高中数学第五章数系的扩充与复数的引入习题课复数的模及几何意义的应用省公开课一等奖新名师优质课获奖PP.pptx

-,*,-,习题课,复数模及几何意义应用,1/27,2/27,1,.,复数几何意义,复数,z=a+b,i(,a,b,R,),与复平面内,点,Z,(,a,b,),及以原点为起点,Z,(,a,b,),为终点向量,相对应,它们之间都是,一一对应,关系,.,2,.,复数模及其几何意义,(1),已知复数,z=a+b,i(,a,b,R,),则复数,z,模,|z|=|a+b,i,|=.,(2),复数模几何意义,:,复数,z=a+b,i(,a,b,R,),模,|z|,表示复数,z,对应点,Z,(,a,b,),到原点距离,.,(3),复数模,复数对应点到原点距离,复数所对应向量模三者是一致,.,3/27,【做一做,1,】,满足条件,|z-,i,|=|,3,+,4i,|,复数,z,在复平面上对应点轨迹是,(,),A.,一条直线,B.,两条直线,C.,圆,D.,椭圆,解析,:,依据复数模几何意义,|z-,i,|=|,3,+,4i,|=,5,即表示复数,z,在复平面上对应点到点,(0,1),距离等于常数,5,轨迹,即表示以点,(0,1),为圆心,5,为半径圆,.,答案,:,C,4/27,【做一做,3,】,在复平面内,若复数,z,满足,|z+,1,|+|z-,1,|=,4,则,z,在复平面内对应点轨迹是,其方程为,.,解析,:,依据模几何意义,复数,z,在复平面内对应点到两定点,(,-,1,0),(1,0),距离之和为定值,4,故其轨迹是以,(,-,1,0),(1,0),为焦点,4,为长轴长椭圆,其方程为,5/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,复数与轨迹问题,6/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解,:,设,z=x+y,i(,x,y,R,),|z-,1,|=|z+,i,|,复数,z,对应点,(,x,y,),在以点,(1,0),和,(0,-,1),为端点线段垂直平分线上,.,y=-x.,7/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,复数实质是有序实数对,也就是复平面内点坐标,假如复数按照某种条件改变,那么复平面内对应点就组成含有某种特征点集合,(,或轨迹,),这里应尤其注意复数模几何意义,复数模就是复数对应点到原点距离,.,8/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,1,设复数,z=x+y,i(,x,R,y,R,),在以下条件下求动点,Z,(,x,y,),轨迹,.,(1),|z+,1,+,i,|-|z-,1,-,i,|=,0;,(2),|z+,i,|+|z-,i,|=,2 ;,(3),|z+,1,|=,2,|z-,1,|,;,(4),|z+,1,|-|z-,i,|=.,9/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解,:,(1),原式可转化为,|z+,1,+,i,|=|z-,1,-,i,|,表示到两点,(,-,1,-,1),(1,1),距离相等点轨迹,即以,(,-,1,-,1),(1,1),为端点线段垂直平分线,.,10/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,利用复数几何意义求最值,【例,2,】,已知复数,z,满足,|z|=,2,求,|z+,1,+,i,|,最大值和最小值,.,分析,:,利用复数几何意义求解,;,不等式,|z,1,|-|z,2,|,|z,1,+z,2,|,|z,1,|+|z,2,|,中,当,|z,1,+z,2,|=|z,1,|+|z,2,|,时,z,1,z,2,对应向量,11/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,由已知可得复数,z,对应点,Z,在复平面内以原点,O,为圆心,2,为半径圆上,2,为半径圆上,(,如图所表示,),.,此时圆上点,A,对应复数,w,A,模为最大值,圆上点,B,对应复数,w,B,模为最小值,.,12/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,处理相关复数模最值问题惯用方法,1,.,先建立关于复数模函数,再求函数最值,此时常设,z=x+y,i(,x,y,R,),.,2,.,写出复数表示几何意义,利用数形结合思想,结合平面几何知识求解最值,.,13/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,2,已知,z,1,z,2,为复数,且,|z,1,|=,1,若,z,1,+z,2,=,2i,则,|z,1,-z,2,|,最大值是,(,),A.6B.5C.4D.3,解析,:,由,z,1,+z,2,=,2i,得,z,1,=,2i,-z,2,代入,|z,1,|=,1,得,|,2i,-z,2,|=,1,即,z,2,对应点轨迹是以,(0,2),为圆心,1,为半径圆,z,1,对应点轨迹是以原点为圆心,半径为,1,圆,如图所表示,则,|z,1,-z,2,|,为两圆上点距离,其最大值为,4,.,答案,:,C,14/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(1),|z|,最大值和最小值,;,(2),|z-,1,|,2,+|z+,1,|,2,最大值和最小值,.,|z|,max,=,2,+,1,=,3,|z|,min,=,2,-,1,=,1,.,(2),|z-,1,|,2,+|z+,1,|,2,=,2,|z|,2,+,2,|z-,1,|,2,+|z+,1,|,2,最大值为,20,最小值为,4,.,15/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,复数综合应用,(3),要求,-u,2,最小值,由,(1),(2),知,与,u,2,均为实数,所以可先建立,-u,2,函数关系,再设法求出最小值,.,16/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(1),解,:,z,是虚数,17/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,18/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,4,若复数,z=x+y,i(,x,y,R,),满足,|z-,4i,|=|z+,2,|,则,2,x,+,4,y,最小值是,.,解析,:,依据复数模几何意义可知,|z-,4i,|=|z+,2,|,表示复数,z,是在以点,(0,4),和点,(,-,2,0),为端点线段垂直平分线上,所以,x+,2,y-,3,=,0,19/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,则,k,为圆上点与原点连线斜率,所以当,OA,与圆相切时,取最值,.,20/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,错用复数几何意义,【典例】,复数,z,满足,|z-,1,-,i,|=,1,求,|z+,1,+,i,|,最小值,.,易错分析,:,|z-,1,-,i,|,表示复数,z,对应点与复数,1,+,i,对应点间距离,而,|z+,1,+,i,|,表示复数,z,对应点与,-,1,-,i,对应点间距离,.,解,:,|z-,1,-,i,|=,1,由复数几何意义知,z,对应点轨迹是以点,(1,1),为圆心,1,为半径圆,而,|z+,1,+,i,|,表示圆上点到点,(,-,1,-,1),距离,纠错心得,在处理相关复数模问题时,应结合复数、复数模几何意义和解析几何等知识,将代数问题转化为几何问题,从而到达优化解题过程目标,.,21/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,已知复数,z,满足,|z|=,2,则,|z+,3,-,4i,|,最小值是,.,解析,:,|z|=,2,表示以原点为圆心,2,为半径圆,而,|z+,3,-,4i,|,表示是圆上点与点,(,-,3,4),距离,答案,:,3,22/27,1 2 3 4 5,1,.,已知复数,z,满足,z+|z|=,2,+,8i,则复数,z,为,(,),A.,-,15,+,8iB.15,-,8iC.15,+,8iD.,-,15,-,8i,答案,:,A,23/27,1 2 3 4 5,2,.,若复数,z,满足,|z-,3,|+|z+,3,|=,10,则复数,z,对应点集所表示图形是,(,),A.,直线,B.,圆,C.,椭圆,D.,双曲线,解析,:,借助椭圆定义和复数几何意义知,复数,z,对应点轨迹是以,(3,0),(,-,3,0),为焦点,长轴长为,10,椭圆,.,答案,:,C,24/27,1 2 3 4 5,心,以,1,为半径圆及其内部,|z|,就是圆,C,及其内部各点到原点距离,使,|z|,取得最大值点就是,OC,与圆,C,交点中较远一个,直线,25/27,1 2 3 4 5,26/27,1 2 3 4 5,5,.,已知复数,z=,(2,x,+a,),+,(2,-x,+a,)i,x,a,R,当,x,在,(,-,+,),内改变时,试求,|z|,最小值,g,(,a,),.,解,:,|z|,2,=,(2,x,+a,),2,+,(2,-x,+a,),2,=,2,2,x,+,2,-,2,x,+,2,a,(2,x,+,2,-x,),+,2,a,2,.,令,t=,2,x,+,2,-x,则,t,2,且,2,2,x,+,2,-,2,x,=t,2,-,2,所以,|z|,2,=t,2,+,2,at+,2,a,2,-,2,=,(,t+a,),2,+a,2,-,2,27/27,