高中数学第一章推理与证明习题课数学归纳法的应用省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件.pptx

-,*,-,习题课,数学归纳法应用,1/28,2/28,1,.,经验归纳法与数学归纳法结合,数学归纳法实质上是演绎法一个,它是一个必定推理,它只能证实,与正整数相关,命题,却不能发觉结论,.,我们常把经验归纳法与数学归纳法结合起来,形成,归纳,猜测,证实,思想方法,既能够发觉,新命题,又能证实其,正确,性,组成一套完整数学思想方法,.,2,.,数学归纳法特征,数学归纳法所证实是与正整数相关命题,.,实际上就是正整数无穷性命题,不过数学归纳法基本步骤是有穷,仅仅只有两个步骤,而且这两个步骤缺一不可,.,数学归纳法是在可靠基础上利用命题本身含有传递性,利用,“,有限,”,伎俩来处理,“,无限,”,问题,.,3/28,【做一做,1,】,用数学归纳法证实,“,当,n,为正奇数时,x,n,+y,n,能被,x+y,整除,”,第二步是,(,),A.,假设,n=,2,k+,1,时命题成立,再推,n=,2,k+,3,时命题成立,(,k,N,+,),B.,假设,n=,2,k-,1,时命题成立,再推,n=,2,k+,1,时命题成立,(,k,N,+,),C.,假设,n=k,时命题成立,再推,n=k+,1,时命题成立,(,k,N,+,),D.,假设,n,k,(,k,1),时命题成立,再推,n=k+,2,时命题成立,(,k,N,+,),解析,:,因为,n,为正奇数,所以第二步应先假设第,k,个正奇数时命题成立,.,本题即假设,n=,2,k-,1,时命题成立,再推第,(,k+,1),个正奇数即,n=,2(,k+,1),时命题成立,.,答案,:,B,4/28,【做一做,2,】,在数列,a,n,中,a,1,=,1,且,S,n,S,n+,1,2,S,1,成等差数列,经过求,S,2,S,3,S,4,猜测,S,n,=,.,解析,:,S,n,S,n+,1,2,S,1,成等差数列,2,S,n+,1,=S,n,+,2,S,1,.,又,S,1,=a,1,=,1,5/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,用数学归纳法证实整除问题,【例,1,】,已知,f,(,n,),=,(2,n+,7)3,n,+,9,.,(1),求,f,(1),f,(2),f,(3),值,;,(2),是否存在大于,2,正整数,m,使得对于任意正整数,n,f,(,n,),都能被,m,整除,?,假如存在,求出最大,m,值,;,假如不存在,请说明理由,.,分析,:,本题考查利用数学归纳法证实整除问题方法,求解时可先由,f,(1),f,(2),f,(3),特征,探究出正整数,m,值后,再用数学归纳法证实,.,解,:,(1),f,(,n,),=,(2,n+,7)3,n,+,9,f,(1),=,(2,1,+,7),3,1,+,9,=,36,f,(2),=,(2,2,+,7),3,2,+,9,=,3,36,=,108,f,(3),=,(2,3,+,7),3,3,+,9,=,10,36,=,360,.,6/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2),由,(1),能够猜测最大,m=,36,下面用数学归纳法证实,.,当,n=,1,时,f,(1),=,36,显然能被,36,整除,;,假设,n=k,(,k,1,k,N,+,),时,f,(,k,),能被,36,整除,即,(2,k+,7)3,k,+,9,能被,36,整除,则当,n=k+,1,时,f,(,k+,1),=,2(,k+,1),+,73,k+,1,+,9,=,(2,k+,7),+,23,k,3,+,9,=,3(2,k+,7)3,k,+,9,+,18(3,k-,1,-,1),.,由假设可知,(2,k+,7)3,k,+,9,能被,36,整除,3,k-,1,-,1,是偶数,18(3,k-,1,-,1),也能被,36,整除,.,f,(,k+,1),能被,36,整除,.,由,和,可知对任意,n,N,+,f,(,n,),都能被,36,整除,.,最大,m,值为,36,.,7/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,证实数或式整除问题方法,应用数学归纳法证实相关整除问题时,为了利用归纳假设,常惯用对通项进行拆项、添项、分解、组合方法在要证式子中拼凑出假设成立式子,然后证实剩下式子也能被某式,(,数,),整除,.,8/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,1,若,n,N,+,求证,:,x,n+,1,+,(,x+,1),2,n-,1,能被,x,2,+x+,1,整除,.,证实,:,(1),当,n=,1,时,x,1,+,1,+,(,x+,1),2,1,-,1,=x,2,+x+,1,显然,x,2,+x+,1,能被,x,2,+x+,1,整除,.,(2),假设当,n=k,(,k,1,k,N,+,),时结论成立,即,x,k+,1,+,(,x+,1),2,k-,1,能被,x,2,+x+,1,整除,.,当,n=k+,1,时,x,k+,2,+,(,x+,1),2,k+,1,=,(,x+,1),2,(,x+,1),2,k-,1,+x,k+,2,+,(,x+,1),2,x,k+,1,-,(,x+,1),2,x,k+,1,=,(,x+,1),2,(,x+,1),2,k-,1,+x,k+,1,-,(,x,2,+x+,1),x,k+,1,.,因为上式两项均能被,x,2,+x+,1,整除,所以,x,k+,2,+,(,x+,1),2,k+,1,能被,x,2,+x+,1,整除,即,n=k+,1,时,结论也成立,.,由,(1),和,(2),可知,x,n+,1,+,(,x+,1),2,n-,1,能被,x,2,+x+,1,整除,.,9/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,用数学归纳法证实几何问题,【例,2,】,在一平面内有,n,(,n,2),条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证实这,n,条直线相互分割出,n,2,条线段或射线,.,分析,:,用数学归纳法证实几何问题,关键要找到本题中从,k,到,(,k+,1),条直线增加线段或射线条数,.,10/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,证实,:,(1),当,n=,2,时,两条直线相交得到,4,条射线,命题成立,.,(2),假设,n=k,时,k,(,k,2),条直线按题目要求相交可得,k,2,条线段或射线,.,则当,n=k+,1,时,记这,(,k+,1),条直线中一条为,l,其余,k,条直线相交可得到,k,2,条线段或射线,直线,l,与这,k,条直线相交可新增加,k,个不一样交点,这,k,个点把直线,l,分成,k+,1,段,又各自把它们所在线段或射线分成两部分,即又增加,k,条线段或射线,则新增加线段或射线条数为,k+,1,+k=,2,k+,1,.,从而,(,k+,1),条直线相交,得到线段或射线条数为,k,2,+,2,k+,1,=,(,k+,1),2,所以,n=k+,1,时命题也成立,.,由,(1),和,(2),可知命题对,n,N,+,且,n,2,成立,.,11/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,用数学归纳法证实几何问题技巧,(1),用数学归纳法能够证实与正整数,n,相关几何问题,常见形式有交点个数问题,直线条数问题,划分区域问题,以及组成角个数问题,.,(2),证实几何问题关键是,“,找项,”,即几何元素由,k,个变成,(,k+,1),个,所证几何量将增加多少,这需要用到几何知识或借助几何图形分析,.,(3),几何问题证实既要注意数形结合,又要注意有必要文字证实,.,12/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,2,在一平面上有,n,个圆,其中每两个圆都相交于两点,而且三个圆都不相交于同一点,求证,:,这,n,个圆把平面分成,f,(,n,),=n,2,-n+,2,部分,.,证实,:,(1),当,n=,1,时,一个圆把平面分成两部分,而,f,(1),=,1,-,1,+,2,=,2,所以,n=,1,时命题成立,.,(2),假设,n=k,(,k,1,k,N,+,),时命题成立,即,k,个圆把平面分成,f,(,k,),=k,2,-k+,2,部分,若增加满足条件任一个圆,则这个圆必与前,k,个圆相交于,2,k,个点,这,2,k,个点把这个圆分成,2,k,段弧,每段弧把它所在原有部分分成两部分,所以,平面被分割总数在原来基础上又增加了,2,k,部分,即有,f,(,k+,1),=f,(,k,),+,2,k=k,2,-k+,2,+,2,k=,(,k+,1),2,-,(,k+,1),+,2,即当,n=k+,1,时,命题也成立,.,依据,(1),和,(2),可知,n,个圆把平面分成,f,(,n,),=n,2,-n+,2,部分,.,13/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,归纳,猜测,证实,【例,3,】,已知数列,S,n,为其前,n,项和,n,N,+,计算,S,1,S,2,S,3,S,4,.,依据计算结果,猜测,S,n,表示式,并用数学归纳法进行证实,.,分析,:,本题考查数学归纳法在数列问题中应用,.,依据,S,1,S,2,S,3,S,4,结果,猜测,S,n,表示式,要注意观察项与项数改变关系,从而归纳出组成数列规律,同时还应注意各项之间差异,.,14/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,能够看出,上面表示四个结果分数中,分子与项数,n,一致,分母可用项数,n,表示为,3,n+,1,于是能够猜测,:,S,n,=.,证实以下,:,左边,=,右边,猜测成立,.,15/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2),假设当,n=k,(,k,1,k,N,+,),时,猜测成立,当,n=k+,1,时猜测也成立,.,依据,(1),和,(2),可知猜测对任意,n,N,+,都成立,.,反思感悟,1,.,处理一些归纳猜测问题时要注意以下几点,:(1),计算特例时,不但仅是简单计算过程,有时要经过计算过程发觉数据改变规律,;(2),猜测必须准确,绝对不能猜错,不然将徒劳无功,;(3),假如猜测出来结论与正整数,n,相关,普通用数学归纳法证实,.,2,.,经过观察,归纳,猜测,证实这一完整过程去探索和发觉问题,并证实所得出结论正确性,.,16/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,3,已知数列,a,n,中,a,2,=a+,2(,a,为常数,),S,n,是,a,n,前,n,项和,且,S,n,是,na,n,与,na,等差中项,.,(1),求,a,1,a,3,.,(2),猜测,a,n,表示式,并用数学归纳法加以证实,.,解,:,(1),由已知得,2,S,n,=na,n,+na=n,(,a,n,+a,),当,n=,1,时,S,1,=a,1,所以,2,a,1,=a,1,+a,即,a,1,=a,;,当,n=,3,时,S,3,=a,1,+a,2,+a,3,所以有,2(,a,1,+a,2,+a,3,),=,3(,a,3,+a,),因为,a,2,=a+,2,a,1,=a,所以,a,3,=a+,4,.,(2),由,a,1,=a,a,2,=a+,2,a,3,=a+,4,猜测,a,n,=a+,2(,n-,1),.,证实以下,当,n=,1,时,左边,=,右边,等式成立,当,n=,2,时,a,2,=a+,2,知等式也成立,假设,n=k,(,k,2),时等式成立,即,a,k,=a+,2(,k-,1),.,则当,n=k+,1,时,17/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,所以,2,a,k+,1,=,(,a,k+,1,+a,)(,k+,1),-,(,a,k,+a,),k.,=a+,2(,k+,1),-,1,.,所以当,n=k+,1,时,等式也成立,.,由,和,可知对任意,n,N,+,等式,a,n,=a+,2(,n-,1),都成立,.,18/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,由,n=k,改变为,n=k+,1,时,项数改变不正确而致误,【典例】,若不等式,对一切正整数,n,都成立,求正整数,a,最大值,并证实你结论,.,(1),n=,1,时,结论已证,.,19/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,故,a,最大值为,25,.,20/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得,用数学归纳法证实时一定要注意从,n=k,到,n=k+,1,时项数改变情况,不但要看后面增加项多少,还要看前面是否降低了某项,.,21/28,探究一,探究二,探究三,思维辨析,n=,2,时等式成立,.,(2),假设当,n=k,(,k,2,k,N,+,),时等式成立,.,当,n=k+,1,时,等式也成立,.,由,(1),和,(2),可知对任意,n,2,n,N,+,上述等式恒成立,.,22/28,1 2 3 4 5,1,.,用数学归纳法证实命题,“,n,3,+,(,n+,1),3,+,(,n+,2),3,(,n,N,+,),能被,9,整除,”,要利用假设证,n=k+,1,时情况,只需要展开,(,),A.(,k+,3),3,B.(,k+,2),3,C.(,k+,1),3,D.(,k+,1),3,+,(,k+,2),3,解析,:,由假设,n=k,时,k,3,+,(,k+,1),3,+,(,k+,2),3,能被,9,整除,证,n=k+,1,时,(,k+,1),3,+,(,k+,2),3,+,(,k+,3),3,能被,9,整除,其中项改变是多了,(,k+,3),3,且少了,k,3,.,故只需将,(,k+,3),3,展开变形即可,.,答案,:,A,23/28,1 2 3 4 5,2,.,若,k,棱柱过侧棱有,f,(,k,),个对角面,则,k+,1,棱柱过侧棱对角面个数,f,(,k+,1),是,(,),A.,f,(,k,),+k-,1B.,f,(,k,),+k,C.,f,(,k,),+k+,1D.,f,(,k,),+k-,2,解析,:,k+,1,棱柱比原,k,棱柱多了一条侧棱,由对角面定义可知,过不相邻两条侧棱面为棱柱对角面,可得对角面在原来基础上增加了,(,k-,1),个,所以,f,(,k+,1),=f,(,k,),+k-,1,.,答案,:,A,24/28,1 2 3 4 5,时原等式左边应增加项数是,.,答案,:,2,k,25/28,1 2 3 4 5,4,.,用数学归纳法证实,“,n,3,+,5,n,能被,6,整除,”,过程中,当,n=k+,1,时,式子,(,k+,1),3,+,5(,k+,1),应变形为,.,解析,:,证实当,n=k+,1,时,n,3,+,5,n,能被,6,整除,一定要用到归纳假设,“,k,3,+,5,k,能被,6,整除,”,.,故需将,(,k+,1),3,+,5(,k+,1),化成含有,k,3,+,5,k,形式,即,(,k+,1),3,+,5(,k+,1),=,(,k,3,+,5,k,),+,3,k,2,+,3,k+,6,=,(,k,3,+,5,k,),+,3,k,(,k+,1),+,6,.,答案,:,(,k,3,+,5,k,),+,3,k,(,k+,1),+,6,26/28,1 2 3 4 5,5,.,已知数列,a,n,满足,S,n,+a,n,=,2,n+,1,.,(1),写出,a,1,a,2,a,3,并推测,a,n,表示式,.,(2),用数学归纳法证实所得结论,.,(1),解,:,由,S,n,+a,n,=,2,n+,1,得,S,1,+a,1,=,2,+,1,=,3,27/28,1 2 3 4 5,a,1,+a,2,+,+a,k,+,2,a,k+,1,=,2,(,k+,1),+,1,.,a,1,+a,2,+,+a,k,=,2,k+,1,-a,k,2,a,k+,1,=a,k,+,2,.,当,n=k+,1,时结论成立,.,由,和,可知对于任何正整数,n,结论都成立,.,28/28,