高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义省公开课一等奖新名师.pptx

-,*,-,2,.,3,平面向量数量积,1/29,2,.,3,.,1,向量数量积物理背景与定义,2/29,1,.,了解平面向量数量积含义及其物理意义,.,2,.,知道平面向量数量积与向量投影关系,.,3,.,掌握数量积运算性质,并会利用其性质处理相关长度、夹角、垂直等问题,.,3/29,1,2,3,4,1,.,两个向量夹角,(1),定义,:,已知两个非零向量,a,b,(,如图所表示,),作,=,b,则,AOB,称作向量,a,与向量,b,夹角,记作,.,(2),范围,:,0,而且,=.,(3),当,=,时,称向量,a,和向量,b,相互垂直,记作,a,b,.,在讨论垂直问题时,要求零向量与任意向量垂直,.,(4),当,=,0,时,a,与,b,同向,;,当,=,时,a,与,b,反向,.,【做一做,1,】,在等腰直角三角形,ABC,中,C=,90,则,答案,:,90,135,4/29,1,2,3,4,2,.,向量在轴上正射影,(1),已知向量,a,和轴,l,(,如图所表示,),作,=,a,过点,O,A,分别作轴,l,垂线,垂足分别为,O,1,A,1,则向量,叫做向量,a,在轴,l,上正射影,(,简称射影,),该射影在轴,l,上坐标,称作,a,在轴,l,上数量或在轴,l,方向上数量,记作,a,l,向量,a,方向与轴,l,正向所成角为,则有,a,l,=,|,a,|,cos,.,(2),当,为锐角时,a,l,0;,当,为钝角时,a,l,0;,当,=,0,时,a,l,=,|,a,|,;,当,=,时,a,l,=,-|,a,|,.,5/29,1,2,3,4,名师点拨,向量,a,在轴,l,上正射影是向量,a,在轴,l,上分向量,;,向量,a,在轴,l,上数量是其正射影在轴,l,上坐标,与向量,a,与轴,l,所成角相关,与详细位置无关,.,【做一做,2,】,已知,|,p,|=,2,|,q,|=,3,且,p,与,q,夹角,为,120,则向量,p,在,q,方向上正射影数量为,;,向量,q,在,p,方向上正射影数量为,.,解析,:,向量,p,在,q,方向上正射影数量为,|,p,|,cos,=,2,cos,120,=-,1,.,同理,q,在,p,方向上正射影数量为,|,q,|,cos,=,3,cos,120,=.,6/29,1,2,3,4,3,.,向量数量积,(,内积,),(1),定义,:,|,a,|,b,|,cos,叫做向量,a,与,b,数量积,(,或内积,),记作,a,b,即,a,b,=,|,a,|,b,|,cos,.,(2),了解两个向量内积是,一个实数,能够等于正数、负数、零,.,【做一做,3,】,若,|,a,|=,3,|,b,|=,4,a,b,夹角为,135,则,a,b,等于,(,),答案,:,B,7/29,1,2,3,4,4,.,向量数量积性质,设,a,b,为两个非零向量,e,是单位向量,.,(1),a,e=e,a,=,|,a,|,cos,;,(2),a,b,a,b,=,0,且,a,b=,0,a,b,;,(3),a,a=,|a,|,2,或,|,a,|=,;,(5),|a,b|,|a|b|,.,8/29,1,2,3,4,【做一做,4,-,1,】,若,m,n,0,则,m,与,n,夹角,取值范围是,(,),答案,:,C,【做一做,4,-,2,】,若向量,a,b,满足,|,a,|=|,b,|=,1,a,与,b,夹角为,60,则,a,a,+,a,b,等于,(,),答案,:,B,9/29,向量数量积与实数乘法区分,剖析,(1),若两个实数满足,ab=,0,则,a,与,b,中最少有一个为,0,.,而若向量,a,b,满足,a,b,=,0,则可推导出以下四种可能,:,a,=,0,b,=,0,;,a,=,0,b,0,;,a,0,b,=,0,;,a,0,b,0,但,a,b,.,(3),两个向量数量积是两个向量之间一个乘法,与以前学过数乘法是有区分,在书写时一定要把它们严格区分开来,不可混同,.,(4),向量线性运算结果是一个向量,而数量积运算结果是实数,.,10/29,知识拓展,1,.,两个向量,a,b,数量积,a,b,是一个数量,当,a,b,均为非零向量时,这个数量符号与其夹角大小相关,.,当,0,0;,当,=,90,时,a,b,=,0;,当,90,180,时,a,b,0;,当,a,b,中最少有一个为,0,时,a,b,=,0,.,2,.,数量积几何意义,:,数量积,a,b,等于,a,长度,|,a,|,与,b,在,a,方向上投影,|,b,|,cos,乘积,.,知道了数量积几何意义,能够帮助大家正确认识向量数量积,.,如,:,当,a,0,时,由,a,b,=,0,不能推出,b,一定是零向量,这是因为任一与,a,垂直非零向量,b,都有,a,b,=,0,.,11/29,题型一,题型二,题型三,【例,1,】,已知,|,a,|=,4,|,b,|=,5,当,(1),a,b,;(2),a,b,;(3),a,与,b,夹角为,60,时,分别求,a,与,b,数量积,.,分析,解答本题可利用平面向量数量积定义直接运算,.,解,:,(1),设,a,b,夹角为,a,b,若,a,与,b,同向,则,=,0,a,b,=|,a,|,b,|,cos,0,=,4,5,=,20;,若,a,与,b,反向,则,=,180,a,b,=|,a,|,b,|,cos,180,=,4,5,(,-,1),=-,20,.,(2),设,a,b,夹角为,当,a,b,时,=,90,故,a,b,=|,a,|,b,|,cos,90,=,0,.,(3),当,a,与,b,夹角为,60,时,12/29,题型一,题型二,题型三,反思,1,.,求平面向量数量积步骤是,:(1),求,a,与,b,夹角,0,180;(2),分别求,|,a,|,和,|,b,|,;(3),求数量积,即,a,b,=|,a,|,b,|,cos,.,要尤其注意,书写时,a,与,b,之间用实心圆点,“”,连接,而不能用,“,”,连接,也不能省去,.,2,.,非零向量,a,和,b,a,b,a,b,=,0,.,3,.,非零向量,a,与,b,共线,a,b,=|,a,|,b,|.,13/29,题型一,题型二,题型三,【变式训练,1,】,(1),已知向量,a,和向量,b,夹角为,30,|,a,|=,2,|,b,|=,则向量,a,和向量,b,数量积,a,b,=,.,(2),若,|,a,|=,5,|,b,|=,2,|,a,|,且,a,与,b,反向共线,则,a,b,=,.,解析,:,(1),a,b,=,|a|b|,cos,=,2,cos,30,=,(2),由已知可得,|,a,|=,5,|,b,|=,10,=,180,于是,a,b,=,|a|b|,cos,=,5,10,cos,180,=-,50,.,答案,:,(1)3,(2),-,50,14/29,题型一,题型二,题型三,【例,2,】,已知,a,b,是两个非零向量,.,(1),若,|,a,|=,3,|,b,|=,4,|,a,b,|=,6,求,a,与,b,夹角,;,(2),若,|,a,|=|,b,|=|,a,-,b,|,求,a,与,a+b,夹角,.,分析,(1),利用向量数量积公式求解,;(2),利用向量几何意义求解,.,15/29,题型一,题型二,题型三,16/29,题型一,题型二,题型三,反思,求向量夹角可应用数量积变形公式,普通要求两个整体,a,b,|,a,|,b,|,不方便求出时,可寻求二者之间关系,转化条件解方程组,利用向量几何意义简捷直观地得出答案,.,17/29,题型一,题型二,题型三,18/29,题型一,题型二,题型三,答案,:,(1)120,(2)45,19/29,题型一,题型二,题型三,易错点,1:,不了解正射影定义致错,【例,3,】,已知,|,a,|=,3,|,b,|=,4,且,=,60,试求,a,在,b,方向上正射影数量,.,错解,:,依据正射影定义可知所求数量为,a,b,即,a,b,=|,a,|,b,|,cos,60,=,6,.,错因分析,把,a,b,错误地了解成了,a,在,b,方向上正射影数量,实际上要使用内积形式必须为,a,e,才表示,a,在,e,方向上正射影数量,.,20/29,题型一,题型二,题型三,【变式训练,3,】,已知向量,a,b,满足,|,b,|=,2,a,与,b,夹角为,60,则,b,在,a,方向上射影是,.,解析,:,b,在,a,方向上射影是,|,b,|,cos,=,2,cos,60,=,2,=,1,.,答案,:,1,21/29,题型一,题型二,题型三,22/29,题型一,题型二,题型三,答案,:,-,9,23/29,1,2,3,4,5,6,1.,若,|,a,|=,3,|,b,|=,2,=,30,则,a,b,=,(,),答案,:,B,24/29,1,2,3,4,5,6,答案,:,A,25/29,1,2,3,4,5,6,A.,锐角三角形,B.,直角三角形,C.,钝角三角形,D.,等边三角形,解析,:,cos,A,0,cos,A,0,.,角,A,是钝角,.,ABC,是钝角三角形,.,答案,:,C,26/29,1,2,3,4,5,6,4.,已知,a,b,都是单位向量,则以下结论中正确是,(,),A.,a,b,=,1B.,a,2,=,b,2,C.,a,b,a,=,b,D.,a,b,=,0,解析,:,单位向量是指模长为,1,向量,对方向没有要求,所以夹角也是未知,故选项,A,C,D,不正确,而依据数量积定义知选项,B,正确,.,答案,:,B,27/29,1,2,3,4,5,6,答案,:,120,28/29,1,2,3,4,5,6,29/29,