高中数学第一章三角函数1.1.2弧度制课件省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1.1.2,弧度制,1/49,2/49,1.,度量角两种制度,单位制,内容,角度制,周角 为1度角，记作1；用_作为单位来度量角单位制叫做角度制,弧度制,长度等于_弧所正确圆心角叫做1弧,度角.1弧度记作1_，以_为单位来,度量角单位制叫做弧度制,半径长,rad,弧度,度,3/49,2.,角度制与弧度制换算,(1),弧度数,正角弧度数是一个,_.,负角弧度数是一个,_.,零角弧度数是,_.,正数,负数,0,4/49,(2),弧度数计算,|=.,如图：,5/49,(3),角度制与弧度制换算,6/49,3.,扇形弧长和面积公式,设扇形半径为,R,，弧长为,l,，,(00),角，弧,AB,和,AB,长分别是,l,和,l,，点,A,和,A,到点,O,距离,(,即圆半径,),分别是,r(r0),和,r(r0),，由初中学过弧长公式可得：,于是,所以用圆心角所正确弧长与半径之比来度量这个圆心角是合理,.,17/49,2.,引入弧度制意义,引入了弧度制后，统一了角度与长度单位，使角集合与实数集之间建立了一一对应关系即每一个角都有唯一一个实数,(,即这个角弧度数,),与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一一个角,(,角弧度数就等于这个实数,),与它对应为下面学习三角函数做了知识上铺垫,.,18/49,【,微思索,】,(1),角,1,这种表示方式正确吗？,提醒：,正确用弧度制表示角时，,“,弧度,”,二字或,“,rad,”,通常略去不写，角,1,就表示,是,1 rad,角,(2),单位长度弧长所正确圆心角是,1,弧度吗？,提醒：,不是,.,只有在以单位长度为半径圆中，单位长度弧所正确圆心角才是,1,弧度角,.,19/49,【,即时练,】,1.,以下说法正确是,(),A.1,弧度是,1,度圆心角所正确弧,B.1,弧度是长度为半径弧,C.1,弧度是,1,度弧与,1,度角之和,D.1,弧度是长度等于半径长弧所正确圆心角，它是角一个度量单位,【,解析,】,选,D.,依据,1,弧度定义，我们把长度等于半径长弧所正确圆心角叫做,1,弧度角，即可判断,D,正确,20/49,2.(,抚顺高一检测,),以下说法不正确是,(),A.“,度”与“弧度”是度量角两种不一样度量单位,B,1,度角是圆周 所正确圆心角，,1,弧度角是圆周,所正确圆心角,C.,依据弧度定义知，,180,度一定等于,rad,D,不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆半径长短相关,21/49,【,解析,】,选,D.,依据角度与弧度定义可知，不论是角度制还是弧度制，角大小都与半径长短无关，所以,D,错误,.,22/49,知识点,2,弧度制下弧长公式、扇形面积公式,对弧度制下弧长公式和扇形面积公式三点说明,(1),由公式可知，由,，,l,，,R,，,S,中两个量能够求出另外两,个量，即知二求二,.,(2),利用弧度制下弧长公式及扇形面积公式显著比角度制,下公式简单得多，但要注意它前提是在弧度制前提下,.,(3),在利用公式时，还应熟练地掌握这两个公式变形应用：,l,R,，,23/49,【,微思索,】,扇形两种面积公式选择依据是什么？,提醒：,若已知弧长时，可使用 若已知圆心角,时，,可使用 不论使用哪种公式，都必须有半径,R.,24/49,【,即时练,】,1.,已知扇形半径是,16,，圆心角是,2,弧度，则扇形弧长是,_,【,解析,】,1.,因为,R,16,，,2 rad,，所以,l,R,216,32.,答案：,32,25/49,2.,已知扇形半径为,1,，圆心角为,1,弧度，则其面积是,_.,【,解析,】,由弧长公式可得扇形弧长为,1,，故其面积为,答案：,26/49,【,题型示范,】,类型一,角度和弧度互化及应用,【,典例,1】,(1),将以下角度与弧度进行互化,.,20=_,；,15=_,_,_,；,=_,_,_,；,=_,_,_.,(2),把,1 480,写成,2k(kZ),形式，其中,02,；,在,0,4,中找出与 角终边相同角,27/49,【,解题探究,】,1.,题,(1),中角度和弧度换算依据是什么？,2.,解题,(2),关键是什么？解题,(2),关键是什么？,【,探究提醒,】,1.,角度与弧度换算关键是,1=,2.,解题,(2),时关键是将角度换算为弧度；解题,(2),时关,键是将弧度换算为角度,28/49,【,自主解答,】,(1)20,答案：,15,答案：,答案：,105,答案：,-396,29/49,(2),因为,1 480,所以 其中,因为,所以终边与 角相同角为,72,k,360(kZ),，,当,k,0,时，,72=,当,k,1,时，,432=,所以在,0,4,中与 角终边相同角为,30/49,【,方法技巧,】,角度制与弧度制互化标准、方法以及注意点,(1),标准：切记,180=rad,，充分利用,1=,和,1 rad,=,进行换算,.,(2),方法：设一个角弧度数为,，角度数为,n,，则,rad=,31/49,(3),注意点：,以,“,弧度,”,为单位度量角时，,“,弧度,”,二字或,“,rad,”,能够省略不写,.,以,“,弧度,”,为单位度量角时，经常把弧度数写成多少,形式，如无尤其要求，无须把,写成小数,.,度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度,.,32/49,【,变式训练,】,将以下各角化成,2k,(02,，,kZ),形式，并指出它们是第几象限角,(1),1 725.(2)870.,【,解析,】,(1),因为,1 725,5360,75,，,所以,所以,1 725,与 终边相同，故,1 725,是第一象,限角,(2)870,角,870,与 终边相,同，故,870,是第二象限角,33/49,【,赔偿训练,】,设集合,N,|,，则,MN,_.,【,解析,】,分别取,k,1,0,1,2,，得,所以,MN=,答案：,34/49,类型二,弧长公式及扇形面积公式应用,【,典例,2】,(1)(,福州高一检测,),已知扇形圆心角为,120,，半径为,cm,，则此扇形面积为,_.,(2),已知扇形周长为,10 cm,，面积为,4 cm,2,，求扇形圆心角,弧度数,【,解题探究,】,1.,题,(1),中据已知条件，可利用扇形哪个面积,公式求面积？,2.,题,(2),中需选取扇形哪个面积公式？,35/49,【,探究提醒,】,1.,因为已知扇形圆心角和半径，可利用、,扇形,面积公式,S,2.,已知周长与面积，故可选取公式,【,自主解答,】,(1),设扇形弧长为,l,，,因为,120,所以,所以,答案：,cm,2,36/49,(2),设扇形圆心角弧度数为,(02 rad,舍去,当,R,4,时，,l,2(cm),，此时，,37/49,【,延伸探究,】,在本题,(2),中，若扇形周长,10 cm,改为,40 cm,，又怎样求它半径和圆心角取什么值时，才能使扇形面积最大？最大面积是多少？,38/49,【,解析,】,设扇形圆心角为,，半径为,R,，弧长为,l,，面积,为,S,，则,l,2R,40,所以,l,40,2R,，,所以,所以当半径,R,10 cm,时，扇形面积最大,这个最大值为,100 cm,2,，这时,39/49,【,方法技巧,】,弧度制下相关弧长、扇形面积问题解题策略,(1),明确弧度制下弧长公式,l,=R,，扇形面积公式是,S,其中,l,是扇形弧长，,是扇形圆心角,.,(2),包括扇形周长、弧长、圆心角、面积等计算,关键是先,分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活利用弧长公式、扇形,面积公式直接求解或列方程,(,组,),求解,.,40/49,【,变式训练,】,已知扇形,AOB,圆心角为 半径长为,6,，求：,(1),弧,AB,长,.,(2),扇形所含弓形面积,【,解题指南,】,(1),将角度化为弧度，再依据公式求解弧长,.,(2),利用扇形面积减去三角形面积,.,41/49,【,解析,】,(1),l,R,所以弧,AB,长为,4.,(2)S,扇形,OAB,如图所表示，,过点,O,作,ODAB,，交,AB,于,D,点，,所以,AOD=60,于是有,S,OAB,所以弓形面积为,S,扇形,OAB,S,OAB,所以弓形面积是,42/49,【,赔偿训练,】,已知一扇形圆心角为 半径为,R,，则该扇形内切圆面积与扇形面积之比为,_,【,解题指南,】,先求出圆半径,r,与扇形半径,R,比为,13,，再求它们面积比,43/49,【,解析,】,据题意，设内切圆半径为,r,则,故,3r=R,即,故内切圆面积为,S,内切,=r,2,=,扇形面积,S,扇,=,故 故面积之比为,23.,答案：,23,44/49,【,易错误区,】,运算时角度制和弧度制混用而致错,【,典例,】,(,西安高一检测,),将,1 485,化成,2k,(02,，,kZ),形式为,_,45/49,【,解析,】,因为,1 485,4360,45,4360,(,360,315),5360,315,，,又,5360=,10,，,315=,所以,1 485,能够表示为,答案：,46/49,【,常见误区,】,错解,错因剖析,-10+315,若在阴影处只考虑了将-1 485写成了“2k+”组合形式，而忽略了对要求，忽略了角度和弧度统一，这是初学者极易犯一个错误,47/49,【,防范办法,】,角度制与弧度制互化中要求,在同一式子中，两种单位不能混用，即表示角时，要么全用角度制，要么全用弧度制，如本例中错解就是因为单位混用而致错,.,48/49,【,类题试解,】,把角,-690,化为,2k+(02,，,kZ),形式为,_.,【,解析,】,方法一：因为,-690=,所以 即,-690=,方法二：因为,-690=-2360+30,，,所以,-690=,答案：,49/49,