2025-2026学年安阳市洹北中学高二数学第一学期期末经典模拟试题含解析.doc

2025-2026学年安阳市洹北中学高二数学第一学期期末经典模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是定义在上的函数，其导函数为，且，且，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
2．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），则3+2等于（　　）

A.（5，8，3） B.（5，﹣6，4）
C.（8，16，4） D.（16，0，4）
3．已知向量，且，则（）
A. B.
C. D.
4．直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（）
A. B.
C. D.
5．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
6．如图，在平行六面体中，设，，，用基底表示向量，则（）

A. B.
C. D.
7．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）
A.，， B.，，
C.，， D.，，
8．已知F为椭圆的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且垂直于x轴．若直线AB的斜率为，则椭圆C的离心率为（）
A. B.
C. D.
9．已知为原点，点，以为直径的圆的方程为()
A. B.
C. D.
10．已知平面上两点，则下列向量是直线的方向向量是（）
A. B.
C. D.
11．设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是

A.函数有极大值 和极小值
B.函数有极大值 和极小值
C.函数有极大值 和极小值
D.函数有极大值 和极小值
12．某学生2021年共参加10次数学竞赛模拟考试，成绩分别记为，，，…，，为研究该生成绩的起伏变化程度，选用一下哪个数字特征最为合适（ ）
A.，，，…，的平均值； B.，，，…，的标准差；
C.，，，…，的中位数； D.，，，…，的众数；
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则的导函数______.
14．已知圆：，：.则这两圆的连心线方程为_________（答案写成一般式方程）
15．已知函数满足：①是奇函数；②当时，．写出一个满足条件的函数________
16．已知点在圆C：（）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，，，求的长.
18．（12分）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
19．（12分）已知等比数列的公比，且，的等差中项为5，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20．（12分）已知各项均为正数的等比数列{}的前4项和为15，且.
（1）求{}的通项公式；
（2）若，记数列{}前n项和为，求.
21．（12分）如图，第1个图形需要4根火柴，第2个图形需要7根火柴，，设第n个图形需要根火柴

（1）试写出，并求；
（2）记前n个图形所需的火柴总根数为，设，求数列的前n项和
22．（10分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，的周长为8

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，，是椭圆C的短轴端点，P是椭圆C上异于点，的动点，点Q满足，，求证与的面积之比为定值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】令，再结合，和已知条件将问题转化为，最后结合单调性求解即可.
【详解】解：令，则，
因为，所以，即函数为上的增函数，
因为，不等式可化为，
所以，故不等式的解集为
故选：B
2、A
【解析】直接根据空间向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】，
故选：A
3、A
【解析】利用空间向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】由题意可得，
解得，
所以.
故选：A
4、B
【解析】联立已知两条直线方程求出交点，再根据两直线平行则斜率相同求出斜率即可.
【详解】由得两直线交点为(－1，0)，直线l斜率与相同，为，
则直线l方程为y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.
故选：B.
5、C
【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的
6、B
【解析】直接利用空间向量基本定理求解即可
【详解】因为在平行六面体中，，，，
所以

，
故选：B
7、B
【解析】由空间向量内容知，构成基底的三个向量不共面，对选项逐一分析
【详解】对于A：，因此A不满足题意；
对于B：根据题意知道，，不共面，而和显然位于向量和向量所成平面内，与向量不共面，因此B正确；
对于C：，故C不满足题意；
对于D：显然有，选项D不满足题意.
故选：B
8、D
【解析】根据题意表示出点的坐标，再由直线AB的斜率为，列方程可求出椭圆的离心率
【详解】由题意得，，
当时，，得，
由题意可得点在第一象限，所以，
因为直线AB的斜率为，
所以，化简得，
所以，，
得（舍去），或，
所以离心率，
故选：D
9、A
【解析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒
【详解】由题知圆心为，半径，
∴圆方程为﹒
故选：A﹒
10、D
【解析】由空间向量的坐标运算和空间向量平行的坐标表示，以及直线的方向向量的定义可得选项.
【详解】解：因为两点，则，
又因为与向量平行，所以直线的方向向量是，
故选：D.
11、D
【解析】则函数增；
则函数减；
则函数减；
则函数增；选D.
【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减
12、B
【解析】根据平均数、标准差、中位数及众数的概念即得.
【详解】根据平均数、中位数、众数的概念可知，平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，标准差描述数据的波动大小估计数据的稳定程度.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用基本初等函数的求导公式及积的求导法则计算作答.
【详解】函数定义域为，则，
所以.
故答案为：
14、
【解析】求出两圆的圆心坐标，再利用两点式求出直线方程，再化成一般式即可
【详解】解：圆，即，
两圆的圆心为： 和，
这两圆的连心线方程为：，即
故答案为：
15、（答案不唯一）
【解析】利用函数的奇偶性及其单调性写出函数解析式即可.
【详解】结合幂函数的性质可知是奇函数，当时，，则符合上述两个条件，
故答案为：（答案不唯一）.
16、
【解析】根据点与圆的位置关系，可求得r的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到关于r的方程，求解即可.
【详解】由点在圆C：内，且
所以，又，解得
过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为
又，
所以，解得
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）由正弦定理化边为角后，结合两角和的正弦公式、诱导公式可求得；
（2）用表示出，然后平方由数量积的运算求得向量的模（线段长度）
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理可得，
即，
因为，所以，，
∵，故；
（2）由，得，
所以，
所以.
18、（1）单调增区间，单调减区间
（2）最大值，最小值
【解析】根据导函数分析函数单调性，在闭区间内的最值
【小问1详解】

时，；时，
单调增区间,单调减区间
【小问2详解】
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以最大值为
又；
故最小值为0
19、（1）；（2）.
【解析】（1）根据条件列关于首项与公比的方程组，解得结果代入等比数列通项公式即可；
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】解析：（1）由题意可得：，
∴
∵，∴，∴数列的通项公式为.
（2）∴

上述两式相减可得
∴
【点睛】本题考查等比数列通项公式、错位相减法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.
20、（1）
（2）
【解析】（1）设正项的等比数列的公比为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式；
（2）由，结合乘公比错位相减求和，即可求解.
小问1详解】
解：设正项的等比数列的公比为，显然不为1，
因为等比数列前4项和为且，可得，
解得，所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
解：由，
所以，
可得，
两式相减得，
所以.
21、（1），；
（2）.
【解析】（1）根据题设找到规律写出，由等差数列的定义求.
（2）由等差数列前n项和求，再利用裂项相消法求.
【小问1详解】
由题意知：，，，，
可得每增加一个正方形，火柴增加3根，即，
所以数列是以4为首项，以3为公差的等差数列，则.
【小问2详解】
由题意可知，，
所以，则，
所以，，
即
22、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）根据周长为8，求得a，再根据离心率求解；
（2）方法一：设，，得到直线和直线的方程，联立求得Q的横坐标，根据在椭圆上，得到，然后代入Q的横坐标求解；方法二：设直线，的斜率分别为k，，点，，直线的方程为，与椭圆方程联立，求得点P横坐标，再由的直线方程联立，得到P，Q的横坐标的关系求解.
【小问1详解】
解：∵的周长为8，
∴，即，
∵离心率，
∴，，
∴椭圆C的标准方程为
【小问2详解】
方法一：设，
则直线斜率，∵，
∴直线斜率，
∴直线的方程为：，
同理直线的方程为：，
联立上面两直线方程，消去y，得，
∵在椭圆上，
∴，即，
∴，
∴
所以与的面积之比为定值4
方法二：设直线，的斜率分别为k，，点，，
则直线的方程为，
∵，∴直线的方程为，
将代入，得，
∵P是椭圆上异于点，的点，
∴，
又∵，即，
∴，即，
由，得直线的方程为，
联立得，
∴
所以与的面积之比为定值4