刚体力学习题课.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,刚体力学习题课,基本思路,两大类:,1.,刚体定轴转动的运动学问题,刚体的运动,=,平动,+,转动,平动刚体 质点 质点力学问题,转动刚体,已知,(,t,),求,用导数,已知,或,求,(,t,),用积分,2.,刚体定轴转动的动力学问题,关键是分析受力,(,力矩,),两套方法,:,(1),方法一,:,用转动定律解题,平动物体,用隔离体法,写出牛顿方程,转动物体,用隔离体法,分析力矩,写出转动方程,由角量和线量关系,将平动和转动联系起来,方法二,:,用运动定理或守恒定律解题,刚体定轴转动的动能定理和功能原理,(,包括机械能守恒,),刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒,3.,习题的基本类型,刚体的纯转动问题,刚体平动与转动的综合问题,质点与刚体的碰撞问题,(2),习题,1:,如图所示,一根质量,m,、长,l,的均匀细棒,AB,可,绕一水平的光滑转轴,O,在竖直平面内转动,O,轴离,A,端,的距离为,l,/3,。,今使棒从静止开始由水平位置绕,O,轴,转动。,求,:,1),棒在水平位置时刚起动时的角加速度,;,2),棒转到竖直位置时的角速度和角加速度,;,3),棒转到竖直位置时,棒两端和中点的速度和加速度。,C,解,:,以棒为对象,受重力和轴的支持力,支持力不产生力矩。,选顺时针方向为正。,1),棒在水平位置时受到的合外力矩,:,(3),A,B,O,.,l,/3,棒对,O,轴的转动惯量：,由转动定律得,2),重力矩的元功,:,棒从水平位置转到竖直位置,(,角速度为,),过程中,重力矩作功,:,由动能定理得,竖直位置时,棒受重力矩为零,此时瞬时角加速度为零,(4),C,A,B,O,.,l,/3,3),方向向左,方向向右,方向向左,(,法向无切向,),指向,O,点,(,法向无切向,),指向,O,点,(,法向无切向,),指向,O,点,(5),C,A,B,.,C,.,B,A,O,l,/3,h,mg,R,球壳,r,圆盘,m,1,m,2,1,习题,2:,如图所示,不可伸长不打滑的细绳缠绕在球壳,大圆、圆盘上,求,:,物体,m,由静止下落,h,时其速度大小。,2,T,1,T,1,T,2,T,2,解法,1:,利用转动定律,和牛顿定律,有,绳,不打滑,则,物体做匀加速直线运动,则,联立方程,解得,:,(6),a,再利用,对,球壳、圆盘、物体、地球系统,仅保守内力,(,重力,),做功,故机械能守恒,(,取,m,下落,h,处势能为零,),：,即两个,T,1,的,总功,为零,两个,T,2,的总功也为零。,解法,2:,绳不伸长、不打滑,故,可解得同样结果,:,(7),h,mg,R,球壳,r,圆盘,m,1,m,2,1,2,T,1,T,1,T,2,T,2,a,势能零点,d,f,0,r,d,r,习题,3:,圆盘,(,m,R,),以,0,在桌面上转动,受摩擦力而静止,求,:,到圆盘静止所需时间。,解,:,取宽为,d,r,的细圆环,圆盘摩擦力矩,d,m,摩擦力,d,f,的力矩,转动定律,其质量为,(8),另解,:,用角动量定理,习题,4:,如,图,所示,ABC,为金属半圆环,小球与它之间无摩擦,且他们的质量都是,m,系统固定在地面上,且绕竖直轴转动。初始角速度为,0,求,:,小球从,A,运动到,B,和,C,时,环的角速度、小球相对于圆环和地面的速度值。已知半圆环对,AC,轴的转动惯量,J,=,mR,2,/2,解,:,设小球和金属半圆环为系统,系统所受合外力矩为零,角动量守恒,对,A,与,B,状态、,A,与,C,状态分别应用角动量守恒定律得,A,B,C,R,O,(9),小球在,B,点处环的角速度：,小球在,C,点处环的角速度：,设小,球,在,B,、,C,处,相对于环的速度分别为,v,1,、,v,2,小球在,B,、,C,处相对于地的速度分别为,v,B,、,v,C,小球、半圆环和地球组成系统,小球和环之间的非保守内力做功是一对力的功,为零；系统机械能守恒,(,取,O,点为势能零点,),。,则,v,B,2,=,v,1,2,+(,B,R,),2,v,C,2,=,v,2,2,(10),对,A,与,B,状态、,A,与,C,状态分别应用,机械能守恒定律得,A,B,C,R,O,习题,5,：,长为,l,、质量为,m,的均匀杆，在光滑桌面上由竖直位置自然倒下，当倾角为,时，如图所示。,求：,1),质心速度；,2),杆的角速度。,C,.,.,x,y,O,解,:,1),合外力竖直向下,故质心运动向下,t,时刻质心坐标为,设质心速度为,v,C,杆绕质心角速度为,方向竖直向下,2),取杆和地球为系统,则机械能守恒,选,O,点为势能零点,(11),势能零点,=,t,习题,6,:,长为,l,质量,m,的竖直杆可绕水平轴,O,转动,质量为,m,0,的小球垂直击中杆的中部,并且碰撞后自由下落,而杆在碰后的最大偏角为,求,:,1),小球击中杆前的速率,v,0,;,2),使轴上的横向力为零时打击的位置。,解,:,1),小球和杆为系统,碰撞过程角动量守恒,碰撞后以,杆和地球为系统,机械能守恒,(,取杆在竖直位置质心处为势能零点,),(12),h,h,=,l,(1-cos,)/2,2),杆为系统,系统所受外力如图,设小球打击的位置为,x,(13),质心运动定理,转动定律,习题,7:,两个圆盘,(,参数,m,1,m,2,;,R,1,R,2,),以角速度,10,20,旋转，,求,:,它们以下面两种方式衔接后各自的角速度。,10,20,20,解：,1),两圆盘系统仅有摩擦内力矩，,无外力矩作用，所以角动量守恒：,2),两圆盘旋转不同轴，无角动量守恒。,接触处分别有切向摩擦力,f,1,f,2,(=,f,1,),且,10,(14),+,习题,8:,水平圆盘,(,m,1,R,),以,0,转动,;,玩具汽车,(,m,2,质点,),以匀速,v,相对于盘沿一条半径由中心向边缘行驶,;,求,:,玩具汽车行至圆盘边缘时,圆盘转了多少圈,?,解,:,圆盘转动惯量,:,J,1,=,m,1,R,2,/2,车在,r,处转动惯量,:,J,2,=,m,2,r,2,=,m,2,(,v,t,),2,系统角动量守恒,:,(15),玩具汽车对地的速度,v,车地,?,r,习题,9:,质量为,m,、,半径为,R,的转盘,可绕通过中心的竖,直轴转动。质量为,m,0,的人站在边缘上,人和转盘原来,都静止。当人沿转盘边缘匀速奔跑一周时,求,:,对地而言,人和转盘各转动了多少角度？,解,:,以,m,m,0,为研究对象,故系统角动量守恒。,注意,:,应用角动量守恒时必须选择惯性系,选择地面为参照系,正方向如图。,m,x,m,0,设转盘对地面固连的轴的角速度为,盘地,，,人对地面固连的轴的角速度为,人地,(16),+,因人和转盘原来都静止故某状态角动量为,负号表示转盘转动方向于人相反,(17),m,x,m,0,+,习题,10:,水平圆盘,(,M,R,),以角速度,0,绕垂直光滑轴在水,平面内转动,一,小物块,m,以速度,v,垂直落在盘边,并粘上。,求,:1),盘的角速度,;2),小物块受到的冲量,。,R,M,0,m,v,解：,1),对,m,M,系统，碰撞过程所,受合外力矩为零，角动量守恒：,2),对,m,应用动量定理,平行于转轴方向,垂直于转轴方向,(18),I,