2026届内蒙古集宁第一中学数学高二第一学期期末调研试题含解析.doc

2026届内蒙古集宁第一中学数学高二第一学期期末调研试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角终边上有一点（1，2），为锐角，且，则（）
A.-18 B.-6
C. D.
2．己知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（）
A.24 B.22
C.20 D.16
3．某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（）种
A.9 B.36
C.54 D.108
4．如图，，是平面上两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以，为焦点的椭圆M上，则（ ）

A.点B和C都在椭圆M上 B.点C和D都在椭圆M上
C.点D和E都在椭圆M上 D.点E和B都在椭圆M上
5．元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走.遇店添一倍，逢友饮一斗.”基于此情景，设计了如图所示的程序框图，若输入的，输出的，则判断框中可以填（）

A. B.
C. D.
6．下列命题正确的是（）
A经过三点确定一个平面
B.经过一条直线和一个点确定一个平面
C.四边形确定一个平面
D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
7．函数在上单调递增，则k的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
8．如图，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足为右焦点，且，点到右准线的距离为，则椭圆方程为（）

A. B.
C. D.
9．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（大夫爵位最高，爵位依次从高变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，问这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（）
A.14 B.20
C.18 D.16
10．在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（）
A. B.
C. D.
11．在空间直角坐标系中，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
12．已知等比数列，且，则 （ ）
A.16 B.32
C.24 D.64
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线为______
14．如图，E，F分别是三棱锥的棱AD，BC的中点，，，，则异面直线AB与EF所成的角为______.

15．用秦九韶算法求函数，当时的值时，___________
16．已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于A，B两点，若是等腰三角形，且，则的面积为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知等比数列{}的各项均为正数，，，成等差数列，，数列{}的前n项和，且.
（1）求{}和{}的通项公式；
（2）设，记数列{}的前n项和为.求证：.
18．（12分）等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，求.
19．（12分）在①成等差数列；②成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.
问题：已知为数列的前项和，，且___________.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
20．（12分）已知抛物线的焦点F，C上一点到焦点的距离为5
（1）求C的方程；
（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程
21．（12分）已知数列中，，且
（1）求证：数列是等差数列，并求出；
（2）数列前项和为，求
22．（10分）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，的面积为1.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设点是抛物线上异于点的一点，直线与直线交于点，过作轴的垂线交抛物线于点，求证：直线过定点.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由终边上的点可得，由同角三角函数的平方、商数关系有，再应用差角、倍角正切公式即可求.
【详解】由题设，，，则，
又，，
所以.
故选：A
2、A
【解析】由抛物线的性质：过焦点的弦长公式计算可得.
【详解】设直线，的斜率分别为，
由抛物线的性质可得，，
所以，
又因为，所以，
所以，
故选：A.
3、C
【解析】根据给定条件利用排列并结合排除法列式计算作答.
【详解】从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3名教师，派到3个不同的乡村支教，不同的选派方案有种，
选出3名教师全是男教师的不同的选派方案有种，
所以3名教师中男女都有的不同的选派方案共有种
故选：C
4、C
【解析】根据椭圆的定义判断即可求解.
【详解】因为，
所以椭圆M中，
因为，,
,,
所以D，E在椭圆M上.
故选：C
5、D
【解析】根据程序框图的算法功能，模拟程序运行即可推理判断作答.
【详解】由程序框图知，直到型循环结构，先执行循环体，条件不满足，继续执行循环体，条件满足跳出循环体，则有：
当第一次执行循环体时，，，条件不满足，继续执行循环体；
当第二次执行循环体时，，，条件不满足，继续执行循环体；
当第三次执行循环体时，，，条件不满足，继续执行循环体；
当第四次执行循环体时，，，条件不满足，继续执行循环体；
当第五次执行循环体时，，，条件满足，跳出循环体，输出，
于是得判断框中的条件为：，
所以判断框中可以填：.
故选：D
6、D
【解析】由平面的基本性质结合公理即可判断.
【详解】对于A，过不在一条直线上三点才能确定一个平面，故A不正确；
对于B，经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B不正确；
对于C，空间四边形不能确定一个平面，故C不正确；
对于D，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确.
故选：D
7、A
【解析】对函数 求导，由于函数在给定区间上单调递增，故恒成立.
【详解】由题意可得， ， ，，.
故选：A
8、A
【解析】设椭圆方程为，设该椭圆的焦距为，则，求出点的坐标，根据可得出，可得出，，结合已知条件求得的值，可得出、的值，即可得出椭圆的方程.
【详解】设椭圆方程为，设该椭圆的焦距为，则，
由图可知，点第一象限，将代入椭圆方程得，
得，所以，点，
易知点、，，，
因为，则，得，可得，则，
点到右准线的距离为为，则，，
因此，椭圆的方程为.
故选：A.
9、D
【解析】根据题意，建立等差数列模型，结合等差数列公式求解即可.
【详解】解：根据题意，设每人所出钱数成等差数列，公差为，前项和为，
则由题可得，解得，
所以不更出的钱数为.
故选：D.
10、C
【解析】根据点关于原点对称的性质即可知答案.
【详解】由点关于原点对称，则对称点坐标为该点对应坐标的相反数，
所以.
故选：C
11、B
【解析】直接利用空间向量的坐标运算求解.
【详解】解：因为，，
所以.
故选：B
12、A
【解析】由等比数列的定义先求出公比，然后可解..
【详解】，得

故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据给定条件求出两曲线的共同焦点，再由椭圆、双曲线定义求出a，b即可计算作答.
【详解】椭圆的焦点，由椭圆、双曲线的对称性不妨令点P在第一象限，
因为等腰三角形，由椭圆的定义知：，则，，
由双曲线定义知：，即，，，
所以双曲线的渐近线为：.
故答案为：
【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)渐近线方程为，而双曲线
(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.
14、
【解析】取的中点，连结，由分别为的中点，可得(或其补角)为异面直线AB与EF所成的角，在求解即可.
【详解】取的中点，连结
由分别为的中点，则
所以(或其补角)为异面直线AB与EF所成的角
由 分别是的中点,则，
又在中, ，则
所以, 又，所以在直角中，
故答案为：

15、0
【解析】利用秦九韶算法的定义计算即可.
【详解】
故答案为: 0
16、
【解析】根据题意可知，，再结合，即可求出各边，从而求出的面积
【详解】，所以，而是的等腰三角形，所以，故的面积为
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）证明见解析
【解析】设等比数列的公比为，由，，成等差数列，解得．由，利用通项公式解得，可得．由数列的前项和，且，时，，化简整理即可得出；
（2），利用裂项求和方法、数列的单调性即可证明结论
【小问1详解】
设等比数列的公比为，，，成等差数列，
，即，化为：，解得
，，即，解得，

数列的前项和，且，
时，，化为：，
，数列是每项都为1的常数列，
，化为
【小问2详解】
证明：，
数列的前项和为，

18、（1），（2）
【解析】（1）根据条件列关于公差与公比的方程组，解方程组可得再根据等差数列与等比数列通项公式得结果（2）根据错误相减法求数列的前项和为，注意作差时项符号的变化以及求和时项数的确定
试题解析：（1）设数列的公差为，数列的公比为，则
由
得解得
所以，.
（2）由（1）可知，
∴①
②
①—②得：

，
∴.
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
19、（1）
（2）
【解析】（1）由可知数列是公比为的等比数列，若选①：结合等差数列等差中项的性质计算求解；若选②：利用等比数列等比中项的性质计算求解，若选③：利用直接计算；
（2）根据对数的运算，可知数列为等差数列，直接求和即可.
【小问1详解】
由，当时，，即，即，所以数列是公比为的等比数列，
若选①：由，即，，所以数列的通项公式为；
若选②：由，所以，所以数列的通项公式为；
若选③：由，即，所以数列的通项公式为；
【小问2详解】
由（1）得，所以数列为等差数列，所以.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）由抛物线的定义，结合已知有求p，写出抛物线方程.
（2）由题意设直线l为，联立抛物线方程，应用韦达定理可得，由中点公式有，进而求k值，写出直线方程.
【详解】（1）由题意知：抛物线的准线为，则，可得，
∴C的方程为.
（2）由（1）知：，由题意知：直线l的斜率存在，令其方程为，
∴联立抛物线方程，得：，，
若，则，而线段AB中点的纵坐标为-1，
∴，即，得，
∴直线l的方程为.
【点睛】关键点点睛：
（1）利用抛物线定义求参数，写出抛物线方程；
（2）由直线与抛物线相交，以及相交弦的中点坐标值，应用韦达定理、中点公式求直线斜率，并写出直线方程.
21、（1）证明见解析，
（2）
【解析】（1）利用等差数列的定义可证是等差数列，利用等差数列的通项公式可求.
（2）利用错位相减法可求.
【小问1详解】
因为，
是以为首项，为公差的等差数列，
，.
【小问2详解】
，
，
，
.
22、（1）
（2）证明见解析
【解析】(1)由条件列方程求，由此可得抛物线方程；(2)方法一：联立直线与抛物线方程，结合条件三点共线，可证明直线过定点，方法二：联立直线与抛物线方程，联立直线与直线求，由垂直与轴列方程化简，可证明直线过定点.
【小问1详解】
因为点在抛物线上，所以，即，
，因为，故解得，
抛物线的标准方程为
【小问2详解】
设直线的方程为，
由，得，所以，
由（1）可知
当时，，此时直线的方程为，
若时，
因为三点共线，所以，
即，
又因为，
，
化简可得，
又，进而可得，
整理得，因为
所以，
此时直线的方程为，
直线恒过定点
又直线也过点，
综上：直线过定点

解法二：设方程
，得

若直线斜率存在时
斜率
方程为即
解得：，于是有
整理得.
（*）代入上式可得
所以直线方程为
直线过定点.
若直线斜率不存在时，直线方程为
所以P点坐标为，M点坐标为此时直线方程为过点
综上：直线过定点.
【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；
(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题