广西桂林中山中学2025-2026学年数学高二上期末达标检测模拟试题含解析.doc

广西桂林中山中学2025-2026学年数学高二上期末达标检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）
A. B.
C. D.
2．椭圆上一点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离是（）
A. B.
C. D.
3．饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（）

A. B.
C. D.
4．已知m是2与8的等比中项，则圆锥曲线x2﹣＝1的离心率是（　　）
A.或 B.
C. D.或
5．在中，，，，若该三角形有两个解，则范围是（）
A. B.
C. D.
6．已知正数x，y满足，则取得最小值时（）
A. B.
C.1 D.
7．某制药厂为了检验某种疫苗预防的作用，把名使用疫苗的人与另外名未使用疫苗的人一年中的记录作比较，提出假设：“这种疫苗不能起到预防的作用”，利用列联表计算得，经查对临界值表知.则下列结论中，正确的结论是（）
A.若某人未使用该疫苗，则他在一年中有的可能性生病
B.这种疫苗预防的有效率为
C.在犯错误的概率不超过的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用”
D.有的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用
8．等比数列满足，，则（）
A.11 B.
C.9 D.
9．直线（t为参数）被圆所截得的弦长为（）
A. B.
C. D.
10．已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则
A.2 B.3
C. D.4
11．如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（）

A. B.
C. D.
12．函数的导数为（ ）
A.
B.
C
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列{}的前n项和为，则该数列的通项公式__________.
14．椭圆的右焦点为，过原点的直线与椭圆交于两点、，则的面积的最大值为___________.
15．过圆上一点的圆的切线的一般式方程为________
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的长为5，若，那么△的周长是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为、，椭圆上的点到左焦点最近的距离为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若经过点的直线与椭圆C交于M，N两点，当的面积取得最大值时，求直线的方程.
18．（12分）已知数列满足，.
（1）求证数列是等差数列，并求通项公式；
（2）已知数列的前项和为，求.
19．（12分）如图，在几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，，且是的中点.

（1）求证:平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．（12分）2017年国家提出乡村振兴战略目标：2020年取得重要进展，制度框架和政策体系基本形成；2035年取得决定性进展，农业农村现代化基本实现；2050年乡村全面振兴，农业强、农村美、农民富全面实现．某地为实现乡村振兴，对某农产品加工企业调研得到该企业2012年到2020年盈利情况：
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
盈利y（百万）
6.0
6.1
6.2
6.0
6.4
6.9
6.8
7.1
7.0
（1）根据表中数据判断年盈利y与年份代码x是否具有线性相关性；
（2）若年盈利y与年份代码x具有线性相关性，求出线性回归方程并根据所求方程预测该企业2021年年盈利（结果保留两位小数）
参考数据及公式：，，，
，，
统计中用相关系数r来衡量变量y，x之间的线性关系的强弱，当时，变量y，x线性相关
21．（12分）圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求：
（1）周长最小的圆的方程；
（2）圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程
22．（10分）在直角坐标系中，点到两点、的距离之和等于，设点的轨迹为，直线与交于、两点
（1）求曲线的方程；
（2）若，求的值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】两直线垂直，斜率之积为，曲线与直线相切，联立方程令.
【详解】法一：直线，所以，所以切线的，设切线的方程为，联立方程，所以 ，令，解得，所以切线方程为.
法二：直线，所以，所以切线的，，所以令，所以，带入曲线方程得切点坐标为，所以切线方程为，化简得.
故选：A.
2、B
【解析】利用椭圆的定义可得结果.
【详解】在椭圆中，，由椭圆的定义可知，到另一个焦点的距离是.
故选：B.
3、B
【解析】利用古典概型的概率求解.
【详解】解：点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，
则样本空间{（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，
记“3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B”为事件，则{（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知
故选：B
4、A
【解析】利用等比数列求出m，然后求解圆锥曲线的离心率即可
【详解】解：m是2与8的等比中项，可得m＝±4，
当m=4时,圆锥曲线为双曲线x2﹣＝1, 它的离心率为：,
当m=-4时，圆锥曲线x2﹣＝1为椭圆，离心率：，
故选：A
5、D
【解析】根据三角形解得个数可直接构造不等式求得结果.
【详解】三角形有两个解，，即.
故选：D.
6、B
【解析】根据基本不等式进行求解即可.
【详解】因为正数x，y，
所以，当且仅当
时取等号，即时，取等号，而，所以解得，
故选：B
7、C
【解析】根据的值与临界值的大小关系进行判断.
【详解】∵ ，，
∴ 在犯错误的概率不超过的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用”，C对，
由已知数据不能确定若某人未使用该疫苗，则他在一年中有的可能性生病，A错，
由已知数据不能判断这种疫苗预防的有效率为，B错，
由已知数据没有的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用,D错，
故选：C.
8、B
【解析】由已知结合等比数列的性质即可求解.
【详解】由数列是等比数列，得：，
故选：B
9、C
【解析】求得直线普通方程以及圆的直角坐标方程，利用弦长公式即可求得结果.
【详解】因为直线的参数方程为：（t为参数），故其普通方程为，
又，根据，故可得，
其表示圆心为，半径的圆，
则圆心到直线的距离，
则该直线截圆所得弦长为.
故选：C.
10、D
【解析】由题意，圆心到直线的距离，∴，∵直线∴直线的倾斜角为，∵过分别作的垂线与轴交于两点，∴，故选D.
11、A
【解析】以C为坐标原点，分别以，，方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.运用异面直线的空间向量求解方法，可求得答案.
【详解】解：以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得，，，，则，，
所以.
又因为异面直线所成的角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.

12、B
【解析】由导数运算法则可求出.
【详解】，

.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2n+1
【解析】由计算，再计算可得结论
【详解】由题意时，，
又适合上式，
所以
故答案为：
【点睛】本题考查由求通项公式，解题根据是，但要注意此式不含，
14、
【解析】分析可知点、关于原点对称，可知当、为椭圆短轴的端点时，的面积取得最大值.
【详解】椭圆中，，，则，则，
由题意可知，、关于原点对称，
当、为椭圆短轴的端点时，的面积取得最大值，且最大值为.
故答案为：.
15、
【解析】求出过切线的半径所在直线斜率，由垂直关系得切线斜率，然后得直线方程，现化为一般式
【详解】圆心为，，所以切线的斜率为，切线方程为，即
故答案为：
【点睛】本题考查求过圆上一点的圆的切线方程，利用切线性质求得斜率后易得直线方程
16、16
【解析】利用椭圆的定义可知，又△的周长，即可求焦点三角形的周长.
【详解】由椭圆定义知：，
所以△的周长为.
故答案为：16.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意得，，进而解方程即可得答案；
（2）根据题意设直线的方程，，，进而，再联立方程，结合韦达定理求解即可.
【小问1详解】
解：因为椭圆C：的离心率为，
所以，
因为椭圆上的点到左焦点最近的距离为，
所以
所以，
所以椭圆C的方程为.
【小问2详解】
解：根据题意，设直线的方程，，
设，
联立方程得，
所以，解得或.
，
所以的面积为
令，
则,
当且仅当，即时，等号成立.
所以当的面积取得最大值时，直线的方程为.
18、（1）证明见详解，
（2）
【解析】（1）由题意将原式化简变形得到，可证明数列是等差数列，由等差数列的通项公式则可得，进而得到的通项公式；
（2）由（1）把的通项公式代入，得到，利用乘公比错位相减法求和即可.
【小问1详解】
若，则，这与矛盾，
，
由已知得，
，故数列是以为首项，2为公差的等差数列，，即.
【小问2详解】
设，则由（1）知，
所以，
，
两式相减，则，
所以.
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）取的中点F，连接EF，，由四边形是平行四边形即可求解；
（2）采用建系法，以为轴，为轴，垂直底面方向为轴，求出对应点坐标，结合二面角夹角余弦公式即可求解.
【小问1详解】
取的中点F，连接EF，，∵，
∴，且，∴，
∴四边形是平行四边形，∴，
又平面，平面，∴平面；

【小问2详解】
取AC的中点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，∴，.
设平面的法向量是，则，
即，令，得，
易知平面的一个法向量是，
∴，
又二面角是钝二面角，
∴二面角的余弦值为.

20、（1）年盈利y与年份代码x具有线性相关性
（2），7.25百万元
【解析】（1）根据表中的数据和提供的公式计算即可；
（2）先求线性回归方程，再代入计算即可
【小问1详解】
由表中的数据得，，，
，
因为，
所以年盈利y与年份代码x具有线性相关性
【小问2详解】
，
，，当时，，
该企业2021年年盈利约为7.25百万元
21、（1）x2＋(y－1)2＝10；（2）(x－3)2＋(y－2)2＝20.
【解析】（1）根据当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小进行求解即可；
（2）根据垂径定理，通过解方程组求出圆心坐标，进而可以求出圆的方程.
【详解】解：（1）当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即AB中点(0，1)为圆心，半径r＝|AB|＝.故圆的方程为x2＋(y－1)2＝10；
（2）由于AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的斜率为，
AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.
由解得
即圆心坐标是C(3，2)
又r＝|AC|＝＝2.
所以圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
22、（1）；（2）.
【解析】（1）本题可根据椭圆的定义求出点的轨迹；
（2）本题首先可设、，然后联立椭圆与直线方程，通过韦达定理得出、，最后通过得出，代入、的值并计算，即可得出结果.
【详解】（1）因为点到两点、的距离之和等于，
所以结合椭圆定义易知，点的轨迹是以点、为焦点且的椭圆，
则，，，点的轨迹.
（2）设，，
联立，整理得，
则，，
因为，所以，
即，整理得，
则，整理得，解得.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据椭圆定义求动点轨迹以及直线与抛物线相关问题的求解，椭圆的定义为动点到两个定点的距离为一个固定的常数，考查韦达定理的应用，考查计算能力，是难题.