__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过，，三点，求椭圆E的标准方程
18．（12分）设函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若有两个零点，，求的取值范围，并证明：
19．（12分）在正方体中，，，分别是，，的中点.

（1）证明：平面平面；
（2）求直线与所成角的正切值.
20．（12分）已知曲线上任意一点满足方程，
（1）求曲线的方程；
（2）若直线与曲线在轴左、右两侧的交点分别是，且，求的最小值.
21．（12分）已知函数，当时，有极大值3
（1）求的值；
（2）求函数的极小值
22．（10分）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率最大值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据抛物线定义，结合三角形相似以及已知条件，求得，则问题得解.
【详解】根据题意，过作垂直于准线，垂足为，过作垂直于准线，垂足为，如下所示：

因为，又//，，
则，
故可得，又△△，
则，即，解得，
故抛物线方程为：.
故选：.
2、C
【解析】利用分层抽样求出的值，进而可求得高三被抽取的人数.
【详解】由分层抽样可得，可得，
设高三所抽取的人数为，则，解得.
故选：C.
3、C
【解析】由平面，直线与平面所成角的最大时，最小，也即最小，，由此可求得，从而得，得长，然后取外心，作，取H为的中点，使得，则易得，求出的长即为外接球半径，从而可得面积
【详解】三棱锥中，平面，直线与平面所成角为，
如图所示；则，且的最大值是，
，的最小值是，
即A到的距离为，，，
在中可得，又，
，可得；
取的外接圆圆心为，作，
取H为的中点，使得，则易得，
由，解得，，
，，
由勾股定理得，
所以三棱锥的外接球的表面积是
.

【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是确定球的球心，三棱锥的外接球心在过各面外心且与此面垂直的直线上
4、A
【解析】由题意，从4个数中选出3个数出来全排列即可.
【详解】由题意，从4个数中选出3个数出来全排列，共可写出个三位数.
故选：A
5、B
【解析】由前项和公式直接作差可得.
【详解】数列的前n项和(n∈N*)，所以
.
故选：B.
6、C
【解析】求出导函数，判断导数的正负，从而得出结论
【详解】，
时，，递减，时，，递增，
而，
所以切线斜率可能为正数，也可能为负数，还可以为0，
则倾斜角可为锐角，也可为钝角，还可以为，
当时，斜率不存在，而存在，则不成立.
故选：C
7、A
【解析】由抛物线的方程直接写出其准线方程即可.
【详解】由抛物线的方程为，则其准线方程为：
故选：A
8、C
【解析】分别判断的符号，从而可得出答案.
【详解】解：对于A，，则，
所以数列为递减数列，故A不符合题意；
对于B，，则，所以数列为递减数列，故B不符合题意；
对于C，，则，
所以数列为递增数列，故C符合题意；
对于D，，则，
所以数列递减数列，故D不符合题意.
故选：C.
9、B
【解析】求出导函数，确定函数的单调性，得极值，并求出端点处函数值比较后可得最小值
【详解】解：因为，于是函数在上单调递增，在上单调递减，
，，得函数在区间上的最小值是
故选：B
10、A
【解析】根据两条直线垂直的条件列方程，解方程求得的值.
【详解】由于直线与直线垂直，所以，解得.
故选：A
11、B
【解析】直接利用正弦定理以及已知条件，求出、、的关系，即可判断三角形的形状
【详解】解：在中，已知，，，分别为角，，的对边），
由正弦定理可知：，
所以，解得，所以为等边三角形
故选：
【点睛】本题考查三角形的形状的判断，正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题
12、A
【解析】利用三角形正弦定理结合，用a，c表示出，再由点P的位置列出不等式求解即得.
【详解】依题意，点P不与双曲线顶点重合，在中，由正弦定理得：，
因，于是得，而点P在双曲线M的右支上，即，
从而有，点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有，
因此，，而，整理得，即，解得，
又，故有，
所以双曲线M的离心率的取值范围为.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①. ②.
【解析】根据，，得到，利用累加法和等差数列求和公式求出，再利用裂项抵消法进行求和.
【详解】因为，，，，，
以上个式子累加，得，
则；
因为，
所以
.
故答案为：，.
14、##0.5
【解析】利用球与圆锥相切，得出截面，在平面图形中求解，以及圆锥曲线的来源来理解切点为椭圆的一个焦点，求出，得出离心率.
【详解】设球切于，切于E，，球半径为2，

所以，，
∴，又中，，
，故椭圆长轴长为,,
根据椭圆在圆锥中截面与二球相切的切点为椭圆的焦点知：球O与
相切的切点为椭圆的一个焦点，且，
，
椭圆的离心率为.
故答案：.
15、【解析】由题意，总体中青年教师与老年教师比例为；设样本中老年教师的人数为x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即，解得.
故答案为.
考点：分层抽样.
16、200
【解析】先根据分层抽样的方法计算出该单位青年职工应抽取的人数，进而算出青年职工的总人数.
【详解】由题意，从中抽取100名员工作为样本，需要从该单位青年职工中抽取（人）.因为每人被抽中的概率是0.2，所以青年职工共有（人）.
故答案：200.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】分椭圆的焦点在轴上与焦点在轴上，两种情况讨论，利用待定系数法求出椭圆方程；
【详解】解：（1）当椭圆的焦点在轴上时，
设其方程为 ()，则
又点C在椭圆上，得，解得，
所以椭圆E的方程为
（2）当椭圆的焦点在轴上时，
设其方程为 ()，则
又点C在椭圆上，得，解得，
这与矛盾
综上可知，椭圆的方程为
18、（1）答案见详解
（2），证明见解析
【解析】（1）求导得，，分类讨论参数a的范围即可判断单调区间；
（2）设，，联立整理得，构造得
，构造函数，结合导数判断单调性，进而得证.
小问1详解】
由，，可得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得
所以在单调递减，在单调递增；
【小问2详解】
证明：因为函数有两个零点，由（1）得，
此时的递增区间为，递减区间为，有极小值.
所以，可得,所以.
由（1）可得的极小值点为，则不妨设.
设，，则则，
即，整理得，所以，
设，则，所以在上单调递减，
所以，所以，即.
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）分别证明∥平面，∥平面，最后利用面面平行的判定定理证明平面∥平面即可；
（2）由∥得即为直线与所成角，在直角△即可求解.
【小问1详解】
∵∥且EN平面MNE ,BC平面MNE ,
∴BC∥平面MNE ,
又∵∥且EM平面MNE , 平面MNE ,
∴∥平面MNE
又∵, ∴ 平面∥平面,
【小问2详解】
由（1）得∥,
∴ 为直线MN与所成的角，
设正方体的棱长为a,
在△中，，，
∴.
20、（1）
（2）8
【解析】（1）根据双曲线的定义即可得出答案；
（2）可设直线的方程为，则直线的方程为，由，求得，同理求得，从而可求得的值，再结合基本不等式即可得出答案.
【小问1详解】
解：设，
则，等价于，
曲线为以为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为，
故曲线的方程为：；
【小问2详解】
解：由题意可得直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，
则直线的方程为，由，得，
所以，
同理可得，，
所以，，
当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值8.
21、（1）；（2）0
【解析】（1）由题意得，则可得到关于实数的方程组，求解方程组，即可求得的值；
（2）结合（1）中的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的极小值.
【详解】（1），当时，有极大值3，所以
，解得，
经检验，满足题意，所以；
（2）由（1）得，则，令，得或，
列表得

极小值

极大值

易知是函数的极小值点，所以当时，函数有极小值0
【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的极值，考查了学生对极值概念的理解与运算求解能力.
22、（1）；（2）最大值为.
【解析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线斜率的最大值为.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为
设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为
设直线的斜率为k，则
令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为
[方法四]参数+基本不等式法
由题可设
因，所以
于是，所以
则直线的斜率为
当且仅当，即，时等号成立，所以直线斜率的最大值为
【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.