高中数学第一章数列1.2.1.1等差数列的定义和通项公式省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件.pptx

,-,*,-,1.1,数列的概念,-,*,-,-,*,-,1.1,数列的概念,自主预习,合作学习,当堂检测,首页,-,*,-,1.1,数列的概念,自主预习,合作学习,当堂检测,首页,-,*,-,1.1,数列的概念,自主预习,合作学习,当堂检测,首页,-,*,-,1.1,数列的概念,合作学习,自主预习,当堂检测,首页,-,*,-,1.1,数列的概念,当堂检测,自主预习,合作学习,首页,2,等差数列,1/30,2,.,1,等差数列,2/30,第,1,课时等差数列定义和通项公式,3/30,4/30,1,.,等差数列定义,普通地,假如一个数列从第,2,项起,每一项与前一项差是,同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数就叫作等差数列,公差,通惯用字母,d,表示,.,【,做一做,1】,以下数列是等差数列是,(,),答案,:,D,5/30,归纳总结,了解等差数列注意以下几点,(1),等差数列定义还能够用数学符号语言表述为,:,在数列,a,n,中,假如,a,n+,1,-a,n,=d,(,常数,),对任意,n,N,+,(,或,a,n,-a,n-,1,=d,(,常数,),对任意,n,N,+,且,n,2),都成立,那么称数列,a,n,为等差数列,常数,d,称为等差数列公差,.,(2),要注意定义中,a,n+,1,-a,n,=d,(,常数,),是对任意,n,N,+,(,或,a,n,-a,n-,1,=d,(,常数,),对任意,n,N,+,且,n,2),都成立,如有一项不满足,则,a,n,就不是等差数列,.,比如,数列,1,1,2,3,4,5,就不是等差数列,.,(3),常数列是公差等于,0,等差数列,.,(4),等差数列公差,d,一定是由后一项减去前一项所得,不能颠倒次序,.,6/30,2,.,等差数列通项公式,设等差数列首项为,a,1,公差为,d,a,n,为它通项,则,a,n,=,a,1,+,(,n-,1),d,.,(1),等差数列通项公式推导方法,除了教材中介绍归纳法以外,还可用以下几个方法推导等差数列通项公式,:,(,叠加法,),由等差数列,a,n,定义得,a,2,-a,1,=d,a,3,-a,2,=d,a,n-,1,-a,n-,2,=d,a,n,-a,n-,1,=d,(,n,2),将这,(,n-,1),个式子等号两边分别相加,得,a,n,-a,1,=,(,n-,1),d,即,a,n,=a,1,+,(,n-,1),d,(,显然,n=,1,时,a,1,也满足该式,),.,叠加法是推导,a,n+,1,-a,n,=f,(,n,),型数列通项公式一个主要方法,.,(,迭代法,),a,n,是等差数列,a,n,=a,n-,1,+d=a,n-,2,+d+d=a,n-,2,+,2,d=a,n-,3,+d+,2,d=a,n-,3,+,3,d=,=a,1,+,(,n-,1),d,(,n,2),a,n,=a,1,+,(,n-,1),d,(,显然,n=,1,时,a,1,也满足该式,),.,7/30,8/30,(3),等差数列通项公式函数特征,等差数列通项公式是,n,一次函数或是常数函数,.,由,a,n,=a,1,+,(,n-,1),d,得,a,n,=dn+,(,a,1,-d,),.,设,d=p,a,1,-d=q,则上式变为,a,n,=pn+q.,由此可见,等差数列通项公式是,n,一次函数,(,公差,d,0),或常数函数,(,公差,d=,0),.,若数列通项公式为,a,n,=pn+q,(,p,q,为任意实数,),则数列,a,n,是等差数列,.,等差数列通项公式,a,n,=a,1,+,(,n-,1),d=dn+a,1,-d,是,n,一次函数或常数函数,所以其图像是直线,y=dx+,(,a,1,-d,),上一些等间隔点,这些点横坐标是正整数,其中公差,d,是该直线斜率,.,9/30,(4),等差数列通项公式应用,已知等差数列首项和公差,能够求得这个数列任意一项,;,在等差数列中,已知,a,1,n,d,a,n,这四个量中三个,能够求得另一个量,;,等差数列首项,a,1,和公差,d,称为等差数列,“,基本量,”,列方程组求基本量是处理等差数列问题惯用方法,.,10/30,【,做一做,2】(,福建福州高二检测,)2 017,是等差数列,1,4,7,10,第,(,),A.673,项,B.672,项,C.671,项,D.670,项,答案,:,A,【,做一做,3】,在数列,a,n,中,a,1,=,2,2,a,n+,1,=,2,a,n,+,1,则,a,2 017,值是,(,),A.1 010B.1 009C.1 008D.1 007,答案,:,A,11/30,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内打,“,”,错误打,“,”,.,(1),等差数列公差不能为,0,.,(,),(2),若一个数列从第三项起,每一项与它前一项差是同一个常数,则该数列为等差数列,.,(,),(3),若一个数列从第二项起,每一项与它前一项差是常数,则该数列为等差数列,.,(,),(4),若数列,a,n,满足,a,n,=pn+q,n,N,+,(,其中,p,q,为,常,数,),则数列,a,n,一定为等差数列,.,(,),答案,:,(1),(2),(3),(4),12/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例,1,】,(1),以下各数列是等差数列是,.,2,2,2,2;,cos 0,cos 1,cos 2,cos 3;,3,m,3,m+a,3,m+,2,a,3,m+,3,a,;,a-,3,a+,1,a+,5,.,(1),答案,:,(2),分析,:,要证实三个数成等差数列,只要证实中间位置数,2,倍是另外两个数和即可,.,13/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟判断或证实一个数列是不是等差数列方法,(1),若数列为有穷数列且各项已给出,可直接计算每一项与其前一项差,按定义判断即可,;,(2),若数列通项公式已给出,可依据定义判断,a,n+,1,-a,n,=d,(,n,N,+,),是否满足即可,即若,d,是与,n,无关常数,则是等差数列,;,不然,不是等差数列,;,(3),要证实一个数列不是等差数列,只需举一个反例进行否定,也可证实,a,n+,1,-a,n,或,a,n,-a,n-,1,(,n,2),不是一个常数,而是一个与,n,相关变数,.,14/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,1,15/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例,2,】,(1),已知,a,n,为等差数列,且其前三项为,a,2,a-,1,10,-a,试求,a,n,通项公式以及第,20,项,;,(2),在等差数列,a,n,中,若,a,7,=,12,a,15,=,4,求,a,30,并判断,20,是否是该数列中项,.,分析,:,(1),由前三项求出,a,值,从而得首项和公差,即可求出通项公式,;(2),由,a,7,和,a,15,值建立,a,1,与,d,方程组,求出,a,1,与,d,值即可求,a,30,并依据通项公式判断,20,是否是其中项,.,16/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解,:,(1),因为,a,2,a-,1,10,-a,是等差数列前三项,所以,2(2,a-,1),=a+,10,-a,整理得,4,a=,12,所以,a=,3,即前三项依次为,3,5,7,所以首项,a,1,=,3,公差,d=,5,-,3,=,2,.,于是,a,n,通项公式为,a,n,=,3,+,2(,n-,1),即,a,n,=,2,n+,1,.,数列,a,n,第,20,项,a,20,=,2,20,+,1,=,41,.,(2),设,a,n,公差为,d,于是,a,n,通项公式为,a,n,=,18,-,(,n-,1),即,a,n,=,19,-n.,所以,a,30,=,19,-,30,=-,11,.,令,19,-n=,20,解得,n=-,1,N,+,.,所以,20,不是该数列中项,.,17/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,2,已知等差数列,a,n,a,5,=,11,a,8,=,5,求通项,a,n,.,解,:,设数列,a,n,公差为,d,解得,a,1,=,19,d=-,2,所以,数列,a,n,通项公式,a,n,=,19,+,(,n-,1),(,-,2),=,21,-,2,n.,18/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例,3,】,已知成等差数列四个数之和为,26,第二个数与第三个数之积为,40,求这四个数,.,分析,:,依据题意,可设这四个数为,a-,3,d,a-d,a+d,a+,3,d,利用已知条件,求出,a,d,进而求出这四个数,.,解,:,设这四个数为,a-,3,d,a-d,a+d,a+,3,d.,则由题设,19/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,已知几个数成等差数列,并满足其它条件,求这几个数时,通常采取以下设法,:,当等差数列,a,n,项数,n,为奇数时,可设中间一项为,a,再以公差,d,向两边分别设项,:,a-,2,d,a-d,a,a+d,a+,2,d,;,当项数,n,为偶数时,可设中间两项分别为,a-d,a+d,再以公差,2,d,向两边分别设项,:,a-,3,d,a-d,a+d,a+,3,d,.,20/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,3,三个数成等差数列,其和为,9,前两项之积为后一项,6,倍,求这三个数,.,21/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,22/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得,本例错解都对,“,从第,10,项开始比,1,大,”,这句话了解不透彻,由等差数列增减性知,这句话含义表明,a,10,1,但里面也隐含着,a,9,1,这一条件,.,所以处理等差数列这类问题时要多结合等差数列本身增减性,.,23/30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,已知首项为,-,24,等差数列,从第,10,项开始为正数,则公差,d,取值范围为,.,24/30,1,2,3,4,5,1,.,若一个无穷数列,a,n,前,4,项分别是,1,2,3,4,则以下说法中正确是,(,),A.,它一定是等差数列,B.,它一定是递增数列,C.,通项公式是,a,n,=n,D.,以上结论都不一定正确,解析,:,仅给出数列前,4,项,后面项未知,所以不能确定该数列一定是等差数列或递增数列,通项公式也不一定是,a,n,=n.,答案,:,D,25/30,1,2,3,4,5,2,.,已知,a,n,为等差数列,且,a,7,-,2,a,4,=-,1,a,3,=,0,则公差,d,等于,(,),答案,:,B,26/30,1,2,3,4,5,3,.,等差数列,1,-,1,-,3,-,89,共有,项,.,答案,:,46,27/30,1,2,3,4,5,4,.,已知三个数成等差数列,它们和等于,15,且前两个数之积等于,10,则这三个数分别为,.,解析,:,设三个数分别为,a-d,a,a+d,则有,所以三个数分别为,2,5,8,.,答案,:,2,5,8,28/30,1,2,3,4,5,5,.,已知,a,b,c,成等差数列,求证,:,a+b,a+c,b+c,成等差数列,.,证实,:,因为,a,b,c,成等差数列,所以,b-a=c-b,即,2,b=a+c.,又因为,2(,a+c,),=,(,a+c,),+,(,a+c,),=a+c+,2,b=,(,a+b,),+,(,b+c,),所以,a+b,a+c,b+c,也成等差数列,.,29/30,1,2,3,4,5,6,.,已知数列,a,n,a,1,=a,2,=,1,a,n,=a,n-,1,+,2(,n,3),.,(1),判断数列,a,n,是否为等差数列,说明理由,;,(2),求,a,n,通项公式,.,解,:,(1),当,n,3,时,a,n,=a,n-,1,+,2,即,a,n,-a,n-,1,=,2,而,a,2,-a,1,=,0,不满足,a,n,-a,n-,1,=,2(,n,3),故,a,n,不是等差数列,.,(2),当,n,2,时,令,a,2,=b,1,=,1,a,3,=b,2,=,3,a,4,=b,3,=,5,则,b,n,是等差数列,a,n,=b,n-,1,=,1,+,2(,n-,1),-,1,=,2,n-,3(,n,2),.,30/30,