第四讲曲线拟合.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第四讲 曲线拟合,2,第四讲主要知识点,1,、曲线拟合的概念,2,、曲线拟和的方法,3,、解矛盾方程组,3,函数插值问题回忆,设已知某个函数关系 在某些离散点上的函数值：,插值问题,：,根据这些已知数据来构造函数,的一种简单的近似表达式,以便于计算点,的函数值 ，或计算函数的一阶、二阶导数值。,4,曲线拟和的概念,在前面所讨论的各种插值方法中，始假设数据点是精确的，准确的，不可修改的，所要求出的插值曲线必须通过每一个数据点。,但在实际工作中由于各随机因素的干扰，所得到的数据往往不同程度存在着误差。,因此，插值方法只能适用那些误差可以忽略不记的情况，当误差较大而不能忽略时，又如何通过这些观测数据确定其内在的变化规律呢？曲线拟合就是解决这一问题的主要方法之一。,5,曲线拟合的概念,如图所示，常常需要从一组获得的数据点中，寻找变量与变量之间的变化规律用几何方法来解释，就是用已知平面内的一组点，来确定一条曲线，,使该曲线能在整体上刻画这组点的变化趋势而不需通过每个点，,我们称这种方法为曲线拟合，所求出的曲线称为拟合曲线。,x,y,6,曲线拟合的方法,将上述问题抽象为数学问题为：设有一组数据对 ，求连续变量的一个函数，它在 处误差为 ，使总体误差按某种算法达到最小常用的三种准则是,:,9,多项式拟合,定义 设有给定的数据 ，假设其拟合函数形式为 ，,求系数 ，使得,取最小值称 次多项式,为 次最小二乘拟合多项式,(,或 次最小平方逼近,多项式,),。,特别地，当 时，称 为线性最小,二乘拟合。,10,多项式拟合,容易看出 是系数 的 元二次多项式,(,二次型,),，所以可以用多元函数求极值的方法求其最小值点和最小值。将 对 求偏导数得到驻点方程组：,，,即,11,直线拟合,问题 对于给定的数据点,，求作一次式,，使总误差为最小，即在二元函数式中,为最小。,这里,Q,是关于未知数,a,和,b,的二元函数，这一问题就是要确定,a,和,b,取何值时，二元函数,的值最小,?,12,直线拟合,由微积分的知识可知，这一问题的求解，可归结为求二元函数,的极值问题，即,和,应满足：,13,直线拟合,14,拟合例题,例,1,已知观测数据如下所示，求它的拟合曲线。,解：根据所给数据，在直角坐标下画出数据点，,从图中可以看出，各点,在一条直线附近，故可,取线性函数作为拟合,曲线,1,2,3,4,5,4,4.5,6,8,8.5,15,拟合例题（续1）,令 将数据带入公式得，,解得 。因此而得所求拟合曲线为 。,16,拟合例题,例,2,有一滑轮组，要举起,W,公斤的重物需要用,F,公斤的力，实验所得的数据如下表。,求适合上述关系的近似公式。,17,拟合例题,解 首先，将这些数据画在直角坐标系中，从图形上,看，数据点的分布大致呈一条直线，所以设所求,的拟合直线为 ，,得关于,a,和,b,的线性方程组,18,其他类拟合问题,最小二乘法并不只限于多项式，也可用于任何具体给出的函数形式。特别重要的是有些非线性最小二乘拟合问题通过适当的变换可以转化为线性最小二乘问题求解。,19,拟合例题,例,2,已知数据表,1,2,3,4,7,11,17,27,求一形如,解：所求拟合函数是一个指数函数，对它两边取自然对数，得,的经验公式与已知数据拟合,20,拟合例题,于是对应于上述数据表得到一个以应数据表：,1,2,3,4,1.95,2.40,2.83,3.30,若记,则,从而将原问题转化为由新数据表所给出的线性拟合问题,易知其求解方程组为：,21,拟合例题,解之得,于是,故所求经验公式为,22,拟合例题分析,通过上述两例可知，用多项式作曲线拟合的计算步骤可分为如下几步：,（）根据已给的数据,作草图，由草图估计出多项式的次数,(,m,次,),并令,，其中,（）求解由最小二乘原理得到的方程组；,（）将所得的解作为拟合多项式的相关项的系数，则此多项式即为所求。,为待定系数；,23,矛盾方程组,试求下列矛盾方程组的解：,很显然，直接求解是不行的，因为满足方程组的精确解是不存在的！只能求出尽量满足方程组的近似解。,24,矛盾方程组,运用最小二乘法，要求满足方程组的解，,即求使下列值 最小的解 ，就是方程组的近似解：,25,矛盾方程组,得解：,Matlab,实例,xdata=0 5 10 15 25;,ydata=0.001 0.881 2.1637 3.1827 4.961;,degree=1;,%Linear relationship,coef=polyfit(xdata,ydata,degree);,xx=-5:0.5:30;,%Range for plotting,yy=polyval(coef,xx);,plot(xdata,ydata,o,xx,yy);,26,加权最小二乘法,27,定义,权函数：,离散型,/*discrete type*/,根据一系列离散点 拟合时，在每一误差前乘一正数,w,i,，即 误差函数,，这个,w,i,就称作权,/*weight*/,，反映该点的重要程度。,=,-,=,n,i,i,i,i,y,x,P,w,1,2,),(,连续型,/*continuous type*/,在,a,b,上用广义多项式,P,(,x,),拟合连续函数,f,(,x,),时，定义权函数,(,x,),C,a,b,，即误差函数,=,。,权函数,(,x,),必须,满足：非负、可积，且在,a,b,的任何子区间上,(,x,)0,。,the LSCOV function can perform weighted-least-square regression,各点的重要性可能是不一样的,重度,:,即权重或者密度，统称为权系数,定义加权,平方误差为,29,使得,30,由多元函数取极值的必要条件,得,即,31,引入记号,定义加权内积,32,矩阵形式,(,法方程组,),为,方程组式化为,33,平方误差为,作为特殊情形,用多项式作拟合函数的法方程组为,34,Subject:,What Weighted-Least-Squares Fitting capabilities are available in MATLAB 6.1(R12.1)and the Toolboxes?,Problem Description:,Currently,the presence of data outliers can create an undesirable fit.Because the outlier lies far away from the true pattern of data,it induces error to the true fit.A workaround to this problem would be to minimize the weight(s)of such outlier(s).,Solution:,In MATLAB,the LSCOV function can perform weighted-least-square regression.,x=lscov(A,b,w)where w is a vector length m of real positive weights,returns the weighted least squares solution to the linear system A*x=b,that is,x minimizes(b-A*x)*diag(w)*(b-A*x).w typically contains either counts or inverse variances.,In addition,there are three toolboxes you can use to implement weights for your fits:,=,1.Statistics Toolbox:,=,Weighted linear regression in the Statistics Toolbox is part of the ROBUSTFIT function,B=ROBUSTFIT(X,Y,WFUN,TUNE,CONST)uses the weighting function WFUN and tuning constant TUNE.WFUN can be any of andrews bisquare,cauchy,fair,huber,logistic,talwar,welsch.,As an alternative to specifying one of the named weight functions shown above,you can also write your own weight function(wfun)that takes a vector of scaled residuals as input and produces a vector of weights as output.,For documentation on ROBUSTFIT,you can type doc robustfit(without quotes)at the MATLAB command prompt or view the online documentation found at the URL below:,MATLAB versions prior to 7.1(R14SP3),we do not support a non-linear weighted least-square fit in the Statistics Toolbox.,In MATLAB 7.1(R14SP3),the demo Weighted Nonlinear Regression,addresses this and is also available on the web at the following link,Curve Fitting Toolbox,=,We have a more general weighted least square regression capability in the Curve Fitting Toolbox that supports any fit,linear and non-linear.,The weight is part of the options to the Fit,and is supplied using the function FITOPTIONS.Go to the following URL for documentation on FITOPTIONS:,the Curve Fitting Toolbox,the weight can actually be any vector of weights associated with the response data.,Follow this link for more information about this Toolbox:,Optimization Toolbox.,=,LSQNONLIN and LSQCURVEFIT are least-squares solvers in the Optimization Toolbox that can be used to fit equations to your data.,In order to use LSQNONLIN to do a weighted least square fit,you will need to have an equation into which you want to fit your data.For an example on weighted least squares fitting using LSQNONLIN,see the Related Solution listed below.,