高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.4投影与直观图省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT.pptx

-,*,-,1,.,1,.,4,投影与直观图,1/44,1,.,了解平行投影、中心投影定义和主要特征,.,2,.,会用斜二测画法画出简单平面图形和空间图形直观图,.,3,.,经过观察用两种方法,(,平行投影与中心投影,),画出直观图,了解空间图形不一样表示形式,.,2/44,1,2,3,1,.,平行投影,(1),平行投影,:,在一束,平行,光线照射下形成投影,叫做平行投影,.,平行投影投射线是,平行,(,如图,),.,3/44,1,2,3,(2),平行投影性质,:,当图形中直线或线段不平行于投射线时,平行投影含有下述性质,:,直线或线段平行投影仍是,直线,或,线段,.,平行直线平行投影是,平行,或,重合,直线,.,平行于投射面线段,它投影与这条线段,平行且等长,.,与投射面平行平面图形,它投影与这个图形,全等,.,在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影比,等于,这两条线段比,.,4/44,1,2,3,【做一做,1,】,当图形中直线或线段不平行于投射线时,以下关于平行投影性质叙述正确个数是,(,),直线或线段平行投影仍是直线或线段,;,平行直线投影仍是平行直线,;,平行于投射面线段,它投影与这条线段平行且等长,;,矩形平行投影一定是矩形,.,A.1B.2C.3D.4,解析,:,正确,.,答案,:,B,5/44,1,2,3,2,.,直观图,(1),定义,:,当投射线和投射面成适当角度或改变图形相对于投射面位置时,一个空间图形在投射面上,平行投影,(,平面图形,),能够形象地表示这个空间图形,.,像这么用来表示空间图形平面图形,叫做空间图形,直观图,.,(2),空间图形直观图画法,:,斜二测画法,.,(3),用斜二测画法画水平放置平面图形直观图规则是,:,在已知图形中取相互,垂直,x,轴和,y,轴,两轴相交于点,O,画直观图时,把它们画成对应,x,轴与,y,轴,两轴交于点,O,且使,xOy=,45,(,或,135,),它们确定平面表示水平面,.,6/44,1,2,3,已知图形中平行于,x,轴或,y,轴线段,在直观图中分别画成,平行,于,x,轴或,y,轴线段,.,已知图形中平行于,x,轴线段,在直观图中保持原长度,不变,平行于,y,轴线段,长度为原来,二分之一,.,(4),用斜二测画法画立体图形直观图步骤,:,在已知图形所在空间中取水平平面,作相互垂直轴,Ox,Oy,再作,Oz,轴,使,xOz=,90,yOz=,90,.,画出与轴,Ox,Oy,Oz,对应轴,Ox,Oy,Oz,使,xOy=,45,(,或,135,),xOz=,90,xOy,所确定平面表示水平平面,.,7/44,1,2,3,已知图形中,平行于,x,轴、,y,轴和,z,轴线段,在直观图中分别画成,平行,于,x,轴、,y,轴和,z,轴线段,并使它们和所画坐标轴位置关系与已知图形中对应线段和原坐标轴位置关系相同,.,已知图形中平行于,x,轴和,z,轴线段,在直观图中保持长度,不变,平行于,y,轴线段,长度为原来,二分之一,.,画图完成后,擦除作为辅助线坐标轴,就得到了空间图形直观图,.,8/44,1,2,3,名师点拨,1,.,斜二测画法作图规则可简述为,:,竖直或水平方向放置线段画出时方向、长度都不变,前后方向放置线段画出时方向与水平方向成,45,或,135,角,长度画成原长度二分之一,(,仍表示原长度,),.,2,.,直观图是一个平面图形,只是用它来表示空间图形,画图时,被面挡住部分要画成虚线,.,3,.,可从以下两个方面了解斜二测画法,:,(1)“,斜,”,与,“,二测,”,含义,:,“,斜,”,是指在已知图形,xOy,平面内与,x,轴垂直线段,在直观图中均与,x,轴成,45,可认为是倾斜,;“,二测,”,是指两种度量形式,即在直观图中,平行于,x,轴和,z,轴线段长度保持不变,;,平行于,y,轴线段长度变为原来二分之一,.,9/44,1,2,3,(2),斜二测画法中建系标准,:,在已知图形中建立直角坐标系,理论上在任何位置建立坐标系都行,但实际作图时,普通建立特殊直角坐标系,尽可能利用原有直线或图形对称直线为坐标轴,图形对称点为原点或利用原有相互垂直直线为坐标轴等,.,10/44,1,2,3,【做一做,2,-,1,】,以下关于,“,斜二测画法,”,说法不正确是,(,),A.,原图形中平行于,x,轴线段,其对应线段平行于,x,轴,长度不变,B.,原图形中平行于,y,轴线段,其对应线段平行于,y,轴,长度变,C.,画与直角坐标系,xOy,对应坐标系,xOy,时,xOy,必须是,45,D.,在画直观图时,因为选轴不一样,所得直观图可能不一样,解析,:,画与直角坐标系,xOy,对应坐标系,xOy,时,xOy,也能够是,135,所以,C,项不正确,.,答案,:,C,11/44,1,2,3,【做一做,2,-,2,】,如图,该直观图所表示平面图形是,(,),A.,钝角三角形,B.,直角三角形,C.,锐角三角形,D.,等边三角形,解析,:,因为在直观图中三角形两条边平行于坐标轴,所以原来平面图形是直角三角形,.,答案,:,B,12/44,1,2,3,3,.,中心投影,一个,点光源,把一个图形照射到一个平面上,这个图形影子就是它在这个平面上中心投影,(,如图,),.,在绘画时,经常使用这种方法,.,但在立体几何中极少用中心投影原理来画图,.,13/44,1,2,3,【做一做,3,】,相片放大和电影都是,投影,;,几何画图和工程制图都是,投影,.,答案,:,中心,平行,14/44,1,2,3,1,.,中心投影与平行投影区分与联络,剖析,:,中心投影与,平行投影都是空间图形基本画法,但应注意是,:,(1),画实际效果图时,普通用中心投影法,.,如人视觉、照片、美术作品等都含有中心投影特点,;,(2),中心投影和平行投影区分在于,:,平行投影投射线都相互平行,中心投影投射线交于同一点,;,(3),中心投影和平行投影都是空间图形基本画法,平行投影包含斜二测画法和下节将要学习三视图,.,经中心投影后图形与原图形相比即使改变较多,但直观性强,看起来与人视觉效果一致,最像原来物体,;,(4),画立体几何中图形时,普通用平行投影法,.,15/44,1,2,3,2,.,斜二测画法作图技巧,剖析,:,(1),在已知,图中建立直角坐标系,理论上是在任何位置建立坐标系都行,但实际作图时,普通建立特殊直角坐标系,尽可能用原有直线为坐标轴或图形对称轴为坐标轴或图形对称点为原点或利用原有垂直正交直线为坐标轴等,.,(2),在原图中与,x,轴或,y,轴平行线段在直观图中依然与,x,轴或,y,轴平行,原图中不与坐标轴平行线段能够先画出线段端点再连线,画端点时作坐标轴平行线为辅助线,.,原图中曲线段能够经过取一些关键点,利用上述方法作出直观图中对应点后,用平滑曲线连接而画出,.,16/44,1,2,3,(3),在画一个水平放置平面时,因为平面是无限延展,通常我们只画出它一部分表示平面,普通地,用平行四边形表示空间一个水平平面直观图,.,归纳总结,在斜二测画法中,直观图与原图存在以下关系,:(1),平行性不变,;(2),共点性不变,;(3),平行线段长度比不变,.,正因为这么,所以直观图形状即使有很大改变,但我们仍能借助于直观图结合几何体概念,想象出原图形状和性质,.,17/44,1,2,3,3,.,教材中,“,思索与讨论,”,假如一个平面图形所在平面与投射面平行,试问,中心投影后得到图形与原图形有什么关系,?,剖析,:,若一个平面图形所在平面与投射面平行,则中心投影后得到图形与原图形关系,是相同,.,18/44,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,1,】,假如图形所在平面不平行于投射线,那么以下说法正确是,(,),A.,矩形平行投影一定是矩形,B.,梯形平行投影一定是梯形,C.,正方形平行投影一定是矩形,D.,正方形平行投影一定是菱形,19/44,题型一,题型二,题型三,题型四,解析,:,对于选项,A,当矩形所在平面与投射线垂直时,其平行投影是矩形,当矩形所在平面与投射线既不垂直也不平行时,其平行投影普通是平行四边形,故,A,错,.,对于选项,B,因为梯形所在平面与投射线不平行,其平行投影一定是梯形,故,B,正确,.,对于选项,C,和,D,当正方形所在平面与投射线垂直时,其平行投影是正方形,当正方形所在平面与投射线既不垂直也不平行时,其平行投影普通为平行四边形,故,C,和,D,错误,.,答案,:,B,20/44,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,平行投影性质是分析原图形与其投影关系理论依据,.,另外还要注意分析投射线与投射面位置关系,.,21/44,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,1,】,关于平行投影性质,以下说法中不正确是,(,),A.,当直线或线段不平行于投射线时,它平行投影仍是直线或线段,B.,平行直线平行投影仍是平行直线,C.,与投射面平行平面图形,它投影与这个图形全等,D.,在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影比等于这两条线段比,解析,:,当投射线与两平行直线在同一个平面上时,平行直线平行投影成为一条直线,故,B,不正确,.,答案,:,B,22/44,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,2,】,画出一个锐角是,45,平行四边形直观图,.,分析,:,画水平放置平面图形直观图时,建立坐标系至关主要,应将尽可能多点放在坐标轴上,这么,点在直观图中位置更轻易确定,.,23/44,题型一,题型二,题型三,题型四,解,:,如图,四边形,ABCD,是以,A,为,45,平行四边形,以,AB,所在直线为,x,轴,过点,D,且与,AB,垂直直线为,y,轴,建立直角坐标系,.,画出对应,x,轴和,y,轴,使,xOy=,45,如图,在,x,轴上截取,轴,且使,DC=DC.,连接,AD,BC,所得四边形,ABCD,即是所给平面图形直观图,如图,.,24/44,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,画平面图形直观图时,首先要在原图中建好坐标系,再依据作图规则逐步作出,.,25/44,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,2,】,如图,在,ABC,中,BC=,8 cm,BC,边上高,AD=,6 cm,试用斜二测画法画出其直观图,.,解,:,(1),在三角形,ABC,中建立直角坐标系,xOy,(,如图,),再建立直角坐标系,xOy,(,如图,),使,xOy=,45,.,26/44,题型一,题型二,题型三,题型四,(2),在坐标系,xOy,中,在,x,轴上截取,OB=OB,OC=OC,;,在,y,轴,(3),连接,AB,CA,得到,ABC,即为,ABC,直观图,.,27/44,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,3,】,有一个正三棱锥,底面边长为,3 cm,高为,3 cm,画出这个正三棱锥直观图,.,分析,:,依据斜二测画法,先选择恰当坐标系画出正三角形直观图,再确定出正三棱锥顶点即可,.,解,:,(1),先画出边长为,3,cm,正三角形水平放置直观图,如图,;,(2),过正三角形中心,O,建立,z,轴,画出正三棱锥顶点,V,使,VO=,3,cm,连接,VA,VB,VC,如图,.,(3),擦去辅助线,被遮住部分用虚线表示,得到正三棱锥直观图,如图,.,28/44,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,正棱锥直观图在今后学习中经常要用到,应该掌握正棱锥直观图画法思绪,方便在今后学习中,能够较快、较准确地画出正棱锥草图,.,画草图步骤为,:,画底面、找底面中心、作高连线,.,29/44,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,3,】,画出底面边长为,1,.,2 cm,正方形,侧棱均相等,且高为,1,.,5 cm,四棱锥直观图,.,解,:,画法,:(1),画轴,.,画,x,轴、,y,轴、,z,轴,使,xOy=,45,xOz=,90,如图,.,(2),画底面,.,以,O,为中心在,x,轴上截取线段,EF,使,EF=,1,.,2,cm,在,y,轴上截取线段,GH,使,GH=,0,.,6,cm,.,分别过,E,F,作,y,轴平行线,过,G,H,作,x,轴平行线,则交点分别为,A,B,C,D,即四边形,ABCD,为底面正方形直观图,.,(3),画高,.,在,z,轴上截取,OP,使,OP=,1,.,5,cm,.,(4),成图,.,顺次连接,PA,PB,PC,PD,并擦,去辅助线,将被遮住部分改为虚线,得四棱锥直观图,如图,.,30/44,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,4,】,如图,图形,ABCD,是一个平面图形直观图,A=,45,请画出它实际图形,.,分析,:,已知直观图是一个锐角为,45,平行四边形,建立直观图坐标系,建立平面直角坐标系,还原实际图形,31/44,题型一,题型二,题型三,题型四,解,:,(1),建立一个直角坐标系,如图,.,(2),在,x,轴上截取线段,AB=AB,在,y,轴上截取线段,AD,使,AD=,2,AD.,(3),过点,B,作,BC,AD,过,D,作,DC,AB,使,BC,与,DC,交于点,C,则四边形,ABCD,即为,ABCD,实际图形,.,32/44,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,还原图形过程是画直观图逆过程,它主要包含平行于,x,轴线段长度不变,平行于,y,轴线段长度变为原来,2,倍等,.,33/44,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,4,】,如图,ABC,是,ABC,直观图,图中,BO=OC=CA,CA,Oy,则原图,ABC,是,(,),A.,等边三角形,B.,等腰非直角三角形,C.,直角非等腰三角形,D.,等腰直角三角形,34/44,题型一,题型二,题型三,题型四,解析,:,建立平面直角坐标系,在,x,轴上截取,BO=CO=BO,过,C,作,y,轴平行线并在上面截取,AC=,2,OC,连接,AB,则得,ABC,原图,ABC,如图所表示,因为,AC,BC,且,AC=BC,所以,ABC,是等腰直角三角形,.,答案,:,D,35/44,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,5,】,正三角形,AOB,边长为,a,在用斜二测画法画它水平放置直观图时,建立如图所表示直角坐标系,xOy,则它直观图面积是,.,36/44,题型一,题型二,题型三,题型四,37/44,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,斜二测画法中平面图形直观图与原图形面积比普通,图面积相关选择题或填空题会很有帮助,.,38/44,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,5,】,如图,OAB,是,OAB,水平放置直观图,则,OAB,面积为,(,),答案,:,D,39/44,1,2,3,4,5,1.,以下命题中真命题个数是,(,),正方形平行投影一定是菱形,;,平行四边形平行投影一定是平行四边形,;,三角形平行投影一定是三角形,.,A.0B.1C.2D.3,解析,:,若平面图形所在平面与投射线平行,则上述三个命题中平面图形平行投影都是线段,可知三个命题都不成立,.,故选,A.,答案,:,A,40/44,1,2,3,4,5,2.,以下说法正确是,(,),A.,相等线段在直观图中依然相等,B.,若两条线段平行,则在直观图中对应两条线段依然平行,C.,两个全等三角形直观图一定也全等,D.,两个图形直观图是全等三角形,则这两个图形一定是全等三角形,解析,:,直角坐标系选取不一样时,图形直观图也会不一样,所以选项,A,C,D,错误,但平行关系不会发生改变,.,答案,:,B,41/44,1,2,3,4,5,3.,利用斜二测画法,作出直线,AB,直观图如图,若,OA=OB=,1,则直线,AB,在平面直角坐标系中对应函数表示式是,(,),A.,y=-x+,1B.,y=x-,1 C.,y=-,2,x+,2D.,y=,2,x-,2,解析,:,由直观图还原规律可得,A,B,在直角坐标系中位置如图所表示,.,令函数关系式为,y=kx+b,所以函数表示式为,y=,2,x-,2,.,答案,:,D,42/44,1,2,3,4,5,4.,一个水平放置平面图形斜二测直观图是直角梯形,(,如图,),ABC=,45,AB=AD=,1,DC,BC,则这个平面图形面积为,.,43/44,1,2,3,4,5,5.,用斜二测画法画出图中水平放置四边形,OABC,直观图,.,解,:,如图,.,(1),画,x,轴,y,轴,使,xOy=,45,x,轴,y,轴与,xOy,坐标系对应轴单位长度相同,;,(2),在,x,轴上取点,H,使,OH=,3,作,HA,Oy,并取,AH=,1,在,y,轴上取,C,使,OC=,1,在,x,轴上取,B,使,OB=,4;,(3),顺次连接,O,A,B,C,便得到所求四边形,OABC,直观图四边形,OABC.,44/44,