高中数学第二章解三角形2.3解三角形的实际应用举例2.3.1距离问题与高度问题省公开课一等奖新名师优.pptx

-,*,-,3,解三角形实际应用举例,1/29,第,1,课时,距离问题与高度问题,2/29,1,.,了解仰角、俯角、方向角、方位角概念及其在解三角形问题中应用,.,2,.,了解正弦定理、余弦定理在求实际问题中距离、高度等作用,.,3/29,1,.,正弦定理,其中,R,是,ABC,外接圆,半径,.,2,.,余弦定理及推论,在,ABC,中,a,2,=b,2,+c,2,-,2,bc,cos,A,b,2,=a,2,+c,2,-,2,ac,cos,B,c,2,=,a,2,+b,2,-,2,ab,cos,C,.,4/29,答案,:,C,5/29,3,.,仰角、俯角,在同一铅直平面内,目标视线与水平线夹角,.,当视线在水平线之上时,称为,仰角,当视线在水平线以下时,称之为,俯角,如图所表示,.,【做一做,2,】,从地面上观察一座建在山顶上建筑物,测得其视角为,同时测得建筑物顶部仰角为,则山顶仰角为,(,),.,A.,+,B.,-,C.,-,D.,答案,:,C,6/29,4,.,方位角、方向角,方位角,:,指从正北方向沿顺时针方向转到目标方向线所成角,如图,中点,B,方位角为,.,图,图,方向角,:,从指定方向线到目标方向线所成小于,90,水平角,如南偏西,60,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转,60,.,如图,中,ABC,为北偏东,60,或东偏北,30,.,7/29,【做一做,3,】,一艘海轮从,A,处出发,以,40 n mile/h,速度沿南偏东,40,方向直线航行,30 min,后抵达,B,处,在,C,处有一座灯塔,海轮在,A,处观察灯塔,其方向是南偏东,70,在,B,处观察灯塔,其方向是北偏东,65,那么,B,C,两点间距离是,(,),.,解析,:,如图所表示,AB=,20,n,mile,BAC=,30,ABC=,40,+,65,=,105,ACB=,45,.,由正弦定理,答案,:,A,8/29,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,求中间有障碍物两点间距离,【例,1,】,如图所表示,为了开凿隧道,要测量隧道上,D,E,间距离,为此在山一侧选取适当点,C,测得,CA=,400 m,CB=,600 m,ACB=,60,又测得,A,B,两点到隧道口距离,AD=,80 m,BE=,40 m(,A,D,E,B,在一条直线上,),计算隧道,DE,长,(,准确到,1 m),.,分析,:,显然,BC,AC,及其夹角,C,都已知,故可利用余弦定理直接求得,AB,长,进而减去,AD,与,BE,长得,DE,长,.,9/29,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,求中间有障碍物两点间距离问题,可直接利用正弦定理与余弦定理求解,.,10/29,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,1,】,如图所表示,设,A,B,两点在河两岸,要测量两点之间距离,.,测量者在,A,同侧所在河岸边选定一点,C,测出,AC,距离是,55 m,BAC=,51,ACB=,75,求,A,B,两点间距离,(,准确到,0,.,1 m),.,11/29,题型一,题型二,题型三,题型四,题型二,求两个不可抵达点之间距离,【例,2,】,如图所表示,已知海岸边,A,B,两海事监测站相距,60 n mile,为了测量海平面上两艘轮船,C,D,间距离,在,B,A,两处罚别测得,CBD=,75,ABC=,30,DAB=,45,CAD=,60,(,A,B,C,D,在同一个水平面内,),.,请计算出,C,D,两艘轮船间距离,.,分析,:,欲求,C,D,间距离,必在三角形内求解,本题既可在,ACD,内求解,又可在,BCD,内求解,已知一个角,则可依据已知条件求出三角形另外两条边,.,12/29,题型一,题型二,题型三,题型四,13/29,题型一,题型二,题型三,题型四,14/29,题型一,题型二,题型三,题型四,15/29,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,本题是处理测量不能抵达两点间距离问题,这是测量中,常见题型,需要将求距离问题转化为三角形问题进行思索,处理方法普通是经过解一系列三角形,抵达求解目标,.,16/29,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,2,】,海上,A,B,两个小岛相距,10 n mile,从,A,岛望,C,岛和,B,岛成,60,视角,从,B,岛望,C,岛和,A,岛成,75,视角,则,B,岛与,C,岛之间距离是,(,),.,答案,:,D,17/29,题型一,题型二,题型三,题型四,题型三,求底部可抵达物体高度,【例,3,】,如图所表示,为测量校园内一棵松树,AB,高度,一个人站在距离松树,a,m,E,处,利用测角仪测得仰角,ACD,为,已知测角仪高度为,b,m,求松树高,.,分析,:,直接用正切求得,AD,长,再利用,AB=AD+DB,求得松树高,.,解,:,由题意可知,AD=a,tan,AB=b+a,tan,(m),即松树高为,(,b+a,tan,)m,.,反思,求底部可抵达物体高度,实质就是解直角三角形,.,18/29,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,3,】,在国庆期间,去北京旅游王凡在天安门广场,A,处看到正前方上空一红灯笼,测得此时仰角为,45,前进,20 m,抵达,B,处,测得此时仰角为,60,.,王凡身高,1,.,8 m,试计算红灯笼高度,(,准确到,1 m),.,分析,:,依据题意画出平面图形,解,ABC,可得,BC,在,Rt,BDC,中可求得,CD,进而可得,CD.,19/29,题型一,题型二,题型三,题型四,20/29,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,求底部不可抵达物体高度,【例,4,】,一座塔周围有围栏,要测量它高度,某人在塔正东沿着南偏西,60,方向前进,40 m,以后,望见塔在东北方向,.,若沿途测得塔最大仰角为,30,求塔高度,.,分析,:,依题意画出直观图如图所表示,设某人在点,C,AB,为塔高,他沿,CD,前进,且,CD=,40,m,.,塔高,AB,为定值,要使仰角,AEB,最大,则,BE,必最小,故,BE,长为点,B,到,CD,距离,.,要求,AB,必须先求,BE,因为,DBE,是直角三角形,可在,DBC,中先求出,DB,或,BC,这么,BE,可求,则问题可解,.,21/29,题型四,题型一,题型二,题型三,解,:,如图所表示,在,BDC,中,CD=,40,m,BCD=,90,-,60,=,30,DBC=,180,-,45,=,135,.,22/29,题型四,题型一,题型二,题型三,反思,本题现有方向角,又有仰角,要注意利用空间想象作图,作出示意图应是立体图,这是本题求解一个关键,;,破解,“,沿途测得塔最大仰角,”,是本题求解第二个关键,.,已知塔与塔所在平面是垂直,这么就有了直角三角形,不但为求塔高度提供了三角形模型,而且还顺利地找到了,“,最大仰角,”,.,在解三角形实际应用问题中,搞清楚与测量相关概念,在正确作出示意图同时,还要注意简单包括空间图形问题,.,23/29,题型四,题型一,题型二,题型三,【变式训练,4,】,如图所表示,某湖心岛上有一棵树,因为不能进入岛上,为测得它高度,h,在湖边地面上取一基线,AB,AB=,20 m,在,A,处测得点,P,仰角,OAP=,30,在,B,处测得点,P,仰角,OBP=,45,又测得,AOB=,60,求树高度,h,(,准确到,0,.,1 m),.,24/29,1,2,3,4,5,1,如图所表示,某河段两岸可视为平行,在河段一岸边选取两点,A,B,观察对岸点,C,测得,CAB=,75,CBA=,45,且,AB=,200 m,则,A,C,两点间距离为,(,),.,答案,:,A,25/29,1,2,3,4,5,答案,:,D,26/29,1,2,3,4,5,3,如图,测量河对岸塔高,AB,时,选择与塔底在同一水平面两个测量点,C,与,D,已知测得,BCD=,75,BDC=,45,CD=,60 m,在点,C,处得塔顶,A,仰角为,30,则塔高为,(,),.,答案,:,A,27/29,1,2,3,4,5,4,如图所表示,山顶上有一座电视塔,在塔顶,B,处测得地面上一点,A,俯角,=,60,在塔底,C,处测得点,A,俯角,=,45,.,已知塔高,60 m,则山高为,.,28/29,1,2,3,4,5,29/29,